【导数】琴生不等式在高中的应用 讲义——2026届高三数学一轮复习

第 1 页 共 4 页 748期 【导数】琴生不等式在高中的应用 什么是琴生不等式？ 一、理论知识 1、琴生不等式(Jensen's Inequality) 若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式 当且仅当时等号成立. 注：如果函数在区间上二阶可导， 则在区间上凸函数的充要条件是 则在区间上凹函数的充要条件是 2、琴生不等式(Jensen's Inequality)的二维形式 在区间上连续，对上任意两点，如果在区间是下凸函数，恒有 如果在区间是下凸函数，恒有 当且仅当时等号成立。 证明 下面以下凸函数为例进行证明， 法一： 从几何意义上看，一个二阶导大于零的函数总有任意两点函数值的平均值大于中点的函数值。这样看是显然的。但是，我们需要把这个想法用严格的数学语言表述出来，这就启发我们，不妨设，构造中间函数 这时的几何意义就是连接点，的直线。 我们观察到，此时问题转化为了和的大小关系 令 那么 因此h'(x)是单调递增的 又因为，由反证法得到 假设，因为单调递增，显然存在且唯一存在一个 ，单调递减， ，单调递增， 因此 所以 将代入，得证。 法二：拉格朗日中值定理 不妨设，构造中间函数 令 由拉格朗日中值定理得，，使得 因此是单调递增的 ，且，所以在单调递减， 在单调递增 所以 因此 将代入，即证。 法三：虚设函数 不妨设，令 令 则 又 因此， 单调递减； ， 单调递增。 因此 令，即证。 法四：主元法 不妨设， 欲证 即证 以为变量，构造中间函数 则 因为，所以，即 由于，所以函数单调递增， 所以 即，，所以函数单调递减， 所以 即 即 原不等式得证。 法五：泰勒公式 由泰勒公式得 其中，介于与之间 因，所以 取， 分别将，代入上式，得 将上述两式相加，得 3、加权琴生不等式（Weighted Jensen's Inequality）的二维形式 在区间上连续，对上任意两点，且，为正实数。如果在区间上是下凸函数，恒有 如果在区间上是上凸函数，恒有 当且仅当时等号成立。 下面以下凸函数为例进行证明， 主元法 不妨设，以为主元， 令， 则 由于，所以函数单调递增， 因为 则 所以，即 所以在上为增函数， 又 所以，即 即 2、 琴声不等式在高中的应用 【例1】（2023·福建龙岩·高三校考阶段练习）若函数的导函数存在导数，记的导数为．如果对，都有，则有如下性质：．其中，，，， .若，则在锐角中，根据上述性质推断：的最大值为________. 【例2】（2023·全国·高三竞赛）半径为的圆的内接三角形的面积的最大值是______． 【例3】（2023·北京·高三强基计划）已知正实数a，b满足，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 748期 【导数】琴生不等式在高中的应用 什么是琴生不等式？ 一、理论知识 1、琴生不等式(Jensen's Inequality) 若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式 当且仅当时等号成立. 注：如果函数在区间上二阶可导， 则在区间上凸函数的充要条件是 则在区间上凹函数的充要条件是 2、琴生不等式(Jensen's Inequality)的二维形式 在区间上连续，对上任意两点，如果在区间是下凸函数，恒有 如果在区间是下凸函数，恒有 当且仅当时等号成立。 证明 下面以下凸函数为例进行证明， 法一： 从几何意义上看，一个二阶导大于零的函数总有任意两点函数值的平均值大于中点的函数值。这样看是显然的。但是，我们需要把这个想法用严格的数学语言表述出来，这就启发我们，不妨设，构造中间函数 这时的几何意义就是连接点，的直线。 我们观察到，此时问题转化为了和的大小关系 令 那么 因此h'(x)是单调递增的 又因为，由反证法得到 假设，因为单调递增，显然存在且唯一存在一个 ，单调递减， ，单调递增， 因此 所以 将代入，得证。 法二：拉格朗日中值定理 不妨设，构造中间函数 令 由拉格朗日中值定理得，，使得 因此是单调递增的 ，且，所以在单调递减， 在单调递增 所以 因此 将代入，即证。 法三：虚设函数 不妨设，令 令 则 又 因此， 单调递减； ， 单调递增。 因此 令，即证。 法四：主元法 不妨设， 欲证 即证 以为变量，构造中间函数 则 因为，所以，即 由于，所以函数单调递增， 所以 即，，所以函数单调递减， 所以 即 即 原不等式得证。 法五：泰勒公式 由泰勒公式得 其中，介于与之间 因，所以 取， 分别将，代入上式，得 将上述两式相加，得 3、加权琴生不等式（Weighted Jensen's Inequality）的二维形式 在区间上连续，对上任意两点，且，为正实数。如果在区间上是下凸函数，恒有 如果在区间上是上凸函数，恒有 当且仅当时等号成立。 下面以下凸函数为例进行证明， 主元法 不妨设，以为主元， 令， 则 由于，所以函数单调递增， 因为 则 所以，即 所以在上为增函数， 又 所以，即 即 2、 琴声不等式在高中的应用 ( 【 例1 】 （2023·福建龙岩·高三校考阶段练习）若函数 的导函数 存在导数，记 的导数为 ．如果对 ，都有 ，则 有如下性质： ．其中 ， ， ， ， .若 ，则在锐角 中，根据上述性质推断： 的最大值为________. ) 【答案】/. 【解析】，则，. 在锐角中，，，， 则 ∴   ， ∴    的最大值为. 故答案为： . ( 【 例2 】 （2023·全国·高三竞赛）半径为 的圆的内接三角形的面积的最大值是______ ． ) 【答案】 【解析】设的内接三角形为． 显然当是锐角或直角三角形时，面积可以取最大值（因为若是钝角三角形，可将钝角（不妨设为）所对边以圆心为对称中心作中心对称成为）． 因此，． 下面设，，，． 则． 由讨论知可设、、，而在上是上凸函数． 则由琴生不等式知． 所以，． 当且仅当是正三角形时，上式等号成立． 故答案为 ( 【 例3 】 （2023·北京·高三强基计划）已知正实数 a ， b 满足 ，求 的最小值． ) 【解析】设，则， 从而，故在下凸， 因此，即, 当且仅当时等号成立．所以的最小值为华． 学科网（北京）股份有限公司 $$