夹角与到角公式 讲义——2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 一、夹角公式 二、到角公式 三、典型模考题 四、到角公式也被放到了19题 一、夹角公式 夹角公式（included angleformula）是基本数学公式，分为正切公式和余弦公式，正切公式用 表示，余弦公式用 表示，主要用来求两直线的夹角大小 . 夹角的正切公式： 如图 1，设直线 的斜率存在，分别为，则两直线的夹角 满足（关注微信公众号：Hi数学派） 注： 两直线的夹角指的是两直线所成的小于等于 的角，当夹角为 时， 不存在；当 存在时， 始终为正 . 图 1 夹角的余弦公式： 如图 1，设直线 分别为 、 则两直线的方向向量分别为 ，则两直线夹角为 二、到角公式 到角公式，又称为倒角公式（angle formula ），解析几何术语，若称将直线 逆时针方向旋转到与直线 第一次重合时所转的角为 ，则 图2 图3 注： 1. “到角” 是带有方向的角，故叫有向角； 1. 到角公式 的分子部分是逆时针方向箭头所指的直线斜率 减去初始直线的斜率 ，与夹角公式 不同之处在于没有绝对值 ； 1. 如果从直线直线 逆时针方向旋转 到与直线 ，则 ，如图 3 所示； 1. 如果从直线直线 逆时针方向旋转 到与直线 ，则 ，如图 4 所示； 三、典型模考题 【24年数海一模线上考试 T9】 已知正方形 在平面直角坐标系 中，且 ，则直线 的方程可能为 图 4 注： 【21年1月适应性测试（八省联考）T14】 如图 5，正方形一条对角线所在的直线斜率为 ，则正方形两条邻边所在的直线的斜率为____ . 图 5 解析： 【浙江温州24年高三上期末（1.5模）T19】 已知动点 到点 的距离与到直线 的距离之比等于 （关注微信公众号：Hi数学派） （1） 求动点 的轨迹 的方程； （2） 过直线 上的一点 作轨迹 的两条切线，切点分别为 ，且 ， ① 求点 的坐标； ② 求 的角平分线与 轴交点 的坐标. 图 6 解析： （1） （2） ① ② 【典例1】 如图 7，已知椭圆 ， 为其左焦点，过原点 的直线 交椭圆于 两点，点 在第二象限，且 ，则直线 的斜率为____ . 解析： 图 7 四、到角公式也被放到了19题 【25浙江七彩联盟高三上返校考T19】 阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题。其内容为：若将直线 绕 与 的交点逆时针方向旋转到与直线 第一次重合时所转的角为 ，则称 为 到 的角，当直线 与 不垂直且斜率都存在时， （其中 分别为直线 与 的斜率）. 结合阅读材料，回答下述问题：（关注微信公众号：Hi数学派） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为椭圆上一点， ，四边形 的面积为 ， 为坐标原点. （1） 求椭圆 的方程； （2） 求 的角平分线所在的直线l的方程； （3） 过点 的且斜率存在的直线 分别与椭圆交于点 （均异于点 ），若点 到直线 的距离相等，证明：直线 过定点. 解析： （1） （2） （3）证明： 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 一、夹角公式 二、到角公式 三、典型模考题 四、到角公式也被放到了19题 一、夹角公式 夹角公式（included angleformula）是基本数学公式，分为正切公式和余弦公式，正切公式用 表示，余弦公式用 表示，主要用来求两直线的夹角大小 . 夹角的正切公式： 如图 1，设直线 的斜率存在，分别为，则两直线的夹角 满足（关注微信公众号：Hi数学派） 注： 两直线的夹角指的是两直线所成的小于等于 的角，当夹角为 时， 不存在；当 存在时， 始终为正 . 图 1 夹角的余弦公式： 如图 1，设直线 分别为 、 则两直线的方向向量分别为 ，则两直线夹角为 二、到角公式 到角公式，又称为倒角公式（angle formula ），解析几何术语，若称将直线 逆时针方向旋转到与直线 第一次重合时所转的角为 ，则 图2 图3 注： 1. “到角” 是带有方向的角，故叫有向角； 1. 到角公式 的分子部分是逆时针方向箭头所指的直线斜率 减去初始直线的斜率 ，与夹角公式 不同之处在于没有绝对值 ； 1. 如果从直线直线 逆时针方向旋转 到与直线 ，则 ，如图 3 所示； 1. 如果从直线直线 逆时针方向旋转 到与直线 ，则 ，如图 4 所示； 三、典型模考题 【24年数海一模线上考试 T9】 已知正方形 在平面直角坐标系 中，且 ，则直线 的方程可能为 图 4 注： 此题和下面这道题基本上是一样的，只不过此题给出了对角线具体的方程。另外，该题 的方程其实为 或 （），即点 并不一定在 轴上 .【21年1月适应性测试（八省联考）T14】 如图 5，正方形一条对角线所在的直线斜率为 ，则正方形两条邻边所在的直线的斜率为____ . 图 5 解析： 设正方形两条邻边所在的直线的斜率为 ，对角线的斜率为 则有夹角公式 得 即 则 或 解得 或 【浙江温州24年高三上期末（1.5模）T19】 已知动点 到点 的距离与到直线 的距离之比等于 （关注微信公众号：Hi数学派） （1） 求动点 的轨迹 的方程； （2） 过直线 上的一点 作轨迹 的两条切线，切点分别为 ，且 ， ① 求点 的坐标； ② 求 的角平分线与 轴交点 的坐标. 图 6 解析： （1） （详解略） （2） ① 设 ，切线斜率是 ，切线方程为 联立椭圆方程 可得 则其判别式 化简得 设方程 的解为 ， ，即分别为直线 ， 的斜率，如图 6. 由韦达定理得 ， 由夹角公式 平方得 代入韦达定理得 解得 所以点 的坐标为 ② 由对称性可知，点 的两个坐标对应的 的坐标相同，不妨取 ，即 设角平分线斜率为 ， 将 方程 得 解得 由到角公式 解得 所以角平分线方程是 令 ，解得 所以 的角平分线与 轴交点 的坐标为 【典例1】 如图 7，已知椭圆 ， 为其左焦点，过原点 的直线 交椭圆于 两点，点 在第二象限，且 ，则直线 的斜率为____ . 解析： ，设 为 设点 ， 由到角公式 得 图 7 所以 因为点 在椭圆上，代入得 因此 四、到角公式也被放到了19题 【25浙江七彩联盟高三上返校考T19】 阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题。其内容为：若将直线 绕 与 的交点逆时针方向旋转到与直线 第一次重合时所转的角为 ，则称 为 到 的角，当直线 与 不垂直且斜率都存在时， （其中 分别为直线 与 的斜率）. 结合阅读材料，回答下述问题：（关注微信公众号：Hi数学派） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为椭圆上一点， ，四边形 的面积为 ， 为坐标原点. （1） 求椭圆 的方程； （2） 求 的角平分线所在的直线l的方程； （3） 过点 的且斜率存在的直线 分别与椭圆交于点 （均异于点 ），若点 到直线 的距离相等，证明：直线 过定点. 解析： （1） （2） 设直线 的斜率为 ，则直线 到直线 的角等于直线 到直线 的角 解得 或 当 时，直线 为 的补角的角平分线所在的直线，不合题意 所以直线 的方程为 即 （3）证明： 设 ，，直线 ，， 的斜率分别为 ，， ，， 作点 关于原点的对称点 ，由圆锥曲线的第三定义可知 所以 同理 因为点 到直线 的距离相等，所以 到直线 的角等于直线 到 的角 所以 化简得 两式作差得 又直线 的两点式为 整理得 对比 式可得直线 过点 所以直线 过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $$