重难强化十二 用“动态圆”思想处理临界、极值问题（专项训练）（广东专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

重难强化十二 用“动态圆”思想处理临界、极值问题 目录 01 课标达标练 1 题型01 移圆模型 1 题型02 放缩圆模型 3 题型03 旋转圆模型 6 题型04 磁聚焦模型 8 02 核心突破练 9 03 真题溯源练 13 01 平移圆模型 1．如图所示，在等腰直角三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。一群质量为m、电荷量为+q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是（　　） A．等腰三角形BAC中AB边的长度为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为 D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变 【答案】AB 【详解】A．依题意可知在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹时半圆，轨迹圆的圆心在A点。且其轨迹与BC边相切。根据几何关系可知粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有 联立，可得故A正确； B．粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为根据上一选项分析，粒子轨迹所对应的圆心角度为90，则有故B正确； C．从AB中点射入的粒子，其轨迹为上面所分析的粒子轨迹向下平移得到 此轨迹圆的圆心在A点的正下方，由几何关系可知，离开磁场时的位置与A点的距离必然小于轨迹半径r，即。故C错误； D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中将向上偏转，不会出现圆心角为90的轨迹，故最长时间将变小，故D错误。故选AB。 02 放缩圆模型 2．如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为的带电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向入射磁场，不考虑带电粒子受到的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子可能从B点射出 B．若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 D．所有从AB边射出的粒子，其在磁场中运动的时间均相等 【答案】CD 【详解】A．带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由于BC边的限制，粒子不能到达B点，故A错误； B．粒子垂直于BC边射出，如图甲所示。 则粒子做匀速圆周运动的半径等于D点到BC边的距离，即 故B错误； C．粒子从C点射出，如图乙所示。 根据几何关系有 求得， 则粒子在磁场中运动的时间为 故C正确； D．根据 可知 若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示。 由几何知识可知，所有粒子从AB边射出时的圆心角均相同，可知其在磁场中运动的时间均相同，故D正确。 故选CD。 3．（2024·广东·模拟预测）如图所示的虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，一束粒子以不同速率垂直于磁场方向，沿图中方向射入磁场后，分别从A、B、C三点射出磁场，设其在磁场中运动的时间分别为、、，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．粒子带负电 D．从A点出射粒子速度最大 【答案】C 【详解】C．粒子从A、B、C射出，受到向右的洛伦兹力，根据左手定则，粒子带负电，C正确； AB．三种情况下从A、B、C射出的轨迹如图所示 可以看出从粒子从A、B射出偏转了180°，从C射出的偏转角小于180°，而在磁场中运动的时间取决于圆心角的大小，即 粒子在磁场中做圆周运动的周期 可知 AB错误； D．根据 解得 根据粒子的轨迹可知，粒子从A射出的半径最小，速度最小，D错误。 故选C。 03 旋转圆模型 4．（2024·广东湛江·模拟预测）如图为某粒子收集器的简化图，由加速、偏转和收集三部分组成。辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面，圆心为O，外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差为U。足够长的收集板MN平行于边界ACDB，O到MN的距离为L，ACDB和MN之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。现有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们均匀地吸附在外圆弧面AB上，并从静止开始加速。不计粒子重力、粒子间的相互作用及碰撞，若测得这些粒子进入磁场后的运动半径为2L，下列说法正确的是（　　） A．外圆弧面AB上有的粒子能打在收集板MN上 B．外圆弧面AB上有的粒子能打在收集板MN上 C．外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差 D．若增大外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差，则打在收集板MN的粒子数占比将增大 【答案】AD 【详解】AB．如图，由几何关系，得 解得 又 故外圆弧面AB上有 的粒子能打在收集板MN上，故A正确，B错误； C．粒子加速过程 在磁场中 解得外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差为 故C错误； D．若增大外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差，进入磁场的速度增大，则粒子在磁场中的半径增大，由 得变小，再由 打在收集板MN的粒子数占比将增大，故D正确。 故选AD。 5.如图，x轴上的P(l,0)点处有一正离子源，在xOy平面内向第一象限各个方向发射速率相同的同种离子。当离子沿与x轴正方向成θ＝30°角射入第一象限内的匀强磁场时，从y轴上的D点(未画出)离开磁场，在所有离子轨迹与y轴交点中，D点距离O点最远。若θ＝ 90°，离子将从C点(未画出)离开磁场，不计离子重力及离子间的相互作用，DC的长为(　 ) A．(2－)l B．(－1)l C．(－1)l D．(2－)l 【答案】B　 【解析】：当离子沿与x轴正方向成θ＝30°角射入第一象限内的匀强磁场时，从y轴上的D点离开磁场，在所有离子轨迹与y轴交点中，D点距离O点最远，如图所示， 根据几何关系，圆周运动半径为R＝l，OD＝l，若θ＝90°，离子将从C点离开磁场，根据动态圆法，可知OC＝l(等于粒子在磁场中做圆周运动的半径)，则DC＝OD－OC＝(－1)l，故选B。 04 磁聚焦模型 6．如图所示，在xOy坐标系的第一象限中有一半径为r＝0.1 m的圆形磁场区域，磁感应强度为B＝1 T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为C、A。现有大量质量为1×10－18 kg(重力不计)、电荷量大小为2×10－10 C、速率均为2×107 m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角为θ，且0＜θ＜180°，则下列说法正确的是(　 ) A．粒子的轨迹圆和磁场圆的半径相等 B．这些粒子轨迹圆的圆心构成的圆和磁场圆的半径相等 C．部分粒子可以穿越坐标系进入第二象限 D．粒子的轨迹可以覆盖整个磁场圆 【答案】　ABD 【解析】粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据qvB＝m，解得R＝0.1 m，故A正确；由题意得，粒子的轨迹相当于把半径R＝0.1 m的圆以A点为轴转动，粒子轨迹圆心构成的圆的圆心在A点，半径与磁场的半径相等，且粒子的轨迹可以覆盖整个磁场圆，故B、D正确；由于粒子做圆周运动的半径与磁场的半径相等，符合磁发散的条件，根据磁发散的特点，粒子离开磁场后速度都竖直向下，不可能进入到第二象限，故C错误。 1．如图，在等腰梯形abcd区域内（包含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长，。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从a点沿着ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为了使粒子不能从bc边射出磁场区域，粒子的速率可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】粒子不从bc边射出，其临界分别是从b点和c点射出，其临界轨迹如图所示 当粒子从c点飞出时，由几何关系有 若粒子从b点飞出时，有几何关系有 粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，有 整理有 所以综上所述，有 或 整理有 或 故选AC。 2．（2023·广东·模拟预测）一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是（　　） A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B．从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长 C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 D．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 【答案】AD 【详解】ABC．画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如下图所示 当粒子都从ab边射出，则运动轨迹都是半圆周，运动时间都相等，为，当粒子都从bc边射出，则速度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间大于，故A正确，BC错误； D．当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此粒子在磁场中最长运动时间小于，故D正确。 故选AD。 3．如图所示，矩形OMPN空间内存在垂直于平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。有大量速率不同的电子从O点沿着ON方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，OM长度为3d，ON长度为2d，忽略电子之间的相互作用，电子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．电子速率越小，在磁场里运动的时间一定越长 B．电子在磁场里运动的最长时间为 C．MP上有电子射出部分的长度为 D．MP上有电子射出部分的长度为 【答案】BC 【详解】AB．电子在磁场中做匀速圆周运动，则 则运动周期 运动时间 由此可知电子运动时间与运动的圆心角有关，当电子速度较小时从OM边射出，圆心角均为，且此时对应的圆心角最大，故运动时间最长为 故A错误，B正确； CD．随着速度增大，电子运动半径逐渐增大，轨迹如图所示 由图可知MP边有电子射出的范围为BM长度，当电子轨迹与上边界相切时半径为2d，由几何关系可知 故C正确，D错误。 故选BC。 4．(2024·广东·模拟)如图所示，宽为d的混合粒子束由速率为3v、4v、5v的三种带正电的离子组成．所有离子的电荷量均为q、质量均为m，当三种速率的离子水平向右进入匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在入口处，紧靠粒子束的下边缘竖直放置一个长度为2d的薄吞噬板MN.忽略离子重力及离子间相互作用，若使这些离子都能打到吞噬板MN上，则磁感应强度大小的取值范围是(　　) A.<B< B.<B< C.<B< D.<B< 答案　C 解析　由分析可知，粒子束上边缘进入速率为v1＝3v的离子到达吞噬板上边缘时，半径最小，磁感应强度最大，根据qv1B1＝m，由几何关系得R1＝，可得B1＝；粒子束下边缘进入速率为v2＝5v的离子到达吞噬板下边缘时，半径最大，磁感应强度最小，此时qv2B2＝m，R2＝d，得B2＝，所以磁感应强度大小的取值范围为<B<，故C正确，A、B、D错误． 1.（2025·河北·高考真题）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 【答案】BCD 【详解】A．根据粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则可知粒子带负电，选项A错误； B．随着粒子不断打到N极板上，N极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒子恰能到达N极板时满足， 解得 即d越大，板间所形成的最大电场强度越小，选项B正确； C．因粒子发射方向与OP夹角为60°时恰能垂直穿过M板Q点的小孔，则由几何关系 解得r=2L 可得 可得粒子从磁场上方，直接打在打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 当N极板吸收一定量的粒子后，粒子再从Q点射入极板，会返回再从在Q点射出，后继续做圆周运动，这时打M板在板上表面的位置 则粒子打在M板上表面的位置的最大距离为，选项C正确； D．因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ长度时，粒子仍可从Q点进入两板之间，由几何关系可知此时粒子从P点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M板夹角为α=30°，则在两板间运动时间 其中 打到M板下表面距离Q点的最小距离 解得 选项D正确。 故选BCD。 2.（2024·重庆·高考真题）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。 (1)求OK间的距离； (2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离； (3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时O点。求打开磁场的那一时刻。    【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）（1）当粒子到达О点时打开磁场开关，粒子做匀速圆周运动，设轨迹半径为r1，如图所示    由洛伦兹力提供向心力得 其中 （2）速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，则粒子在磁场中运动的轨迹半径 r2 = 4r1 如图所示，由几何关系有 （4r1-2r1）2＋MO2 = (4r1)2 解得 （3）速率为4v0的粒子射出一段时间t到达N点，要使粒子仍然经过K点，则N点在O点右侧，如图所示    由几何关系有 （4r1-2r1）2＋ON2 = (4r1)2 解得 粒子在打开磁场开关前运动时间为 解得 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难强化十二 用“动态圆”思想处理临界、极值问题 目录 01 课标达标练 1 题型01 移圆模型 1 题型02 放缩圆模型 2 题型03 旋转圆模型 3 题型04 磁聚焦模型 4 02 核心突破练 4 03 真题溯源练 6 01 平移圆模型 1．如图所示，在等腰直角三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。一群质量为m、电荷量为+q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是（　　） A．等腰三角形BAC中AB边的长度为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为 D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变 02 放缩圆模型 2．如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为的带电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向入射磁场，不考虑带电粒子受到的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子可能从B点射出 B．若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 D．所有从AB边射出的粒子，其在磁场中运动的时间均相等 3．（2024·广东·模拟预测）如图所示的虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，一束粒子以不同速率垂直于磁场方向，沿图中方向射入磁场后，分别从A、B、C三点射出磁场，设其在磁场中运动的时间分别为、、，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．粒子带负电 D．从A点出射粒子速度最大 03 旋转圆模型 4．（2024·广东湛江·模拟预测）如图为某粒子收集器的简化图，由加速、偏转和收集三部分组成。辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面，圆心为O，外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差为U。足够长的收集板MN平行于边界ACDB，O到MN的距离为L，ACDB和MN之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。现有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们均匀地吸附在外圆弧面AB上，并从静止开始加速。不计粒子重力、粒子间的相互作用及碰撞，若测得这些粒子进入磁场后的运动半径为2L，下列说法正确的是（　　） A．外圆弧面AB上有的粒子能打在收集板MN上 B．外圆弧面AB上有的粒子能打在收集板MN上 C．外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差 D．若增大外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差，则打在收集板MN的粒子数占比将增大 5.如图，x轴上的P(l,0)点处有一正离子源，在xOy平面内向第一象限各个方向发射速率相同的同种离子。当离子沿与x轴正方向成θ＝30°角射入第一象限内的匀强磁场时，从y轴上的D点(未画出)离开磁场，在所有离子轨迹与y轴交点中，D点距离O点最远。若θ＝ 90°，离子将从C点(未画出)离开磁场，不计离子重力及离子间的相互作用，DC的长为(　 ) A．(2－)l B．(－1)l C．(－1)l D．(2－)l 04 磁聚焦模型 6．如图所示，在xOy坐标系的第一象限中有一半径为r＝0.1 m的圆形磁场区域，磁感应强度为B＝1 T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为C、A。现有大量质量为1×10－18 kg(重力不计)、电荷量大小为2×10－10 C、速率均为2×107 m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角为θ，且0＜θ＜180°，则下列说法正确的是(　 ) A．粒子的轨迹圆和磁场圆的半径相等 B．这些粒子轨迹圆的圆心构成的圆和磁场圆的半径相等 C．部分粒子可以穿越坐标系进入第二象限 D．粒子的轨迹可以覆盖整个磁场圆 1．如图，在等腰梯形abcd区域内（包含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长，。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从a点沿着ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为了使粒子不能从bc边射出磁场区域，粒子的速率可能为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·广东·模拟预测）一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是（　　） A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B．从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长 C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 D．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 3．如图所示，矩形OMPN空间内存在垂直于平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。有大量速率不同的电子从O点沿着ON方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，OM长度为3d，ON长度为2d，忽略电子之间的相互作用，电子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．电子速率越小，在磁场里运动的时间一定越长 B．电子在磁场里运动的最长时间为 C．MP上有电子射出部分的长度为 D．MP上有电子射出部分的长度为 4．(2024·广东·模拟)如图所示，宽为d的混合粒子束由速率为3v、4v、5v的三种带正电的离子组成．所有离子的电荷量均为q、质量均为m，当三种速率的离子水平向右进入匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在入口处，紧靠粒子束的下边缘竖直放置一个长度为2d的薄吞噬板MN.忽略离子重力及离子间相互作用，若使这些离子都能打到吞噬板MN上，则磁感应强度大小的取值范围是(　　) A.<B< B.<B< C.<B< D.<B< 1.（2025·河北·高考真题）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 2.（2024·重庆·高考真题）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。 (1)求OK间的距离； (2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离； (3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时O点。求打开磁场的那一时刻。    1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$