广东省阳江市江城区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省阳江市江城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.若点在一次函数图象上，则的值是(    ) A. B. C. D. 5.随着互联网的发展，网络购物越来越普及某电商平台对某款热门电子产品一周内的日销售量单位：台进行了统计，数据如下：，，，，，，关于这组数据，下列说法正确的是(    ) A. 中位数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 众数是 6.下命题中，是真命题的是(    ) A. 有两边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 四个角相等的菱形是正方形 D. 两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形 7.正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 8.如图，两个较大正方形的面积分别为，，则字母所代表的正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在▱中，对角线、交于点，点是的中点若，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.已知一次函数，与以的图象如图所示，有下列结论：；；关于的方程的解为；当时，，其中正确的结论有(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.要使二次根式有意义，则应满足的条件是______． 12.某同学对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，统计后发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为，，则九月份每天营业额较稳定的超市是______填甲”或“乙”． 13.在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______． 14.把直线向上平移个单位，平移后直线的解析式为______． 15.如图，有一张一个角为，最小边长为的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算：． 17.本小题分 已知与成正比例，当时，． 求出与的函数关系式； 请通过计算，判断点是否在这个函数的图象上． 18.本小题分 如图所示是某校篮球架实物图，如图所示是篮球架的侧面示意图，蓝板边侧垂直于地面八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的点处观察篮板底部点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到点，使得从点观察篮板顶部点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注点的位置，测量的长度为，活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 19.本小题分 为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间单位：，精确到，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： 求出扇形统计图中百分数的值为______，所抽查的学生人数为______． 求出平均睡眠时间为小时的人数，并补全频数直方图． 求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数． 如果该校共有学生名，请你估计睡眠不足少于小时的学生数． 20.本小题分 如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． 求供水点到喷泉需要铺设的管道长； 试说明． 21.本小题分 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接． 求证：四边形是菱形； 若平行四边形的周长为，，，求的长． 22.本小题分 根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素 材 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有、两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 元 方案一：套餐满份及以上打折； 方案二：套餐满份及以上打折； 方案三：总费用满元立减元． ：面食套餐 元 温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用． 素材 该班级共位同学，每人都从、两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费经统计，有人已经确定或套餐，其余人两种套餐皆可若已经确定套餐的人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为元． 问题解决 任务 计算选择人数 已经确定套餐的人中，分别有多少人选择套餐和套餐？ 任务 分析变量关系 设两种套餐皆可斐然同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于人时，请求出与之间的函数关系式． 任务 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则、套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 23.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． 求一次函数的解析式； 点在轴上，当最小时，求点的坐标； 若是直线上一点，是平面内一点，以、、、四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：． 满足以下两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握这个概念是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：、由于，由勾股定理的逆定理可知，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； B、由于，由勾股定理的逆定理可知，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； C、由于，由勾股定理的逆定理可知，，，能作为直角三角形三边长，符合题意； D、由于，由勾股定理的逆定理可知，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 故选：． 结合选项中的边长，利用勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案． 本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 3.【答案】  【解析】解：．与不能合并，所以选项不符合题意； B.与不能合并，所以选项不符合题意； C.，所以选项不符合题意； D.，所以选项符合题意． 故选：． 根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断；根据二次根式的除法法则算对选项进行判断． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 4.【答案】  【解析】解：点在一次函数图象上， ． 故选：． 直接利用代入法求解． 本题考查点与函数的关系，理解函数图象的意义是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：数据，，，，，，从小到大的排列顺序为：，，，，，，，其中出现的次数最多，故是众数．是位于中间的数字，故是中位数． 故选：． 根据中位数、众数的定义求解即可． 本题主要考查中位数、众数的定义，关键是掌握众数和中位数的定义． 6.【答案】  【解析】解：、邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、四个角相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意； D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：． 利用菱形、矩形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形、矩形及正方形的判定方法，难度不大． 7.【答案】  【解析】解：因为正比例函数的函数值随的增大而减小， 所以， 所以， 则一次函数的图象大致是： ， 故选：． 由题意，利用正比例函数图象性质判断得到小于，再利用一次函数性质即可得到结果． 此题考查了一次函数的图象，以及正比例函数的性质，熟练掌握一次函数图象及性质是解本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：正方形的面积等于， 即， 正方形的面积为， ， 又为直角三角形，根据勾股定理得： ， ， 则正方形的面积为． 故选：． 根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形的面积和正方形的面积分别表示出的平方及的平方，又三角形为直角三角形，根据勾股定理求出的平方，即为所求正方形的面积． 此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 9.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形，对角线、交于点， ， 点是的中点，点是的中点，， ， ， 故选：． 由平行四边形的性质得，根据三角形中位线定理得，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：直线经过第一、二、四象限， ，， 所以正确； 直线与轴的交点在轴下方， ， 所以错误； 当时，， 关于的方程的解为， 所以正确； 当，直线在直线的下方， 时，． 所以错误． 综上所述，其中正确的结论有个． 故选：． 利用一次函数的性质对进行判断；利用两直线的交点的横坐标为可对进行判断；利用两直线的位置关系对进行判断． 本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性质及数形结合思想是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：要使二次根式有意义，则， 解得， 故答案为：． 二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12.【答案】乙  【解析】解：，， ， 九月份每天营业额较稳定的超市是乙， 故答案为：乙． 根据方差的意义求解即可． 本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 13.【答案】  【解析】解：点到两坐标轴的距离分别是、， 点到原点的距离是：． 故答案是：． 根据勾股定理即可得到结论． 本题主要考查了勾股定理和坐标与图形的性质，根据点的坐标得到“点到两坐标轴的距离分别是、”是解题的突破口． 14.【答案】  【解析】解：直线向上平移个单位， 平移后的直线解析式为， 即， 故答案为：． 根据“上加下减”的平移规律求解即可． 本题考查了一次函数图象的平移规律，熟记一次函数图象的平移规律是解题的关键． 15.【答案】或  【解析】解：由题意可得：， ， ， 图中所示的中位线剪开， ，，， 如图所示：拼成一个矩形，矩形周长为：； 如图所示，可以拼成一个平行四边形，周长为：， 故答案为或． 根据三角函数可以计算出，，再根据中位线的性质可得，，，然后拼图，出现两种情况，一种是拼成一个矩形，另一种拼成一个平行四边形，进而算出周长即可． 此题主要考查了图形的剪拼，关键是根据画出图形，要考虑全面，不要漏解． 16.【答案】解：原式                                       ．  【解析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，然后把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 17.【答案】解：设， 把，代入得， 解得， ， 即； 时，， 点不在函数的图象上．  【解析】根据成正比例的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出，从而得到与的函数关系式； 利用中的解析式，计算自变量为对应的函数值，若函数值不等于，则可判断点不在这个函数的图象上． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数的性质． 18.【答案】我认为小明的说法正确，见解析．  【解析】我认为小明的说法正确．理由如下： ，， ． ． 从点观察篮板顶部点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数， ． 四边形是平行四边形． ． 的长度就是篮板的高度． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 19.【答案】；； 平均睡眠时间为小时的人数为：人； 平均睡眠时间为小时的人数为：人 补全频数直方图如图： 这部分学生的平均睡眠时间的众数是， 平均数小时； 名睡眠不足少于小时的学生数人．  【解析】解：； 所抽查的学生人数为：人； 故答案为：；； 见答案； 见答案； 见答案； 根据扇形统计图中的数据，可以得到的值，然后根据平均睡眠时间为小时的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数 根据统计图中的数据和中的结果，可以求得平均睡眠时间为小时的人数和小时的人数，然后即可将直方图补充完整 根据直方图中的数据，可以得到这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数 根据直方图中的数据，可以计算出睡眠不足少于小时的学生数． 此题考查了频数率分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键． 20.【答案】解：由题意可知， 在中，， ． 在中，， 供水点到喷泉需要铺设的管道长为； 证明：，，， ， ．  【解析】在中，勾股定理求得，进而求得的长，在中，勾股定理求得的长，进而即可求解； 根据勾股定理的逆定理证明，根据点到直线的距离即可求解． 本题考查了勾股定理及其逆定理，勾股定理的应用，关键是根据勾股定理、勾股定理的逆定理解答． 21.【答案】证明：四边形是平行四边形， ， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 解：，， ， 平行四边形的周长为， 菱形的周长为：， ， ， ， 又 ， 是等边三角形， ．  【解析】由平行四边形的性质得，得，，可证明≌，得出，可得四边形是平行四边形，由即得是菱形： 求出菱形的周长为，得出，再证明是等边三角形，即得． 本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 22.【答案】解：人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足， 设这人中选择套餐的有人， ， 则选则套餐的有人，， ， ， ． 答：选择套餐的有人，选择套餐的有人． 两种套餐皆可的人中有人选择套餐， 当套餐人数不少于人时，， ， 则选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件， 订餐总费用为：； 两种套餐皆可的人中有人选择套餐， 当时，由得：， ， 随的增大而增大， 当时总费用最小为元， 当时，，， 订餐总费用， ， 随的增大而增大， 时，最小为元， 若选择优惠方案三，订餐总费用为， 总费用满元立减元， 当时，订餐费用最小为元． 综上所述，当订购套餐份，订购套餐份时，订餐总费用最低元．  【解析】根据题意列出方程，进而求解； 根据题意列出一次函数，求出解析式，进而求出总费用； 分情况进行计算，最后进行比较，求出最小值． 本题主要考查了一次函数的综合运用，有一定的难度． 23.【答案】；   ；   或．  【解析】将点，代入， ， 解得， 直线的解析式为； 作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接、， ， ，此时的值最小， 当时，， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ； 当为矩形的边时，， 点与点重合， ； 当为矩形的对角线时，过点作交于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 综上所述：点坐标为或． 用待定系数法求函数的解析式即可； 作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接、，，此时的值最小，求出直线与轴的交点即可求点坐标； 根据矩形的性质分两种情况讨论：当为矩形的边时，点与点重合，；当为矩形的对角线时，过点作交于点，是等腰直角三角形，，． 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$