2025年高一数学秋季开学摸底考01（人教A版2019）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷01 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：初高中衔接+集合+不等式 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 3．若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，，分别延长BA、CD，交点为E，作，并与EC的延长线交于点F.若，，则CF的长为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的最大值是（    ） A． B．4 C．6 D．7 7．如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到两点的距离之和的最小值为（   ）. A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表： 用笔数（支） 学生数 则关于这名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是（    ） A．中位数是支 B．平均数是支 C．众数是支 D．方差是 10．下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中，正确的是（    ）    A． B． C． D．若为任意实数，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．分解因式： ． 13．要使式子 有意义，则 x 的取值范围为 . 14．某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有 人． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 16．（15分） 某经销商购进5瓶A型号消毒水和6瓶B型号消毒水一共需要280元，每瓶B型号消毒水的进价比每瓶A型号消毒水多10元. (1)求每瓶A型号消毒水的进价； (2)该经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售.当A型号消毒水每瓶定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶，B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的A，B两种型号消毒水都卖完，设每瓶A型号消毒水定价为x元（x为大于30的整数），A，B两种型号的消毒水分别有，瓶（，都为非负整数）. ①分别写出，关于x的函数关系式； ②求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值； ③若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出每瓶A型号消毒水有几种定价. 17．（15分） 如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点将绕着点逆时针旋转得到． (1)反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式； (2)一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式． 18．（17分） 已知二次函数. (1)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 19．(17分) 数学课上神奇而有魔力的黄金分割点激起了同学们的极大兴趣，某学习兴趣小组在探究该知识时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似地给出定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)该学习兴趣小组猜想：如图1，在矩形中，若点E是线段的黄金分割点，则线段的垂线就是矩形的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ (2)该学习兴趣小组在进一步探究中发现如图2，在（1）的条件下，点M是线段的中点，另外一条直线经过点M，与矩形两条对边分别交于点G和点H，则直线也是矩形的黄金分割线，请你说明理由； (3)请你比较分析与动手操作： ①一条线段有两个黄金分割点，一个矩形有多少条黄金分割线； ②如图3所示，在中，点是线段的黄金分割点，点F是线段上的另外一点（异于点E），请过点F作一条的黄金分割线，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷01 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由轴对称图形和中心对称图形的性质可知选项A符合题意， 故选：A 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】由题意得：，解得：且. 故选：C. 3．若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 所以. 故选：B 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 所以，所以或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 5．如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，，分别延长BA、CD，交点为E，作，并与EC的延长线交于点F.若，，则CF的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，取中点.因为，故，又，故，所以，故，所以，，，故. 故，又，，故，所以. 又因为，，故，所以，故. 又，故，所以. 又，，，故，，故，故，解得 故选：C 6．已知，则的最大值是（    ） A． B．4 C．6 D．7 【答案】A 【详解】，， ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最大值是. 故选：A. 7．如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当点在上时， 四边形是正方形，边长为， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在上时， 同理可得：，． 由此可知，只有B中图象符合题意， 故选：B. 8．如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到两点的距离之和的最小值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设中边上的高是h． ∵， ∴， ∴， ∴动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作A关于直线l的对称点E，连接，，则的长就是所求的最短距离． 在中，∵， ∴， 即的最小值为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表： 用笔数（支） 学生数 则关于这名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是（    ） A．中位数是支 B．平均数是支 C．众数是支 D．方差是 【答案】ACD 【详解】将20名学生本学期的用笔数量从小到大排列可得 ， 排在第位的数为，排在第位的数为， 所以这名学生本学期的用笔数量的中位数为，A正确； 这名学生本学期的用笔数量的平均数为，B错误， 这名学生本学期的用笔数量的众数为，C正确； 这名学生本学期的用笔数量的方差为 ，D正确； 故选：ACD. 10．下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】A中，因为，可得，所以，所以A正确； B中，若，也可以，所以不正确，所以B不正确； C中，， 因为，，而，所以，即，所以C正确； D中，若，当时，则，则错误，所以D不正确． 故选：AC． 11．如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中，正确的是（    ）    A． B． C． D．若为任意实数，则 【答案】BCD 【详解】由图可知， 设的横坐标分别为，则， 而，即，则， 故，则， 所以，A选项错误. ，B选项正确. ，C选项正确. ，所以，D选项正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．分解因式： ． 【答案】 【详解】， 故答案为. 13．要使式子 有意义，则 x 的取值范围为 . 【答案】 【详解】∵ 有意义， ∴，解得：，即. 故答案为： 14．某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有 人． 【答案】 【详解】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，如下图所示： 由韦恩图可的，解得. 因此，同时参加田赛和径赛的有人. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不等式解得，集合， 当时，集合， 所以； （2）由，得， 当时，，即，符合题意； 当时， ，解得， 综上：实数m的取值范围. 16．（15分） 某经销商购进5瓶A型号消毒水和6瓶B型号消毒水一共需要280元，每瓶B型号消毒水的进价比每瓶A型号消毒水多10元. (1)求每瓶A型号消毒水的进价； (2)该经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售.当A型号消毒水每瓶定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶，B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的A，B两种型号消毒水都卖完，设每瓶A型号消毒水定价为x元（x为大于30的整数），A，B两种型号的消毒水分别有，瓶（，都为非负整数）. ①分别写出，关于x的函数关系式； ②求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值； ③若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出每瓶A型号消毒水有几种定价. 【答案】(1)20元 【详解】（1）解：设每瓶A型号消毒水的进价为x元， 依题意，得， 解得：， 答：每瓶A型号消毒水的进价为20元. （2）①y1=100-5(x-30)=250-5x， y2=(2000-20y1)÷30=[2000-20(250-5x)] ÷30=x-100， ∴，； ②设销售销售A，B两种型号消毒水的总利润为w元， 依题意得：， ， ∵，（x为大于30的整数） ∴，且x为3的倍数； ∵-5<0， ∴当元时，w有最大值，最大值为2125元， 答：销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值为2125元； ③由题意，得-5(x-45)2+2125≥1945. 解得：39≤x≤51， ∵，且x为3的倍数， ∴x=39，42，45，48， ∴每瓶A型号消毒水有4种定价. 17．（15分） 如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点将绕着点逆时针旋转得到． (1)反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式； (2)一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）点的坐标是，点的坐标是，点为中点， ，，， 将绕着点逆时针旋转得到，， 反比例函数的图象经过点，， 该反比例函数的表达式为； （2）作轴于． ， ，， ， 在和中 ≌，，， ，， ，， ，， 设一次函数的解析式为， 把，代入得，， 解得， 该一次函数的表达式为． 18．（17分） 已知二次函数. (1)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 (3)或 【详解】（1） ∵， ∴对称轴为，顶点坐标为. （2）∵顶点坐标为， ∴当时，； ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大， ∴当时，； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为. （3）当时，对进行分类讨论： ①当时，即，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴，∴， 解得：（不合题意，舍去）； ②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴， 当时，在时，， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，在时，， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）； ③当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，即， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述：或. 19．(17分) 数学课上神奇而有魔力的黄金分割点激起了同学们的极大兴趣，某学习兴趣小组在探究该知识时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似地给出定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)该学习兴趣小组猜想：如图1，在矩形中，若点E是线段的黄金分割点，则线段的垂线就是矩形的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ (2)该学习兴趣小组在进一步探究中发现如图2，在（1）的条件下，点M是线段的中点，另外一条直线经过点M，与矩形两条对边分别交于点G和点H，则直线也是矩形的黄金分割线，请你说明理由； (3)请你比较分析与动手操作： ①一条线段有两个黄金分割点，一个矩形有多少条黄金分割线； ②如图3所示，在中，点是线段的黄金分割点，点F是线段上的另外一点（异于点E），请过点F作一条的黄金分割线，并说明理由． 【答案】(1)垂线是矩形的黄金分割线，理由见解析 (2)理由见解析 (3)①无数条；②作图见解析，理由见解析 【详解】（1）垂线是矩形的黄金分割线，理由如下： 点是线段的黄金分割点， ， 矩形，矩形，矩形的宽相等， 则，，即有， 故垂线是矩形的黄金分割线. （2），， 又点是线段的中点，， 又，， ，， 又，. 因此，直线也是矩形的黄金分割线. （3）①根据以上的结论可知一个矩形有无数条黄金分割线； ②连接、，过点作，交于点， 则，，， ，， 为所求的黄金分割线. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年秋季高一开学摸底考试模拟卷 01 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷01 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B B C A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不等式解得，集合， 当时，集合， 所以； （2）由，得， 当时，，即，符合题意； 当时， ，解得， 综上：实数m的取值范围. 16．（15分） 【答案】(1)20元 【详解】（1）解：设每瓶A型号消毒水的进价为x元， 依题意，得， 解得：， 答：每瓶A型号消毒水的进价为20元. （2）①y1=100-5(x-30)=250-5x， y2=(2000-20y1)÷30=[2000-20(250-5x)] ÷30=x-100， ∴，； ②设销售销售A，B两种型号消毒水的总利润为w元， 依题意得：， ， ∵，（x为大于30的整数） ∴，且x为3的倍数； ∵-5<0， ∴当元时，w有最大值，最大值为2125元， 答：销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值为2125元； ③由题意，得-5(x-45)2+2125≥1945. 解得：39≤x≤51， ∵，且x为3的倍数， ∴x=39，42，45，48， ∴每瓶A型号消毒水有4种定价. 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）点的坐标是，点的坐标是，点为中点， ，，， 将绕着点逆时针旋转得到，， 反比例函数的图象经过点，， 该反比例函数的表达式为； （2）作轴于． ， ，， ， 在和中 ≌，，， ，， ，， ，， 设一次函数的解析式为， 把，代入得，， 解得， 该一次函数的表达式为． 18．（17分） 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 (3)或 【详解】（1） ∵， ∴对称轴为，顶点坐标为. （2）∵顶点坐标为， ∴当时，； ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大， ∴当时，； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为. （3）当时，对进行分类讨论： ①当时，即，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴，∴， 解得：（不合题意，舍去）； ②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴， 当时，在时，， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，在时，， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）； ③当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，即， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述：或. 19．(17分) 【答案】(1)垂线是矩形的黄金分割线，理由见解析 (2)理由见解析 (3)①无数条；②作图见解析，理由见解析 【详解】（1）垂线是矩形的黄金分割线，理由如下： 点是线段的黄金分割点， ， 矩形，矩形，矩形的宽相等， 则，，即有， 故垂线是矩形的黄金分割线. （2），， 又点是线段的中点，， 又，， ，， 又，. 因此，直线也是矩形的黄金分割线. （3）①根据以上的结论可知一个矩形有无数条黄金分割线； ②连接、，过点作，交于点， 则，，， ，， 为所求的黄金分割线. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：初高中衔接+集合+不等式 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 3．若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，，分别延长BA、CD，交点为E，作，并与EC的延长线交于点F.若，，则CF的长为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的最大值是（    ） A． B．4 C．6 D．7 7．如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到两点的距离之和的最小值为（   ）. A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表： 用笔数（支） 学生数 则关于这名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是（    ） A．中位数是支 B．平均数是支 C．众数是支 D．方差是 10．下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中，正确的是（    ）    A． B． C． D．若为任意实数，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．分解因式： ． 13．要使式子 有意义，则 x 的取值范围为 . 14．某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有 人． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 16．（15分） 某经销商购进5瓶A型号消毒水和6瓶B型号消毒水一共需要280元，每瓶B型号消毒水的进价比每瓶A型号消毒水多10元. (1)求每瓶A型号消毒水的进价； (2)该经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售.当A型号消毒水每瓶定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶，B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的A，B两种型号消毒水都卖完，设每瓶A型号消毒水定价为x元（x为大于30的整数），A，B两种型号的消毒水分别有，瓶（，都为非负整数）. ①分别写出，关于x的函数关系式； ②求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值； ③若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出每瓶A型号消毒水有几种定价. 17．（15分） 如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点将绕着点逆时针旋转得到． (1)反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式； (2)一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式． 18．（17分） 已知二次函数. (1)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 19．(17分) 数学课上神奇而有魔力的黄金分割点激起了同学们的极大兴趣，某学习兴趣小组在探究该知识时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似地给出定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)该学习兴趣小组猜想：如图1，在矩形中，若点E是线段的黄金分割点，则线段的垂线就是矩形的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ (2)该学习兴趣小组在进一步探究中发现如图2，在（1）的条件下，点M是线段的中点，另外一条直线经过点M，与矩形两条对边分别交于点G和点H，则直线也是矩形的黄金分割线，请你说明理由； (3)请你比较分析与动手操作： ①一条线段有两个黄金分割点，一个矩形有多少条黄金分割线； ②如图3所示，在中，点是线段的黄金分割点，点F是线段上的另外一点（异于点E），请过点F作一条的黄金分割线，并说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$