圆锥曲线练习题-2026届高三数学一轮复习

椭　圆 题型一　椭圆的定义及其应用 例1　(1)已知动圆M和圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，并和圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切，则动圆圆心M的轨迹是(　　) A.直线 B.圆 C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的椭圆 答案　C 解析　设动圆的圆心M的坐标为(x，y)，半径为r， 因为动圆M与圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，且与圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切， 可得|MC1|＝6－r，|MC2|＝r＋2， 所以|MC1|＋|MC2|＝8>|C1C2|＝2， 根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝2， 可得a＝4，c＝1，则b＝， 所以动点M的轨迹方程为＝1， 所以其轨迹为焦点在x轴上的椭圆. (2)(2025·长沙模拟)已知点O为坐标原点，椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为(　　) A. B. C.3 D.4 答案　A 解析　由题意可得a＝3，b＝，c＝＝2. 如图，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点， 所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c＝4， 根据椭圆定义，可得|PF1|＝2a－|PF2|＝2，又因为|F1F2|＝2c＝4， 所以△PF1F2为等腰三角形，且F2到PF1的距离为h＝， 故△PF1F2的面积为|PF1|·h＝. 题型二　椭圆的标准方程 例2　(1)过点(－3，2)且与＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　B 解析　由题意得椭圆＝1的焦点坐标为(，0)，(－，0)， 因为所求椭圆与椭圆＝1有相同的焦点， 设所求椭圆的方程为＝1(a>)， 由于该椭圆经过点(－3，2)，则将点代入方程得， ＝1， 解得a2＝15(a2＝3舍去)， 故所求椭圆的标准方程为＝1. (2)已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(－，－2)和B(－2，1)两点，则椭圆C的标准方程为　　　　　　.  答案　＝1 解析　设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，将A和B的坐标代入方程得 解得 则所求椭圆的标准方程为＝1. 题型三　椭圆的几何性质 例3　(2024·大庆模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，B(0，b)，若经过F1的弦AB满足|AB|＝|AF2|，则椭圆C的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题可知|BF1|＝|BF2|＝a， 所以 解得 由cos∠AF1F2＋cos∠BF1F2＝0， 得＝0， 整理得a2＝3c2， 所以e＝. 例4　(多选)已知椭圆＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　) A.的最大值为4 B.|PF1|的取值范围是[4－2，4＋2] C.不存在点P使PF1⊥PF2 D.|PB|的最大值为2 答案　AB 解析　对于A，依题意知a＝4，b＝2，c＝2，当P为短轴端点时，()max＝×2c×b＝4，故A正确； 对于B，由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正确； 对于C，sin∠F2BO＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误； 对于D，设P(x0，y0)， 所以|PB|＝， 又＝1，所以＝16－4， 所以|PB|＝ ＝， 又－2≤y0≤2，故当y0＝－时，|PB|max＝，故D错误. (2)已知椭圆C：＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C上一动点，则的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　设椭圆C的半焦距为c(c>0)， 则c＝a， －1， 因为|AF2|∈[a－c，a＋c]， 即|AF2|∈，所以－1∈， 即的取值范围是. 双曲线 题型一　双曲线的定义及应用 例1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为(　　) A.x2－＝1(x≥1) B.x2－＝1 C.x2－＝1(x≤－1) D.－x2＝1 答案　C 解析　设动圆M的半径为r， 则|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋3， 则|MC2|－|MC1|＝2<|C1C2|＝6， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心M的轨迹为双曲线x2－＝1的左半支. (2)设双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N，连接MF2，NF2，若·＝0，||＝||，则b等于(　　) A.1 B. C. D.2 答案　B 解析　设|MF2|＝t(t>0)， 结合题意得|NF2|＝t，|MN|＝t， 结合双曲线的定义可得 |MF2|－|MF1|＝2， 则|MF1|＝t－2， 又由双曲线的定义可得|NF1|－|NF2|＝2， 则t＋t－2－t＝2，解得t＝2， 所以|NF1|＝|MN|＋|MF1|＝2＋2， |NF2|＝2，∠F1NF2＝45°， 在△F1NF2中，由余弦定理得|F1F2|＝ ＝＝2， 所以c＝，则b2＝c2－a2＝3－1＝2， 即b＝. 典例　(1)椭圆＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2，0)的距离与到直线x＝的距离之比为，则椭圆方程为　　　　.  答案　＝1 解析　依题意，右焦点F2(2，0)，右准线x＝， 由椭圆第二定义知， ∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12， ∴椭圆方程为＝1. (2)已知双曲线＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则|MA|＋|MF2|的最小值为　　　　.  答案　 解析　设M到直线x＝的距离为d，由双曲线第二定义知， ＝e＝，∴d＝|MF2|， ∴|MA|＋|MF2|＝|MA|＋d， 如图，可知(|MA|＋d)min＝xA－＝9－. 题型二　双曲线的标准方程 例2　(1)过点(2，2)且与椭圆9x2＋3y2＝27有相同焦点的双曲线方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　D 解析　由9x2＋3y2＝27，得＝1， 所以焦点在y轴上，且c＝. 设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)， 所以解得 所以双曲线的方程为＝1. (2)(2024·济南模拟)已知双曲线C1过点A(－，1)，且与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　A 解析　由双曲线C1与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线， 故可设双曲线C1的方程为x2－3y2＝λ(λ≠0)， 又因为C1过点A(－，1)， 代入双曲线C1的方程得15－3＝λ， 解得λ＝12， 所以双曲线C1的标准方程是＝1. 题型三　双曲线的几何性质 例3　(2024·石家庄质检)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案　B 解析　设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的上焦点为(0，c)(c>0)，双曲线的渐近线方程为by±ax＝0， 由点到直线的距离公式可得 ＝b＝3， 又双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实半轴长为，所以a＝， 所以双曲线C的渐近线方程为3y±x＝0，即y＝±x. 例4　已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c(c>0).若双曲线C右支上存在点P，使得|PF2|＝4a，且＝12a2，则双曲线C的离心率e等于(　　) A. B. C.＋1 D. 答案　D 解析　由双曲线的定义可得 |PF1|－|PF2|＝2a， ∵|PF2|＝4a，∴|PF1|＝6a， 设∠F1PF2＝θ，θ∈(0，π)， 则|PF1||PF2|sin θ ＝×6a×4a×sin θ＝12a2sin θ＝12a2， ∴sin θ＝1，θ＝， ∴△PF1F2为直角三角形， ∴|＝|F1F2|2， ∴36a2＋16a2＝4c2，即52a2＝4c2， ∴e2＝＝13，∴e＝. 例5　若双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上的动点，则|PF1|·|PF2|的最小值为　　　　　　.  答案　3 解析　由题意可知a＝1，b＝，c＝＝2，且|PF1|－|PF2|＝2， 设|PF2|＝m≥c－a＝1，则|PF1|＝m＋2， 可得|PF1|·|PF2|＝m(m＋2)在[1，＋∞)上单调递增， 所以当m＝1时，|PF1|·|PF2|取得最小值3. 离心率的范围问题 题型一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围 例1　(1)已知椭圆M：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任意一点，且|PF1|·|PF2|最大值的取值范围为[2c2，3c2](其中c2＝a2－b2，c>0)，则椭圆M的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由基本不等式及椭圆定义可知 |PF1|·|PF2|≤＝a2， 当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立， ∴|PF1|·|PF2|的最大值为a2， 由题意知2c2≤a2≤3c2， ∴c≤a≤c，∴≤e≤. (2)已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，∠F1PF2＝60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为(　　) A.2 B.1 C. D.2 答案　C 解析　不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)， 椭圆的长半轴长为a1，离心率为e1，双曲线的实半轴长为a2，离心率为e2，两曲线的半焦距均为c， 由椭圆及双曲线的定义得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，于是m＝a1＋a2，n＝a1－a2， 在△PF1F2中，由余弦定理得 m2＋n2－2mncos 60°＝4c2⇒－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2， 则＋3＝4c2，得＝4， 由基本不等式得4＝≥2⇒e1e2≥， 当且仅当e1＝，e2＝时，等号成立， 所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为. 题型二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 例2　(1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝5|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　) A. B. C.2 D. 答案　B 解析　根据双曲线的定义可得 |PF1|－|PF2|＝2a， 因为|PF1|＝5|PF2|， 所以|PF1|＝，|PF2|＝， 因为点P在双曲线的右支上， 所以|PF2|≥c－a， 即≥c－a，所以≥c， 所以1<e＝≤， 所以双曲线的离心率e的最大值为. (2)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若|PF1|＋|QF2|≥b，则C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长PF1交椭圆于另一交点，记为A， 由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性， 易知|AF1|＝|QF2|，所以|PF1|＋|QF2|＝|PA|， 由椭圆过焦点的弦中通径最短， 所以当PA垂直于x轴时，|PA|最短， 所以b≤|PA|min＝，所以ab≤2b2，即≥， 又0<e<1，e＝≤，即0<e≤. 题型三　利用几何图形的性质求离心率的范围 例3　(1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　　) A.(1，2) B.[4，＋∞) C.(2，＋∞) D.[2，＋∞) 答案　D 解析　若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率的绝对值，∴≥，∴e2＝＝1＋≥4，故此双曲线离心率的取值范围是[2，＋∞). (2)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　椭圆C以A，B为焦点， 即c＝1，b2＝a2－1， 故可设椭圆方程为＝1(a>1)， 联立方程 消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0， 由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0， 即a4－6a2＋5≥0， 得a2≥5或a2≤1(舍去)，解得a≥， 所以0<e＝≤， 所以e的最大值为. 　抛物线 题型一　抛物线的定义及应用 例1　(1)若抛物线x2＝8y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0等于(　　) A. B.1 C. D.2 答案　D 解析　已知抛物线的方程为x2＝8y， 可得p＝4， 所以焦点为F(0，2)，准线为l：y＝－2. 抛物线上一点A(x0，y0)到焦点F的距离等于到准线l的距离， 即|AF|＝y0＋2， 又因为A到x轴的距离为y0， 由已知得y0＋2＝2y0，解得y0＝2. (2)(多选)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则(　　) A.p=4 B.|MF|≥|OF| C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2 答案　ABC 解析　由题意得=2,则p=4,A正确; 设M(x0,y0),则|MF|=x0+,|OF|=, 又因为x0≥0,所以|MF|≥|OF|,B正确; 由抛物线的定义知M到F的距离与M到C的准线的距离相等,故以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,C正确; 当∠OFM=120°时,设M在第一象限,则x0>2,y0>0,故kMF==tan 60°=,即x0=+2, 又=8x0,所以-8y0-16=0, 解得y0=4或y0=-(舍去), 所以S△OFM=|OF|×|y0|=×2×4=4,D错误. 题型二　抛物线的标准方程 例2　(1)若抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为　　　　.  答案　y2＝x或x2＝－y 解析　∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)， 则2p＝，2p1＝. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝x或x2＝－y. (2)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，第一象限内的点A在E上，AB垂直l于点B，BF交y轴于点C，若|AF|＝2|BC|＝4，则抛物线的标准方程为　　　　.  答案　y2＝4x 解析　由题意知C为BF的中点， 因为|AF|＝|AB|，所以AC与BF垂直， 因为|AF|＝2|BC|＝4，所以∠CAF＝30°， 所以∠BAF＝60°， 方法一　则△ABF为等边三角形，设AB交y轴于点D，如图， 在Rt△BCD中，易得|BD|＝1，即＝1，p＝2， 故抛物线的标准方程为y2＝4x. 方法二　A， 代入E：y2＝2px(p>0)可得12＝2p， 化简得p2＋4p－12＝0， 由于p>0，所以p＝2(p＝－6舍去). 故抛物线的标准方程为y2＝4x. 题型三　抛物线的几何性质 例3　(1)(多选)对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是(　　) A.开口向上，焦点为(0，2) B.开口向上，焦点为 C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为y＝－4 答案　AC 解析　由抛物线x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2. (2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则(　　) A.焦点F的坐标为(4，0) B.|AB|＝x1＋x2＋4 C.y1y2＝－8 D. 答案　BD 解析　由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误； 由抛物线的性质可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正确； 方法一　设直线AB的方程为x＝my＋2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，Δ>0， 则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝，故C错误，D正确. 方法二　因为p＝4，所以y1y2＝－p2＝－16， ，故C错误，D正确. 典例　(多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列说法中正确的是(　　) A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆 B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合) C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上 D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形的面积最小值为2p 答案　ABC 解析　对于A，由蒙日圆的定义知A正确； 对于B，过点A的切线方程为y1y＝p(x＋x1)， ① 过点B的切线方程为y2y＝p(x＋x2)， ② 又 联立①②③④，解得两切线交点Q， 又M， ∴MQ与x轴平行(或重合)，B正确； 对于C，设Q(x0，y0)， 则直线AB的方程为y0y＝p(x＋x0)， 又直线AB经过焦点F， ∴0＝p，∴x0＝－，C正确； 对于D，若底边AB过焦点， 则Q点的轨迹方程是x＝－， 易验证kQA·kQB＝－1，即QA⊥QB， 故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点，∴|QM|＝≥＝p，由B项分析可知，MQ与x轴平行(或重合)， ∴S△QAB＝|QM||y1－y2| ≥|QM|·≥p2， 当且仅当y1＝－y2时，等号成立， ∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D错误. 直线与圆锥曲线的位置关系 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1　(1)已知直线l的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C的方程为＝1，则直线l与椭圆C的位置关系为(　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 答案　B 解析　直线l：mx＋y＋2m＝1， 即m(x＋2)＋y－1＝0， 令解得 则直线l过定点(－2，1)， 因为<1， 则该定点在椭圆内， 则直线l与椭圆C的位置关系为相交. (2)已知双曲线C：＝1，过点P(3，3)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案　D 解析　由题意知双曲线的焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点A(3，0)，渐近线方程为y＝±x， 由P(3，3)可得该点在双曲线右顶点上方， 易得过P点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线(图1)， 有两条双曲线右支的切线(图2)，共4条. 题型二　弦长问题 例2　(1)经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长度为(　　) A. B. C.2 D. 答案　B 解析　在椭圆＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1，故左焦点为F1(－1，0)， 而tan 60°＝，故直线l的方程为y＝(x＋1)， 联立＋y2＝1，得7x2＋12x＋4＝0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，由弦长公式得|AB|＝×. (2)已知F是双曲线C：x2－＝1的左焦点，过点F的直线与C交于A，B两点(点A，B在C的同一支上)，且|BF|＝2|AF|，则|AB|等于(　　) A.6 B.8 C. D. 答案　D 解析　由C：x2－＝1可得F(－2，0)， 根据对称性，不妨设过点F的直线为x＝my－2(m>0)， 联立 可得(3m2－1)y2－12my＋9＝0， 由题意可知3m2－1≠0，且Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 由|BF|＝2|AF|，得＝2， 又＝(－2－x2，－y2)，＝(x1＋2，y1)， 所以－y2＝2y1. ③ 由①③可得y1＝－，y2＝， 代入②得－×， 解得m＝或m＝－(舍)， y1＝， 所以|AB|＝·|y1－y2|＝×3|y1|＝×. 典例　已知双曲线C：2x2－y2＝2，直线l：x－y＋1＝0与双曲线C交于M，N两点，则弦长|MN|等于(　　) A. B. C.4 D.4 答案　D 解析　联立双曲线与直线的方程， 得x2－2x－3＝0，Δ＝16，又k＝1，a＝1， 由弦长的万能公式知，|MN|＝·＝4. 题型三　中点弦问题 例3　(1)已知直线l交抛物线C：x2＝－18y于M，N两点，且MN的中点为(3，－2)，则直线l的斜率为(　　) A.－3 B.－ C. D.－ 答案　D 解析　由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 两式相减得＝－18(y1－y2)， 整理得＝－， 因为MN的中点为(3，－2)， 则x1＋x2＝2×3＝6， 所以k＝＝－＝－， 即直线l的斜率为－. (2)(2024·肇庆模拟)已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1，4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是(　　) A.y＝±x B.y＝±2x C.y＝±x D.y＝±4x 答案　B 解析　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 可得＝1，＝1， 两式相减可得 ， 由点P(1，4)是弦AB的中点，且直线l：x－y＋3＝0， 可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，y1－y2＝x1－x2， 即有b2＝4a2，即b＝2a， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x. 方法二　由题意知kAB＝1，kOP＝4(O为坐标原点)， 则＝kAB·kOP＝4， 所以b2＝4a2，b＝2a， 故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x. 圆锥曲线中的综合问题 题型一　与弦长、周长有关的范围(最值)问题 例1　(2024·衢州模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，斜率为的直线l与y轴交于点P，l与C交于A，B两点，T是A关于x轴的对称点.当P与坐标原点O重合时，△ABT的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)当P异于O点时，记直线BT与x轴交于点Q，求△OPQ周长的最小值. 解　(1)当P与坐标原点O重合时，可设A(x0，y0)(x0>0)， 则有B(－x0，－y0)， T(x0，－y0)， 且x0＝2y0，AT⊥BT， 则S△ABT＝|AT|·|BT|＝·2y0·2x0＝， 即2，∴，则， 则有＝1，由离心率为，即， 则a2＝2c2＝b2＋c2，∴a2＝2b2， 即有＝1，解得b2＝1，∴a2＝2， 即椭圆C的方程为＋x2＝1. (2)设直线l的方程为x＝2y＋t(t≠0)，令x＝0，有y＝－，即yP＝－， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则T(x1，－y1)， 联立直线l与椭圆方程 消去x得9y2＋8ty＋2t2－2＝0， 有y1＋y2＝－，y1y2＝， Δ＝64t2－36(2t2－2)>0，得－3<t<3， 直线BT的方程为y＝(x－x2)＋y2， 令y＝0，xQ＝＋x2＝， 由x＝2y＋t， 得 ＝＋t＝＋t＝，即xQ＝， 则C△OPQ＝|yP|＋|xQ|＋ ＝≥2＋1， 当且仅当t＝±时等号成立， 故△OPQ周长的最小值为＋1. 题型二　与距离、面积有关的范围(最值)问题 例2　已知P(0，)和Q(，1)为椭圆C：＝1(a>b>0)上的两点. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)设直线l：y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的取值范围. 解　(1)因为P(0，)和Q(，1)为椭圆C：＝1(a>b>0)上的两点， 所以解得 又因为a2＝b2＋c2，所以c2＝2. 所以椭圆C的方程为＝1，离心率e＝. (2)联立方程 消去y得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0， 因为Δ＝(4k)2－4×(1＋2k2)×(－2)＝32k2＋8>0， 所以设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－， 所以|AB|＝ ＝×. 又因为点O到直线l：y＝kx＋1的距离为d＝， 所以△AOB的面积S＝×d×|AB| ＝××× ＝， 令t＝4k2＋1(t≥1)， 则S＝≤ ， 也就是当k＝0时，△AOB的面积取最大值， 又因为当|k|→＋∞时，S→0， 所以△AOB面积的取值范围是(0，]. 题型三　与角度、斜率有关的范围(最值)问题 例1　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值. 解　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程为x＝－， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ＝p＝2， ∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)方法一　设Q(x0，y0)， 则＝9＝(9－9x0，－9y0)， ∴P(10x0－9，10y0)， 由P在抛物线上可得(10y0)2＝4(10x0－9)， 即x0＝>0， ∴直线OQ的斜率kOQ＝， 当y0＝0时，kOQ＝0； 当y0≠0时，kOQ＝， 当y0>0时，∵25y0＋≥2＝30， 此时0<kOQ≤，当且仅当25y0＝，即y0＝时，等号成立； 当y0<0时，kOQ<0， 综上，直线OQ斜率的最大值为. 方法二　同方法一得到点Q的轨迹方程为y2＝x－. 设直线OQ的方程为y＝kx，则当直线OQ与抛物线y2＝x－相切时，其斜率k取到最值， 联立得k2x2－x＋＝0， 则Δ＝－4k2×＝0， 解得k＝±， ∴直线OQ斜率的最大值为. 方法三　(轨迹方程＋换元求最值法) 同方法一得点Q的轨迹方程为y2＝x－. 设直线OQ的斜率为k，Q(x，y)， 则k2＝. 令＝t， 则k2＝－t2＋t的对称轴为t＝， ∴0≤k2≤，－≤k≤. 故直线OQ斜率的最大值为. 方法四　由题可设P(4t2，4t)(t≥0)，Q(x，y)， ∵F(1，0)，＝9， ∴(x－4t2，y－4t)＝9(1－x，－y)， 于是∴ 则直线OQ的斜率为k＝， 当t＝0时，k＝0； 当t>0时，k＝≤， 当且仅当4t＝，即t＝时等号成立， 综上，直线OQ斜率的最大值为. 题型四　与参数、向量有关的范围(最值)问题 例2　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，以坐标原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足＝t(t∈R)，当||<时，求实数t的取值范围. 解　(1)由题意可知，短半轴长b＝＝1， 因为e＝，则e2＝， 即a2＝2b2＝2， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由题意可知，直线AB的斜率存在， 设直线AB为y＝k(x－2)， 联立方程 消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， 由Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0， 解得k2<， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 因为＝t， 则(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，易知t≠0， 可得x＝， y＝[k(x1＋x2)－4k]＝， 且点P在椭圆上， 则＝2， 整理得16k2＝t2(1＋2k2)， 又因为||＝||<， 则|x1－x2|<， 可得(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<， 即(1＋k2)<， 整理得(4k2－1)(14k2＋13)>0，解得k2>， 所以<k2<， 且16k2＝t2(1＋2k2)， 可得t2＝＝8－∈， 解得－2<t<－或<t<2， 所以实数t的取值范围为∪. 题型五　直线过定点 例1　已知点P(4，3)为双曲线E：＝1(a>0，b>0)上一点，E的左焦点F1到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线E的标准方程； (2)不过点P的直线y＝kx＋t与双曲线E交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y＝kx＋t过定点，并求该定点的坐标. 解　(1)设F1(－c，0)(c>0)到渐近线y＝x， 即bx－ay＝0的距离为， 则，结合a2＋b2＝c2得b＝， 又P(4，3)在双曲线＝1上， 所以＝1，得a2＝4， 所以双曲线E的标准方程为＝1. (2)联立 消去y并整理得(3－4k2)x2－8ktx－4t2－12＝0， 则3－4k2≠0，Δ＝64k2t2＋4(3－4k2)(4t2＋12)>0， 即t2＋3>4k2， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠4，x2≠4， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， 则kPA＋kPB＝ ＝ ＝＝1， 所以2kx1x2＋(t－4k－3)(x1＋x2)－8t＋24＝x1x2－4(x1＋x2)＋16， 所以(2k－1)x1x2＋(t－4k＋1)(x1＋x2)－8t＋8＝0， 所以－－8t＋8＝0， 整理得t2－6k＋2kt－6t－8k2＋9＝0， 所以(t－3)2＋2k(t－3)－8k2＝0， 所以(t－3－2k)(t－3＋4k)＝0， 因为直线y＝kx＋t不过点P(4，3)， 即3≠4k＋t，t－3＋4k≠0， 所以t－3－2k＝0，即t＝2k＋3， 所以直线y＝kx＋t＝kx＋2k＋3， 即y－3＝k(x＋2)， 所以该直线过定点，且定点为(－2，3). 题型六　圆过定点问题 例2　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为B2，B1，左、右焦点分别为F1，F2，四边形B1F1B2F2是面积为2的正方形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知圆O：x2＋y2＝的切线l与椭圆C相交于D，E两点，判断以DE为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由. 解　(1)由题意可得 解得 ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由题意可知，圆O：x2＋y2＝的圆心坐标为(0，0)，半径为， ∵<1， 可知圆O：x2＋y2＝在椭圆C内，切线l与椭圆C相交， ①当直线l的斜率不存在时， ∵直线l与圆相切， 故切线方程为x＝±， 将切线方程x＝代入椭圆方程， 解得y＝±， 设D，E， 则以DE为直径的圆的方程为＋y2＝； 同理，当切线方程为x＝－时， 求得以DE为直径的圆的方程为＋y2＝， 联立方程 解得即两圆只有一个交点(0，0)， 若存在定点，则定点应为(0，0). ②当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y＝kx＋m， 则圆心到直线的距离d＝， 整理得m2＝(1＋k2)， 联立方程 消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ>0， 设D(x1，y1)，E(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝， ∴·＝x1x2＋y1y2 ＝＝0， 即·＝0， ∴以DE为直径的圆经过定点O(0，0)， 综上可知，以DE为直径的圆过定点(0，0). 题型七　与斜率、角度有关的定值问题 例1　已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知点T(t，0)，若E上存在一点P，使得·＝－1，求t的取值范围； (3)过M(－4，0)的直线交E于A，B两点，过N(－4，4)的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：∠BOC为定值. (1)解　由题意可知，焦点F到准线的距离为p＝2， 所以抛物线E的标准方程为y2＝4x. (2)解　设P(x，y)，可知y2＝4x，x≥0， 则＝(－x，－y)，＝(t－x，－y)， 可得·＝－x(t－x)＋y2＝x2－tx＋4x＝x2＋(4－t)x＝－1， 显然x＝0不满足上式， 则x>0，可得t－4＝x＋， 又因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝， 即x＝1时，等号成立， 则t－4≥2，即t≥6， 所以t的取值范围为[6，＋∞). (3)证明　设A，B，C， 则直线AB的斜率kAB＝， 可得直线AB的方程为y－y1＝， 整理得4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0， 同理可得，直线AC的方程为4x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0， 由题意可得 整理得4(y3－y2)＝(y2y3＋16)， 又因为直线OB，OC的斜率分别为kOB＝， kOC＝， 显然∠BOC为锐角，则 tan∠BOC＝ ＝， 所以∠BOC为定值. 题型八　与距离、面积、系数和有关的定值问题 例2　已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，与a＝(3，－1)共线. (1)求椭圆C的离心率； (2)设M为椭圆C上任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，证明：λ2＋μ2为定值. (1)解　设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，F(c，0)，则直线AB的方程为y＝x－c， 联立 消去y并整理得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，Δ>0， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝， 由＝(x1＋x2，y1＋y2)，a＝(3，－1)， 且与a共线， 得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0， 又y1＝x1－c，y2＝x2－c， 则3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0， ∴x1＋x2＝，即， 可得a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴， ∴椭圆C的离心率为e＝. (2)证明　由(1)知a2＝3b2， 所以椭圆C的方程＝1可化为x2＋3y2＝3b2， 设＝(x，y)，由＝λ＋μ得(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)， ∴ ∵M(x，y)在椭圆上， ∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2， ∴λ2(＋3)＋μ2(＋3)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2， ① 由(1)知，x1＋x2＝，a2＝c2，b2＝c2， x1x2＝c2， x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c) ＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2 ＝c2－c2＋3c2＝0， 又＋3＝3b2，＋3＝3b2， 代入①得，λ2＋μ2＝1， 故λ2＋μ2为定值1. 题型九　点在定直线上 例1　在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点坐标为(1，0)，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点T(2，0)作直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|，证明：点E在一条定直线上. (1)解　根据题意，设双曲线C的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 由题知a＝1，＝tan，可得b＝， 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)证明　易知T(2，0)为双曲线的右焦点，如图所示， 由题知直线l的斜率存在， 设斜率为k，则－<k<， 故直线l的方程为y＝k(x－2)， 代入双曲线方程得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系得x1＋x2＝， x1x2＝－， 且x1≤－1，1≤x2<2， 设E(x0，y0)，点E在线段AB上， 所以x1<x0<x2， 由|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|可得 (x0－x1)·(2－x2) ＝(x2－x0)·(2－x1)， 化简得4x0－(2＋x0)(x1＋x2)＋2x1x2＝0， 代入x1＋x2和x1x2并化简可得x0＝， 即存在点E满足条件，并且点E在定直线x＝上. 题型十　三角形内心(外心、重心、垂心)在定直线上 例2　已知R是圆M：(x＋)2＋y2＝8上的动点，点N(，0)，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点P(－2，0)的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上？请你给出结论并证明. 解　(1)圆M的圆心坐标为M(－，0)，半径r＝2， 因为MS∥NL， 所以△MSR∽△LNR， 又因为|MR|＝|MS|， 所以|LR|＝|LN|， 所以||LM|－|LN||＝||LM|－|LR||＝|MR|＝r＝2<2＝|MN|， 所以点L在以M，N为焦点，2为实轴长的双曲线上， 设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)， 则2a＝2，2c＝2. 所以a＝，c＝，b＝1， 又L不可能在x轴上，所以曲线C的方程为－y2＝1(y≠0). (2)在x轴上存在定点Q(－1，0)，使得△QAB的内心在一条定直线上. 证明如下： 由条件可设l：x＝my－2.代入－y2＝1， 得(m2－2)y2－4my＋2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x1|>，|x2|>， 则得m2≠2， 所以y1＋y2＝>0，y1y2＝>0， 所以y1＋y2＝2my1y2， 取Q(－1，0)， 则kAQ＋kBQ＝＝0， 又A，B都在x轴上方，所以∠AQB的平分线为定直线x＝－1， 所以在x轴上存在定点Q(－1，0)，使得△QAB的内心在定直线x＝－1上. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 椭　圆 题型一　椭圆的定义及其应用 例1　(1)已知动圆M和圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，并和圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切，则动圆圆心M的轨迹是(　　) A.直线 B.圆 C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的椭圆 (2)(2025·长沙模拟)已知点O为坐标原点，椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为(　　) A. B. C.3 D.4 题型二　椭圆的标准方程 例2　(1)过点(－3，2)且与＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 (2)已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(－，－2)和B(－2，1)两点，则椭圆C的标准方程为　　　　　　.  题型三　椭圆的几何性质 例3　(2024·大庆模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，B(0，b)，若经过F1的弦AB满足|AB|＝|AF2|，则椭圆C的离心率是(　　) A. B. C. D. 例4　(多选)已知椭圆＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　) A.的最大值为4 B.|PF1|的取值范围是[4－2，4＋2] C.不存在点P使PF1⊥PF2 D.|PB|的最大值为2 (2)已知椭圆C：＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C上一动点，则的取值范围是　　　　　　.  双曲线 题型一　双曲线的定义及应用 例1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为(　　) A.x2－＝1(x≥1) B.x2－＝1 C.x2－＝1(x≤－1) D.－x2＝1 (2)设双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N，连接MF2，NF2，若·＝0，||＝||，则b等于(　　) A.1 B. C. D.2 典例　(1)椭圆＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2，0)的距离与到直线x＝的距离之比为，则椭圆方程为　　　　.  (2)已知双曲线＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则|MA|＋|MF2|的最小值为　　　　.  题型二　双曲线的标准方程 例2　(1)过点(2，2)且与椭圆9x2＋3y2＝27有相同焦点的双曲线方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 (2)(2024·济南模拟)已知双曲线C1过点A(－，1)，且与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 题型三　双曲线的几何性质 例3　(2024·石家庄质检)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 例4　已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c(c>0).若双曲线C右支上存在点P，使得|PF2|＝4a，且＝12a2，则双曲线C的离心率e等于(　　) A. B. C.＋1 D. 例5　若双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上的动点，则|PF1|·|PF2|的最小值为　　　　　　.  离心率的范围问题 题型一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围 例1　(1)已知椭圆M：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任意一点，且|PF1|·|PF2|最大值的取值范围为[2c2，3c2](其中c2＝a2－b2，c>0)，则椭圆M的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. (2)已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，∠F1PF2＝60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为(　　) A.2 B.1 C. D.2 题型二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 例2　(1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝5|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　) A. B. C.2 D. (2)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若|PF1|＋|QF2|≥b，则C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 题型三　利用几何图形的性质求离心率的范围 例3　(1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　　) A.(1，2) B.[4，＋∞) C.(2，＋∞) D.[2，＋∞) (2)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　) A. B. C. D. 　抛物线 题型一　抛物线的定义及应用 例1　(1)若抛物线x2＝8y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0等于(　　) A. B.1 C. D.2 (2)(多选)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则(　　) A.p=4 B.|MF|≥|OF| C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2 题型二　抛物线的标准方程 例2　(1)若抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为　　　　.  (2)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，第一象限内的点A在E上，AB垂直l于点B，BF交y轴于点C，若|AF|＝2|BC|＝4，则抛物线的标准方程为　　　　.  题型三　抛物线的几何性质 例3　(1)(多选)对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是(　　) A.开口向上，焦点为(0，2) B.开口向上，焦点为 C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为y＝－4 (2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则(　　) A.焦点F的坐标为(4，0) B.|AB|＝x1＋x2＋4 C.y1y2＝－8 D. 典例　(多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列说法中正确的是(　　) A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆 B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合) C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上 D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形的面积最小值为2p 直线与圆锥曲线的位置关系 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1　(1)已知直线l的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C的方程为＝1，则直线l与椭圆C的位置关系为(　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 (2)已知双曲线C：＝1，过点P(3，3)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 题型二　弦长问题 例2　(1)经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长度为(　　) A. B. C.2 D. (2)已知F是双曲线C：x2－＝1的左焦点，过点F的直线与C交于A，B两点(点A，B在C的同一支上)，且|BF|＝2|AF|，则|AB|等于(　　) A.6 B.8 C. D. 典例　已知双曲线C：2x2－y2＝2，直线l：x－y＋1＝0与双曲线C交于M，N两点，则弦长|MN|等于(　　) A. B. C.4 D.4 题型三　中点弦问题 例3　(1)已知直线l交抛物线C：x2＝－18y于M，N两点，且MN的中点为(3，－2)，则直线l的斜率为(　　) A.－3 B.－ C. D.－ (2)(2024·肇庆模拟)已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1，4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是(　　) A.y＝±x B.y＝±2x C.y＝±x D.y＝±4x 圆锥曲线中的综合问题 题型一　与弦长、周长有关的范围(最值)问题 例1　(2024·衢州模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，斜率为的直线l与y轴交于点P，l与C交于A，B两点，T是A关于x轴的对称点.当P与坐标原点O重合时，△ABT的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)当P异于O点时，记直线BT与x轴交于点Q，求△OPQ周长的最小值. 题型二　与距离、面积有关的范围(最值)问题 例2　已知P(0，)和Q(，1)为椭圆C：＝1(a>b>0)上的两点. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)设直线l：y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的取值范围. 题型三　与角度、斜率有关的范围(最值)问题 例1　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值. 题型四　与参数、向量有关的范围(最值)问题 例2　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，以坐标原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足＝t(t∈R)，当||<时，求实数t的取值范围. 题型五　直线过定点 例1　已知点P(4，3)为双曲线E：＝1(a>0，b>0)上一点，E的左焦点F1到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线E的标准方程； (2)不过点P的直线y＝kx＋t与双曲线E交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y＝kx＋t过定点，并求该定点的坐标. 题型六　圆过定点问题 例2　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为B2，B1，左、右焦点分别为F1，F2，四边形B1F1B2F2是面积为2的正方形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知圆O：x2＋y2＝的切线l与椭圆C相交于D，E两点，判断以DE为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由. 题型七　与斜率、角度有关的定值问题 例1　已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知点T(t，0)，若E上存在一点P，使得·＝－1，求t的取值范围； (3)过M(－4，0)的直线交E于A，B两点，过N(－4，4)的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：∠BOC为定值. 题型八　与距离、面积、系数和有关的定值问题 例2　已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，与a＝(3，－1)共线. (1)求椭圆C的离心率； (2)设M为椭圆C上任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，证明：λ2＋μ2为定值. 题型九　点在定直线上 例1　在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点坐标为(1，0)，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点T(2，0)作直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|，证明：点E在一条定直线上. 题型十　三角形内心(外心、重心、垂心)在定直线上 例2　已知R是圆M：(x＋)2＋y2＝8上的动点，点N(，0)，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点P(－2，0)的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上？请你给出结论并证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$