第06讲三角形全等的判定（5大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新八年级数学衔接讲义（人教版2024）

第06讲三角形全等的判定（5大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用SSS证明三角形全等 典型例题二 利用SAS证明三角形全等 典型例题三 利用ASA或AAS证明三角形全等 典型例题四 利用HL证明三角形全等 典型例题五 添加条件使三角形全等 典型例题六 全等三角形的综合问题 知识点一：判定两个三角形全等的基本事实（边边边） 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·吉林·期末）如图是小明制作的风筝，他根据，，不用度量，就知道，小明是通过全等三角形的判定和性质得到的结论，请问小明用的判定方法是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是 ． 知识点二：判定两个三角形全等的基本事实（边角边） 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【即时训练】 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列条件中能判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24八年级上·四川内江·期中）如图，已知，若根据“”判定，需要补充的一个条件是 ．    知识点三：判定两个三角形全等的基本事实（角边角） 1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（   ）去玻璃店． A．① B．② C．③ D．①和② 2．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃． 知识点四：判定两个三角形全等的基本事实（角角边） 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【即时训练】 1．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，，，那么的依据是（    ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 2．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，AB与CD相交于点O，，添加条件： ，可得，理由是 （添加一种合适的情况即可）． 知识点五：直角三角形全等的判定（斜边、直角边） 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，在和中，，，则的理由是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在和中，，根据 （填判定方法的简称）可以知道． 【典型例题一 利用SSS证明三角形全等】 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列三角形中，与全等的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 1．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则可推出（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，连接，则 ． 4．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【典型例题二 利用SAS证明三角形全等】 1．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，，与全等吗？请你说出理由． 1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，和相交于点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，，，则，理由是 ． 4．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【典型例题三 利用ASA或AAS证明三角形全等】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25九年级下·云南·期中）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定，最恰当的理由是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是 ． 4．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 【典型例题四 利用HL证明三角形全等】 1．（24-25八年级下·山西晋中·期中）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图所示，和中，于点，于点，且，，求证：． 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，于点于点，且，若利用“H.L.”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在和中，点在边上，，，，求证：． 【典型例题五 添加条件使三角形全等】 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知，添加下列条件后，仍不能判断的是（      ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，，，，在同一直线上，，，下列四个条件： ① ② ③ ④； 选择其中一个并证明与全等 1．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）几个能唯一确定一个三角形的量称为三角形的“基本量”．下列各组量中一定能成为三角形的基本量的是（   ） A．三个内角 B．两条边与一个内角 C．面积与一条边 D．周长和两条边 2．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A．平分 B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海静安·期末）在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是 ． 4．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知：如图，，请你添加一个条件，使得，并给予证明．    【典型例题六 全等三角形的综合问题】 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）证明：如果两个三角形有两个角和其中一个角的平分线分别相等，那么这两个三角形全等．（提示：对于几何中的文字证明题，应先根据题意画出图形，写出已知和求证，再证明．） 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）与如图所示的三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图是小华作业的部分片段，则被污染的部分可能是（    ） 题干：……，求证：． 证明：在和中，， ∴．    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，，点在上．下列结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）    4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，点为上一点且．求证：． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列三角形中，与如图所示的全等的是（   ）    A．   B．   C．   D．   2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）用直尺和圆规作等于已知的过程如下图，则图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，分别是的中点，连接交于点．不添加辅助线，判断的依据是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·河北保定·期末）小亮设计了如下测量一池塘两端的距离的方案：先取一个可直接到达点，的点，连接，，延长至点，延长至点，使得，，再测出的长度，即可知道，之间的距离．他设计方案的理由是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 5．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，书上的三角形不慎被墨迹污染了一部分，小明根据所学的知识画了一个与原三角形一样的三角形，则小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·重庆潼南·期中）装修工人在搬运中发现有一块三角形的玻璃不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块到玻璃店才能配到相匹配的玻璃（    ） A．① B．② C．③ D．④ 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，．可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在四边形中，，垂足分别是、．求证：．以下是排乱的证明过程； ①；②；③；④在和中证明步骤正确的顺序是（    ） A．③②④① B．③①④② C．①②③④ D．①③④② 9．（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）如图，是的平分线，是上一点，在上，在上，添加下列条件，不能判断的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·福建福州·期末）根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，连接画一条射线，交于点P．是的平分线，其中的依据是 ． 12．（23-24八年级上·云南保山·阶段练习）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为 ． 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，某同学不小心把一块三角形玻璃碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 块（填“”、“ ”或“” ． 14．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，，要使，若根据“HL”判定，还需要添加的条件是 ．    15．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 17．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，D是边上一点，交于点E，，．求证：． 18．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，且，．求证：． 19．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，点、在上，，，． 求证：． 20．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲三角形全等的判定（5大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用SSS证明三角形全等 典型例题二 利用SAS证明三角形全等 典型例题三 利用ASA或AAS证明三角形全等 典型例题四 利用HL证明三角形全等 典型例题五 添加条件使三角形全等 典型例题六 全等三角形的综合问题 知识点一：判定两个三角形全等的基本事实（边边边） 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·吉林·期末）如图是小明制作的风筝，他根据，，不用度量，就知道，小明是通过全等三角形的判定和性质得到的结论，请问小明用的判定方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意即可得出判定方法是． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是 ． 【答案】三边对应相等的三角形是全等三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴判断三角形全等的依据是：三边对应相等的三角形是全等三角形 故答案为：三边对应相等的三角形是全等三角形 知识点二：判定两个三角形全等的基本事实（边角边） 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【即时训练】 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列条件中能判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．依据全等三角形的判定定理进行判断，并结合线段与角的位置关系准确分析即可． 【详解】解：A、边边角不能证明两个三角形全等，故A错误，不符合题意； B、边边角不能证明两个三角形全等，故B错误，不符合题意； C、边边角不能证明两个三角形全等，故C错误，不符合题意； D、，，，符合，故D正确，符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级上·四川内江·期中）如图，已知，若根据“”判定，需要补充的一个条件是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，利用公共边以及，依据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，即可得到需要的条件． 【详解】在和中， ，， 添加时，可以根据判定， 故答案为：． 知识点三：判定两个三角形全等的基本事实（角边角） 1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（   ）去玻璃店． A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等判定解决实际问题，由题中图形可知，第③块玻璃保留了破碎钱三角形玻璃中的两个角及一条边，借助两个三角形全等的判定定理即可到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，要求学生将所需数学知识运用到实际生活中，读懂题意，观察图形，灵活运用三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，第③块玻璃保留了破碎钱三角形玻璃中的两个角及一条边，借助两个三角形全等的判定定理即可到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，因此最省事的办法是带③去玻璃店， 故选：C． 2．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃． 【答案】② 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，灵活运用常见的全等三角形的判定方法成为解题的关键．根据图形信息结合三角形全等的判定方法即可解答． 【详解】解：第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．应带②去． 故答案为：②． 知识点四：判定两个三角形全等的基本事实（角角边） 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【即时训练】 1．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，，，那么的依据是（    ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】C 【分析】由条件结合BC＝CB可判定三角形全等． 【详解】解：∵，，且BC＝CB， ∴在△ABC和△DCB中，满足AAS全等， 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 2．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，AB与CD相交于点O，，添加条件： ，可得，理由是 （添加一种合适的情况即可）． 【答案】 AAS 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是求出满足三角形全等的三个条件． 【详解】解：添加，利用AAS可得． 故答案为：；AAS． 知识点五：直角三角形全等的判定（斜边、直角边） 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，在和中，，，则的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可直接得出答案． 【详解】解：由全等三角形的判定方法可知，的理由是， 故选：． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在和中，，根据 （填判定方法的简称）可以知道． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据已知条件利用即可证明． 【详解】证明：在和中， ∵， ∴． 故答案为：． 【典型例题一 利用SSS证明三角形全等】 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列三角形中，与全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得到两三角形全等即可解题． 【详解】解：因为三角形要全等对应边必须相等，所以只有C选项与的各边都相等， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正确，见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质； （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：正确，理由： 由（1）得， ∴， 即平分， 所以小华的发现是正确的． 1．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则可推出（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合题意，根据全等三角形的判定性质分析，即可得到答案． 【详解】在和中， ， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，根据判定三角形全等即可得解． 【详解】解：在和中， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：． 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【详解】证明：∵， ∴，即 ， 在和中， ， ∴． 【典型例题二 利用SAS证明三角形全等】 1．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，，与全等吗？请你说出理由． 【答案】全等，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由证明，然后利用证明即可． 【详解】解：与全等，理由如下： ， ， 即：， 在与中， ， ． 1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，和相交于点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中，，， 若要用证明，则需要添加条件， 故选：． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：在和中， ， ． 故选D． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，，，则，理由是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握证明两三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，关键是根据证明与全等解答． 根据等式的性质得出，再根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】证明：如图， ， ，即， 在和中， ， ． 【典型例题三 利用ASA或AAS证明三角形全等】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是熟悉三角形的判定定理，看那块可以符合全等三角形的条件． 【详解】解：两角一夹边对应相等，两个三角形全等， 带③去就可以， 故选：C． 2．（24-25九年级下·云南·期中）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明． 【详解】证明：在四边形中，，点为对角线上一点， ， 在和中， ， ． 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定，最恰当的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据条件有，，，即可根据三角形全等的判定方法进行解答． 【详解】解：因为证明在用到的条件是：，，， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定条件，可确定三角形的形状和大小，即可． 【详解】解：A、，，，的大小不能确定，不符合题意； B、，，， 的形状和大小不能确定，不符合题意； C、，，，的形状和大小不能确定，不符合题意； D、，，，根据可以判定，的形状和大小能确定，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据图形可知图中三角形纸片两角及其夹边已知，则可根据解答． 【详解】解：∵图中三角形纸片两角及其夹边已知， ∴可以根据画出了一个与原三角形完全重合的三角形， 故答案为：． 4．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明；在和中， ， ∴． 【典型例题四 利用HL证明三角形全等】 1．（24-25八年级下·山西晋中·期中）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理“”即可求证，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图所示，和中，于点，于点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练运用证明全等三角形成为解题的关键． 先说明和为直角三角形，然后运用即可解答． 【详解】证明：，， 和为直角三角形． 在和中， ， ． 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握定理是关键．在和中，，，，即可根据定理证明． 【详解】解：在和中，，，， ∴， 故选：C 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，于点于点，且，若利用“H.L.”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定， 题目中已经给出一对直角边相等，再添加斜边对应相等可得答案． 【详解】解：在和中， ∴． 所以需要添加的条件是． 故选：A． 3．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【答案】（或） 【分析】本题主要考查的是直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据两个直角三角形全等的判定方法HL，即“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， ，， 当或时，． 故答案为：（或） 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在和中，点在边上，，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的常用方法有：、、、及，熟练掌握并灵活运用适当判定方法是解题关键．直接利用证明即可． 【详解】证明：在和中，， ∴． 【典型例题五 添加条件使三角形全等】 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知，添加下列条件后，仍不能判断的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判，熟记相关定理结论是解题关键； 【详解】解：∵， 若，则根据可判定，故A不符合题意； 若，则根据可判定，故B不符合题意； 若，则根据可判定，故C不符合题意； 不是两个三角形的对应边，故不可判定，故D符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，，，，在同一直线上，，，下列四个条件： ① ② ③ ④； 选择其中一个并证明与全等 【答案】选②或③，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．选择其中能判定三角形全等的条件，根据全等三角形的判定方法判定即可． 【详解】选②， 证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ； 选③， 证明：， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ． 1．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）几个能唯一确定一个三角形的量称为三角形的“基本量”．下列各组量中一定能成为三角形的基本量的是（   ） A．三个内角 B．两条边与一个内角 C．面积与一条边 D．周长和两条边 【答案】D 【分析】此题考查的知识点是三角形确定方法，全等三角形的判定，根据几个能唯一确定一个三角形的量称为三角形的“基本量”，分析解答．关键是根据定义解答． 【详解】解：根据能唯一确定一个三角形的量称为三角形的“基本量”， 得只有知道周长和两边时，第三边已经确定，已知三边一定能组成唯一三角形． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．由于斜边为公共边，则添加一组直角边对应相等即可． 【详解】解：∵， ∴当添加或时，． 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海静安·期末）在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，添加可利用证明． 【详解】解：添加，证明如下： ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知：如图，，请你添加一个条件，使得，并给予证明．    【答案】添加一个条件：；证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，判定三角形全等的方法有：、、、、． 【详解】添加一个条件：； 证明：， ， ，， ≌()， ． 【典型例题六 全等三角形的综合问题】 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了网格与全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是关键． 根据题意可得，，，则，，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）证明：如果两个三角形有两个角和其中一个角的平分线分别相等，那么这两个三角形全等．（提示：对于几何中的文字证明题，应先根据题意画出图形，写出已知和求证，再证明．） 【答案】见解析 【分析】根据题意画出对应几何图形，先证可得，即可求证． 【详解】已知：如图，,,分别平分, 求证：    证明：∵分别平分, ∴ ∵， ∴ ∴ ∵, ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质．掌握相关结论是解题关键． 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）与如图所示的三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得：另一条直角边为， A、根据即可得到两个三角形全等，故该选项不符合题意； B、根据即可得到两个三角形全等，故该选项不符合题意； C、不能得到两个三角形全等，故该选项符合题意； D、根据即可得到两个三角形全等，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图是小华作业的部分片段，则被污染的部分可能是（    ） 题干：……，求证：． 证明：在和中，， ∴．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：∵，即运用的是“角边角”的证明方法，且，， ∴当时，即可运用“角边角”证明， 故选：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，，点在上．下列结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）    【答案】①②③ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法是解题的关键． 根据题意，运用边边边证明，再运用边角边证明，，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，，， ∴，过结论②正确； ∵， ∴， ∵，，， ∴，故结论③正确； 故答案为：①②③． 4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，点为上一点且．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据，，是公共边，可证，从而得出，由此证明，即可证明结论． 【详解】证明：∵，，是公共边， ∴， ∴， ∵， ∴，且，是公共边， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列三角形中，与如图所示的全等的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 按判定全等的方法逐个验证即可得出正确答案． 【详解】解：A．三角形各边与的各边不相等，两个三角形不全等，不符合题意； B．三角形各边与的各边不相等，两个三角形不全等，不符合题意； C．三角形各边与的各边相等，两个三角形全等，符合题意； D．三角形各边与的各边不相等，两个三角形不全等，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）用直尺和圆规作等于已知的过程如下图，则图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作角等于已知角的方法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据作图可得，运用边边边证明与全等即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：B ． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，分别是的中点，连接交于点．不添加辅助线，判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 由线段中点的意义结合得到，而夹角相等，故由可证明． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（22-23七年级下·河北保定·期末）小亮设计了如下测量一池塘两端的距离的方案：先取一个可直接到达点，的点，连接，，延长至点，延长至点，使得，，再测出的长度，即可知道，之间的距离．他设计方案的理由是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，书上的三角形不慎被墨迹污染了一部分，小明根据所学的知识画了一个与原三角形一样的三角形，则小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据已知三角形，利用两角及其夹边分别相等的两个三角形全等即可求解． 【详解】解：根据所给三角形，小明根据“”，画了一个与原三角形一样的三角形， 故选：B． 6．（24-25八年级上·重庆潼南·期中）装修工人在搬运中发现有一块三角形的玻璃不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块到玻璃店才能配到相匹配的玻璃（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定条件逐一验证即可得出结论． 【详解】解：①没有完全的边和角，显然不能，故A选项错误； ②满足两角夹一边，即，满足题意，故B选项正确； ③没有完全的边和角，显然不能，故C选项错误； ④只有一角，显然不能，故D选项错误． 故选：B． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，．可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 根据直角三角形全等的判定定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴在和中 ， 故选：A． 8．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在四边形中，，垂足分别是、．求证：．以下是排乱的证明过程； ①；②；③；④在和中证明步骤正确的顺序是（    ） A．③②④① B．③①④② C．①②③④ D．①③④② 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据垂直定义得出，再根据判定三角形全等即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， 故顺序为③①④②， 故选：B． 9．（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）如图，是的平分线，是上一点，在上，在上，添加下列条件，不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， A：若添加，构成，不能判断，故该选项符合题意； B：若添加，构成，能判断，故该选项不符合题意； C：若添加，构成，能判断，故该选项不符合题意； D：若添加，构成，能判断，故该选项不符合题意， 故选：A． 10．（24-25七年级下·福建福州·期末）根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定条件逐一分析各选项，判断是否能唯一确定. 【详解】解：A. 已知，但在非直角或钝角时无法唯一确定三角形，可能存在两种不同形状，故排除； B. 已知（直角三角形斜边），但未给出另一条边或角，无法确定直角边长度，条件不足，排除； C. 已知（），符合边角边全等判定定理，能唯一确定三角形，符合条件； D. ，因，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，排除； 故选C 11．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，连接画一条射线，交于点P．是的平分线，其中的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据已知条件推断全等的依据即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·云南保山·阶段练习）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用：解题的关键是熟练掌握全等三角的判定法方法． 利用证明，即可解答． 【详解】解： 点既是的中点，也是的中点， ， 在和中， ， ， ， 故答案为： 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，某同学不小心把一块三角形玻璃碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 块（填“”、“ ”或“” ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．根据三角形全等的判定定理判断即可． 【详解】解：根据三角形全等的判定定理可知，带去可以配一块完全一样的玻璃， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，，要使，若根据“HL”判定，还需要添加的条件是 ．    【答案】 【分析】本题考查了根据证明三角形全等，掌握判定三角形全等是解题的关键． 根据两直角三角形全等的判定定理：即在一对直角三角形中，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等．题干已经有一条直角边是公共边，由此即可得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：， 理由是：在和中， ， ∴； 故答案为：． 15．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理进行推理并运用数学结合思想．根据垂直求出，在根据三角形全等的判定定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．根据可知，结合，，即可判定． 【详解】证明：， ， ， ，， ． 17．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，D是边上一点，交于点E，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 利用证明即可． 【详解】解：∵，， ∴． 18．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由平行线的性质得到，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴． 19．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，点、在上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先由得，再用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 20．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，掌握利用判定两个三角形全等是解决此题的关键． 【详解】证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$