第05讲全等三角形及其性质（3大知识点+5大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（人教版2024）

第05讲全等三角形及其性质（3大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 图形的全等 典型例题二 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 典型例题三 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形) 典型例题四 全等三角形的概念 典型例题五 全等三角形的性质 知识点一：全等形的概念 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 【即时训练】 1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）下列个图形中，是全等图形的是（    ） A．，，， B．与 C．，， D．与 【答案】D 【分析】根据全等图形的概念求解即可． 【详解】解：由图可知，与是全等图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等图形的识别，熟知能够完全重合的图形叫全等图形是解题的关键． 2．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有 组．    【答案】3/三 【分析】本题考查了全等图形的知识．根据全等的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 【详解】解：根据全等的定义可知， 全等图形有：  和  ，  和  ，  和  ， ∴图中有3组全等的图形． 故答案为：3． 知识点二：全等三角形的概念和表示方法 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2.全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 3.全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案． 【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点， ∴边的对应边是， 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·期中）全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 ，重合的边叫 ，重合的角叫 ． 【答案】 对应点 对应边 对应角 【分析】本题主要考查两个全等三角形对应边角的概念，掌握概念是解题的关键，直接根据全等三角形的对应关系的概念填空即可． 【详解】全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起， 重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角． 故答案为：对应点；对应边；对应角． 知识点三：全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：A． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）利用三角形全等测量距离的原理是 ． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，这样可以把不易测量的距离转化成容易测量的距离，据此可得答案． 【详解】解；利用三角形全等测量距离的原理是全等三角形的对应边相等． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【典型例题一 图形的全等】 1．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）所谓全等图形是能够完全重合的图形．下列哪些不是全等图形（　　） A．两条射线 B．两条直线 C．两个等边三角形 D．两条长度相等的线段 【答案】C 【分析】全等图形是能够完全重合的图形，根据全等图形的定义对A、B、D进行判断；根据等边三角形的性质和全等图形的定义对C进行判断． 【详解】解：两条射线可以完全重合，则两条射线是全等图形，所以A不符合题意； 两条直线可以完全重合，则两条直线是全等图形，所以B不符合题意； 两个等边三角形不一定完全重合，则两个等边三角形不一定是全等图形，只有边长相等的两个等边三角形全等，所以C符合题意； 两条长度相等的线段可以完全重合，则两条长度相等的线段是全等图形，所以D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等图形的定义，等边三角形的性质：等边三角形的三边相等，三个内角都相等，且都等于60°． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列图形由七巧板拼成，找出这些拼板中的全等图形，用它们的编号表示出来． 【答案】①⑧全等；②⑪全等；③⑤⑥⑨全等；④⑩⑫⑭全等；⑦⑬全等 【分析】根据全等图形的定义：全等图形，形状大小都相同，即可进行解答． 【详解】解：根据题意得： 全等的图形有：①⑧全等；②⑪全等；③⑤⑥⑨全等；④⑩⑫⑭全等；⑦⑬全等． 【点睛】本体主要考查了全等图形的定义，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义．形状大小都相同的图形是全等图形． 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形，熟记定义是解题的关键． 根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：A、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，不符合题意； B、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，不符合题意； C、由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，符合题意； D、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，不符合题意． 故选：C． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等形的识别．利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； C、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·天津河西·期末）若有四个全等的正方形面积之和是25，则每个小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】首先求出每个小正方形的面积，再利用算术平方根的意义求解即可． 【详解】解：∵四个全等的正方形面积之和是25， ∴每个正方形面积为， ∴每个小正方形的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是理解算术平方根的意义． 4．（23-24八年级上·重庆潼南·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 【答案】 【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解． 【详解】解：如图，连接、，，，， 由图可知，在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键． 【典型例题二 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形)】 1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，并简要说明理由． (1)长和宽分别相等的长方形都是全等图形． (2)一面中华人民共和国国旗上，四个小五角星都全等． (3)两个全等三角形的面积相等． 【答案】(1)正确； (2)正确； (3)正确 【分析】（1）根据全等图形的定义，即可判断； （2）根据全等图形的定义，即可判断； （3）根据全等图图形的性质，即可判断． 【详解】（1）解：长和宽分别相等的长方形都能互相重合，都是全等图形，故原说法正确； （2）一面中华人民共和国国旗上，四个小五角星都能互相重合，即四个小五角星都全等，故原说法正确； （3）两个全等三角形能够完全重合，它们的面积相等，故原说法正确． 【点睛】本题主要考查全等图形的定义，掌握“能够完全重合的图形叫做全等图形”是关键． 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ， ∴， 故选：A． 2．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】首先利用“边角边”求出△和△全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：如图，在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（SAS）， ∴∠2＝∠3， 在Rt△ABC中，∠1+∠3＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点均在正方形网格格点上． （1）图中与线段的长相等的线段是 ； （2） ． 【答案】 / /45度 【分析】本题考查了网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可求解． （1）根据勾股定理可得，据此即可求解； （2）由图推出得，据此即可求解； 【详解】解：（1）由图可知： ，， ∴与线段的长相等的线段是， 故答案为： （2） 由图可知： ， ∴， ∴， 故答案为： 【典型例题三 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形)】 1．（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级上·江西赣州·期中）沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用两种不同的方法试一试． 【答案】见解析 【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【详解】解：如图所示即为所求． 【点睛】题目主要考查了全等图形的定义及学生的空间想象能力，理解全等图形的定义是解题关键． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质. 3．（23-24七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 4．（2025七年级下·全国·专题练习）手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了分割大小形状的图像，先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，画出形状相同、面积相等的图形． 【详解】解：先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，可以分别得出下图所示的四种分法： 【典型例题四 全等三角形的概念】 1．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键． 根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意； B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意； C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意； D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的有关概念，关键是掌握全等三角形的对应顶点，对应边，对应角的定义．由全等三角形的对应顶点，对应边、对应角的定义，即可得到答案． 【详解】解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是和和和，对应角是和和和． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的对应角是， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 3．（23-24八年级上·新疆和田·阶段练习）和全等，记作 ． 【答案】 【分析】根据全等符号：，进行作答即可． 【详解】解：和全等，记作， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是对全等三角形概念的认识，解答的关键是知道全等符号的写法：，本题属于基础题型，要求学生能够熟练掌握各数学符号． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，试找出对应边，对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的相关概念．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：对应边是与，与，与． 对应角是与，与，与． 【典型例题五 全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，若，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，请确定与的大小关系，并说明理由． 【答案】，见详解 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等得到，结合图形计算，证明结论． 【详解】解：，理由如下： ， ， 即 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求出，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：如图，在第一个三角形中，． 由全等三角形的性质可知． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，与全等．已知与是对应角，则对其余对应边或对应角判断错误的是（     ） A．对应边：与 B．对应边：与 C．对应角：与 D．对应角：与 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，首先由点A和点B，点C和点D是对应顶点，可得与是对应角，与是对应角，与是对应边，与是对应边，即可解答． 【详解】解：∵与全等， ∴与是对应角，与是对应角，与是对应边，与是对应边， 与不是和的内角，故不是全等三角形的对应角， 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，A与D，C与E分别是对应顶点，点E在线段上，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：6． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出对应角是解题的关键． 根据全等三角形对应角相等可得，然后相减即可得解． 【详解】解：， ， ， 即． 1．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，四边形中，．若四边形四边形，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查全等多边形的性质，由全等多边形的对应边相等，得出，即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·云南大理·期中）下列图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形，解题的关键是掌握：根据能够完全重合的两个图形是全等图形．据此判断即可． 【详解】解：A．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故此选项不符合题意； B．由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故此选项符合题意； C．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故此选项不符合题意； D．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】B 【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2． 【详解】 ∵在△ABC和△DBE中 ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3=∠ACB， ∵∠ACB+∠1=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠2=45° ∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°， 故选B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是    （    ） A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3） 【答案】A 【详解】试题分析：根据全等的直角三角形的性质依次分析各小题即可判断. 用两个全等的直角三角形一定可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形 故选A. 考点：图形的拼接 点评：图形的拼接是初中数学平面图形中比较基础的知识，，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般. 5．（2025·山西长治·三模）下列图形都是由两个全等的直角三角形组成的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 7．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，由，得，再根据三角形的内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，，，，则度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，先由三角形内角和定理求出的度数，再由全等三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．根据题意和图形，可知是边的对角，由第一个三角形可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：图中的两个三角形全等， ， 故选：B 10．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题考查了全等图形的性质，如果两个图形全等，那么这两个图形的对应角相等、对应边相等． 【详解】解：四边形与四边形全等， ，，，． 故答案为：；；； ． 12．（2023·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求 度． 【答案】45 【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解． 【详解】解：如图所示，连接     ∵图中是的正方形网格 ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：45． 【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征． 13．（23-24七年级下·广西贵港·期末）如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ． 【答案】6 【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边. 【详解】把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6. 【点睛】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单. 14．（23-24八年级上·山东聊城·开学考试）已知A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念求解即可． 【详解】解：A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，，于C，，，则 cm． ．      【答案】 5 【分析】根据全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵于C，， ∴， 故答案为：5；． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题关键． 16．（24-25八年级下·山东德州·期中）在的正方形网格中（小正方形的边长1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等，请画出四种符合条件的三角形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了网格作图，根据题干要求，逐个作图，即可作答． 【详解】解：∵要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等， ∴如下图所示： 17．（24-25八年级上·江西·开学考试）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，的顶点，，均落在格点上．请利用一把无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中作一条线段，使这条线段与平行； (2)在图2中作一个不与，，三点共点的三角形，使这个三角形全等于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，全等三角形的概念； （1）根据网格的特点将平移至，即可求解； （2）根据平移的方法作出，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，（答案不唯一） （2）解：如图所示，即为所求，（答案不唯一）； 18．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【答案】，，，， 【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴①的对应角为； ②的对应角为； ③的对应角为； ④的对应边为； ⑤的对应边为； 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键． 19．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，，、分别为和上的点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 先由得出，即可得到． 【详解】证明：， ， ∵、分别为和上的点， ， ． 20．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知．如果，，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，可得，再由已知条件，利用，即可求得的长，解题关键是掌握全等三角形的性质． 【详解】解：， ， 又， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲全等三角形及其性质（3大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 图形的全等 典型例题二 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 典型例题三 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形) 典型例题四 全等三角形的概念 典型例题五 全等三角形的性质 知识点一：全等形的概念 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 【即时训练】 1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）下列个图形中，是全等图形的是（    ） A．，，， B．与 C．，， D．与 2．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有 组．    知识点二：全等三角形的概念和表示方法 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2.全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 3.全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   2．（24-25八年级上·全国·期中）全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 ，重合的边叫 ，重合的角叫 ． 知识点三：全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）利用三角形全等测量距离的原理是 ． 【典型例题一 图形的全等】 1．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）所谓全等图形是能够完全重合的图形．下列哪些不是全等图形（　　） A．两条射线 B．两条直线 C．两个等边三角形 D．两条长度相等的线段 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列图形由七巧板拼成，找出这些拼板中的全等图形，用它们的编号表示出来． 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·天津河西·期末）若有四个全等的正方形面积之和是25，则每个小正方形的边长为 ． 4．（23-24八年级上·重庆潼南·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 【典型例题二 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形)】 1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，并简要说明理由． (1)长和宽分别相等的长方形都是全等图形． (2)一面中华人民共和国国旗上，四个小五角星都全等． (3)两个全等三角形的面积相等． 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 3．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点均在正方形网格格点上． （1）图中与线段的长相等的线段是 ； （2） ． 【典型例题三 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形)】 1．（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 2．（23-24八年级上·江西赣州·期中）沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用两种不同的方法试一试． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【典型例题四 全等三角形的概念】 1．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 3．（23-24八年级上·新疆和田·阶段练习）和全等，记作 ． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，试找出对应边，对应角． 【典型例题五 全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，若，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，请确定与的大小关系，并说明理由． 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，与全等．已知与是对应角，则对其余对应边或对应角判断错误的是（     ） A．对应边：与 B．对应边：与 C．对应角：与 D．对应角：与 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，A与D，C与E分别是对应顶点，点E在线段上，，，则的长为 ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知，试说明． 1．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，四边形中，．若四边形四边形，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·云南大理·期中）下列图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是    （    ） A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3） 5．（2025·山西长治·三模）下列图形都是由两个全等的直角三角形组成的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 6．（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 7．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，，，，则度数为（   ）    A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 12．（2023·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求 度． 13．（23-24七年级下·广西贵港·期末）如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ． 14．（23-24八年级上·山东聊城·开学考试）已知A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 15．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，，于C，，，则 cm． ．      16．（24-25八年级下·山东德州·期中）在的正方形网格中（小正方形的边长1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等，请画出四种符合条件的三角形． 17．（24-25八年级上·江西·开学考试）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，的顶点，，均落在格点上．请利用一把无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中作一条线段，使这条线段与平行； (2)在图2中作一个不与，，三点共点的三角形，使这个三角形全等于． 18．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 19．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，，、分别为和上的点．求证：． 20．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知．如果，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$