江苏省无锡市江阴市青阳初级中学2024-2025学年九年级下学期3月份作业检查数学试题

2024-2025学年江苏省无锡市江阴市青阳中学九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的倒数是． A. B. C. D. 2.在代数式，，，，，中，整式有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.已知有理数，满足方程组，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.下列是不等式的一个解的是(    ) A. B. C. D. 5.点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为(    ) A. B.  ， C. D.  ， 6.一次函数的图象不经过的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7.函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(    ) A. B. C. D. 8.若分式有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 且 9.一种药品原价每盒元，经过两次降价后每盒元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为(    ) A. B. C. D. 10.如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连结，取的中点，连结，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为______． 12.的平方根是______． 13.函数的自变量的取值范围是______． 14.分解因式：          ． 15.我国古代数学名著九章算术中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十今有米在十斗桶中，不知其数满中添粟而舂之，得米七斗问故米几何？”意思为：斗谷子能出斗米今有米在容量为斗的桶中，但不知道数量是多少再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米斗原来有米______斗 16.在电压不变的情况下，某电器的电流与它的电阻之间成反比例函数关系，其图象如图所示为保证该电器各元件安全工作，限制电流不超过，则该电器可变电阻的取值范围是______． 17.抛物线的顶点坐标是______． 18.在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点是点，的“和谐点”如图，点，点是直线：上任意一点，若点是点，的“和谐点”，直线交轴于点，当为直角时，则点到直线的距离为______． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 解不等式组：； 解方程：． 20.本小题分 解方程：； 解不等式组：． 21.本小题分 计算及先化简，再求值： 计算：； 先化简，再求值：，其中从、、中选择一个适当的数代入． 22.本小题分 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． 实数的值是______； 在数轴上还有、两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的值； 在数轴上还有点表示实数，且，化简：． 23.本小题分 已知关于的方程． 求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； 若等腰的一边长，另两边，的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 24.本小题分 已知一次函数的图象和反比例函数的图象相交于，两点，连接、，直线与轴相交于点． 求反比例函数和一次函数的解析式； 求点的坐标和的面积； 直接写出不等式的解集． 25.本小题分 三星堆遗址被称为世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有，两个系列，系列产品比系列产品的售价低元，元购买系列产品的数量与元购买系列产品的数量相等按定价销售一段时间后发现：系列产品按定价销售，每天可以卖件，若系列产品每降元，则每天可以多卖件． 系列产品和系列产品的单价各是多少？ 为了使系列产品每天的销售额为元，而且尽可能让顾客得到实惠，求系列产品的实际售价应定为多少元件？ 26.本小题分 每年的月日是我们国家的“植树节”，某学校计划组织七年级名学生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司甲乙两种型号客车作为交通工具．为锻炼学生，决定把这个活动方案交于学校的“数学大本营”社团学生策划．学生们实地调查发现：每辆车都坐满时，用辆甲种客车和辆乙种客车每次可运送学生人；用辆甲种客车和辆乙种客车每次可运送学生人． 辆甲种客车和辆乙种客车都坐满后一次分别可送多少名学生？ 社团老师还给学生们提出了要求：本次活动会有名教师陪同出行，每辆客车上至少有名教师；租一辆甲种客车元，租一辆乙种客车元，要求总费用在元以内．请你帮忙解决： 共需租多少辆客车？ 请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 27.本小题分 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系”这就是“算两次”原理，也称为富比尼原理例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式计算图的面积，把图看作一个大正方形，它的面积是；如果把图看作是由个长方形和个小正方形组成的，它的面积为由此得到． 如图，正方形是由四个边长为，的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图的面积进行计算，你发现的等式是______；用，表示 请你用若干块如图所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；要求：在图的框中画出图形，写出分解的因式． 请你用发现的等式解决问题：已知两数，满足，，求的值． 28.本小题分 综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得≌，我们称这种全等模型为“型全等”不需要证明 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， 直接写出 ______， ______； 在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为______； 如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 如图，直线：分别交轴和轴于，两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：的倒数是， 故选：． 利用倒数的定义求解即可． 本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：和分母中含有未知数，则不是整式，其余的都是整式． 故选：． 根据整式的定义进行解答． 本题重点对整式定义的考查：整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母．单项式和多项式统称为整式． 3.【答案】  【解析】解：， 由得：， 化简得：， 故选：． 根据题意直接将两个方程相加即可求解． 本题主要考查了二元一次方程组，理解题意应用整体思想是解题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元一次不等式的解法，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键． 首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的数即可． 【解答】 解：， ， ， ， 是不等式的一个解． 5.【答案】  【解析】解：点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标为． 故选：． 根据题意，点的横坐标是，纵坐标是，据此求出点的坐标即可． 此题主要考查了点的坐标，注意每个象限的点的坐标的特征． 6.【答案】  【解析】解：一次函数的，， 一次函数经过第一、三、四象限， 即一次函数不经过第二象限． 故选：． 根据一次函数的、的符号判定该一次函数所经过的象限即可． 本题考查了一次函数的图象，即直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 7.【答案】  【解析】解：对于，当时，，观察图象可排除和； 反比例函数和一次函数 当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察、选项，选项A符合题意， 故选：． 根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 8.【答案】  【解析】解：由题意，得 ， 解得， 故选：． 先根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 9.【答案】  【解析】解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：舍去； 故选：． 设每次降价的百分率为，根据原价每盒元，经过两次降价后每盒元，列出方程进行求解即可． 本题考查一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程． 10.【答案】  【解析】解：点在反比例函数的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 是的中点， ． 故选：． 根据反比例函数值的几何意义进行解答即可． 本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键． 11.【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 12.【答案】  【解析】解：， 的平方根是． 故答案为：． 如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，由此即可得到答案． 本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为； 当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据被开方数非负列式求解即可． 【解答】 解：根据题意得，， 解得． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了提公因式法与平方差的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取，再利用平方差公式分解即可． 【解答】 解：原式． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：设原来有米斗，则后加入谷子斗， 根据题意得：， 解得：， 原来有米斗． 故答案为：． 设原来有米斗，则后加入谷子斗，根据“再舂成米，共得米斗”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：设反比例函数的解析式为， 如图所示，把代入可得：， ， 其限制电流不超过， ，解得：， 故答案为：． 根据题意先求出反比例函数的解析式，然后根据其限制电流不超过，即可算出的取值范围． 本题考查的反比例函数的应用，解题关键是求出反比例函数的解析式． 17.【答案】  【解析】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 形如的顶点坐标为，据此可以直接求顶点坐标． 本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程的顶点坐标是，对称轴方程是． 18.【答案】  【解析】解：设点的坐标为， 点，点是点，的“和谐点”， 点的坐标为 ， 点的横坐标和点的横坐标相同． ． 解得：． 点的坐标为，点的坐标为． 设直线的解析式为． ． 解得：． 直线的解析式为． 当时，． 点的坐标为． ． 作于点． 由题意得：与轴的交点为． ，． ． ． 故答案为：． 设点的坐标为，根据点是点，的“和谐点”，表示出点的坐标，进而根据为直角可得点和点的横坐标相同得到的值，即可求得点和点的坐标；求得直线的解析式，进而求得点的坐标；作于点，求得和的长度，根据的面积的不同表示方法点到直线的距离． 本题考查一次函数的相关知识．理解新定义的意义并灵活应用是解决本题的关键．根据的面积的不同表示方法点到直线的距离是解决本题的易错点． 19.【答案】解：， 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 方程组的解为：； ， 去分母得，， 解得， 检验：将代入， 原方程的解为．  【解析】方程组利用加减消元法求解即可； 先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 此题考查了解二元一次方程组，解分式方程，关键是熟练掌握分式方程的解法． 20.【答案】解：， ， 或， ，； ， 解得， 解得， 所以不等式组无解．  【解析】利用因式分解法解方程； 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组和解一元二次方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21.【答案】解：原式 ； 原式 ， 当，时，原式无意义， 当时， 原式 ．  【解析】先算零指数幂，负整数指数幂，去绝对值，用平方差公式，再合并； 先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将有意义的的值代入计算即可． 本题考查实数混合运算和分式化简求值，解题的关键是掌握实数相关运算法则和分式的基本性质． 22.【答案】； 与互为相反数，所以． ，， ，， ． ，， ，， ．  【解析】解：点表示，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点， 实数的值是：， 故答案为：； 与互为相反数，所以． ，， ，， ． ，， ，， ． 由“蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点”即可求解； 利用算术平方根和绝对值的非负性即可求解． 先判定，，再化简即可． 本题考查的是实数与数轴，算术平方根的化简，非负数的性质，熟练的化简绝对值与理解非负数的性质是解本题的关键． 23.【答案】解：证明：， 无论取何实数，该方程总有实数根； 若为底边，则，为腰长，则，则． ，解得：． 此时原方程化为 ，即． 此时三边为，，能构成三角形， 故周长为； 若为腰，则，中一边为腰，不妨设 代入方程： 解得， 则原方程化为， 解得，， 即，， 此时三边为，，不能构成三角形，则舍去； 的周长为．  【解析】先计算判别式的值得到，然后根据非负数的性质得，则根据判别式的意义得到结论； 把代入方程得出关于的方程，求得的数值即可．已知，则可能是底，也可能是腰，分两种情况求得，的值后，再求出的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验 本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 24.【答案】解：在反比例函数的图象上， ． 反比例函数的解析式为． 点在上， ． ． 经过，， ． 解得． 一次函数的解析式为． 是直线与轴的交点， 当时，． 点． ． ． 不等式的解集为：或．  【解析】本题考查一次函数与反比例函数综合 把，分别代入一次函数和反比例函数，运用待定系数法分别求其解析式； 把三角形的面积看成是三角形和三角形的面积之和进行计算； 由图象观察函数的图象在一次函数图象的下方，对应的的范围． 25.【答案】解：设系列产品的单价是元件，则系列产品的单价是元件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元． 答：系列产品的单价是元件，系列产品的单价是元件； 设系列产品的实际售价应定为元件，则每天可以卖件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：系列产品的实际售价应定为元件．  【解析】设系列产品的单价是元件，则系列产品的单价是元件，利用数量总价单价，结合元购买系列产品的数量与元购买系列产品的数量相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出系列产品的单价，再将其代入中，即可求出系列产品的单价； 设系列产品的实际售价应定为元件，则每天可以卖件，利用销售总额销售单价销售数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 26.【答案】解：设辆甲种客车坐满后一次可送名学生，辆乙种客车坐满后一次可送名学生， 依题意得：， 解得：． 答：辆甲种客车坐满后一次可送名学生，辆乙种客车坐满后一次可送名学生． 辆人，辆， 又本次活动会有名教师陪同出行，每辆客车上至少有名教师， 共需租辆客车． 设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆， 依题意得：， 解得：． 又为整数， 可以为，， 共有种租车方案， 方案：租用辆甲种客车，辆乙种客车，所需总费用为元； 方案：租用辆甲种客车，辆乙种客车，所需总费用为元． ， 最省钱的租车方案为：租用辆甲种客车，辆乙种客车，最少租金为元．  【解析】设辆甲种客车坐满后一次可送名学生，辆乙种客车坐满后一次可送名学生，根据“用辆甲种客车和辆乙种客车每次可运送学生人；用辆甲种客车和辆乙种客车每次可运送学生人”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 利用租车数量师生总数，可求出租用甲种客车的数量，结合“本次活动会有名教师陪同出行，每辆客车上至少有名教师”，即可得出共需租辆客车； 设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆，根据租用的辆客车至少可乘坐人且租车总费用在元以内，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出各租车方案，再求出各租车方案所需总租金，比较后即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 27.【答案】；   见解析，；   ．  【解析】解：根据用不同的方法对图的面积进行计算，发现的等式是， 故答案为：； 如图， ． 由得． 又，， ， ， ． 图可以看作是一个边长为的大正方形，也可以看作是由四个长为，宽为的小长方形和一个边长为的小正方形组成的图形，分别求出面积，即可得出答案； 根据图进行设计图形并对式子进行分解； 根据中所得等式，结合题意可得关于，的方程组，进而整体代入计算即可． 本题主要考查了完全平方公式的几何背景，注意数形结合思想的运用，正确进行计算是解题关键． 28.【答案】解：，； ； 过点作，过点作轴，过点作轴的垂线，与交于点，与轴交于点，如图， 易证≌， 设，则，， ， ， 解得， ， 设直线解析式为， 代入， 解得， 的函数表达式为：； 点的坐标为、、．  【解析】【分析】 在中，分别令，即可求得，的坐标，从而求得，的长； 过点作轴于，构造“型全等”即可求得点的坐标； 过点作，过点作轴，过点作轴的垂线，与交于点，与轴交于点，这样构造了“型全等”，即可求得点的坐标，用待定系数法即可求得直线的函数表达式； 分情况考虑，构造“型全等”即可求得点的坐标． 本题主要考查等腰直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质等综合问题，解题的关键是正确作出辅助线并分情况讨论． 【解答】 解：在中，分别令，，得，，即点的坐标为，点的坐标为， ，， 故答案为：，； 过点作轴于，如图， 则， ， ， ， ，， ≌， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：； 见答案； 存在，理由如下： 当正方形为时，如图，过点作轴于点，易证≌， ，， ， ， 当正方形为时，如图， 过点作轴于点， 易证≌， ，， ， ， 点在第二象限，以为对角线． 正方形为，如图， 过点作轴于点， 过点作轴，轴，交于点， 易证≌， 设，则，，， ， ， ， 综上，点的坐标为：、、． 故答案为：点的坐标为、、． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$