河南省漯河市2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试题

机密★启用前 2024一2025学年下学期高二期末质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟， ★祝考试顺利★ 注意事项： 1,答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在议卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置. 2,选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效， 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非 答题区城均无效 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.(0!+0!+01+0)!= A.0 B.4 C.12 D.24 2.某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6道题（其中选择题4道，填空题2道）中不放回地依 次抽取2道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率 号 2 C. 3 D. 3.小强每天骑自行车上学.假设他每次骑车到校所用时间X(单位：分钟)服从正态分布N(28, 4),则P(30≤X≤32)= 【附：P(4-≤X≤μ+a)=0.6827,P(μ-2a≤X≤μ+2a)=0.9545】 A.0.1359 B.0.2718 C.0.34135 D.0.47725 4.《哪吒之魔童闹海》在全球热映创下中国电影多项记录，影片的角色受到海内外观众的喜爱.现 将赦丙、敖闰、申公豹、太乙真人4个卡通模型和2个相同的哪吒模型从左到右排成一排，则两 个哪吒模型相邻的概率为 A吉 1 1 C.3 D.2 5.在等差数列{an}中，a1十aw十an=30,则S,= A.390 B.300 C.39 D.10 6.在四棱锥P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,△PAB为正三角形，ABCD为梯形，AD∥ BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3,则直线PA与平面PCD所成角的正弦值为 A号 B爱 c n 2024一2025学年下学期高二期末质量监测数学试题第1页共4页 7.随机变量的分布列如下表，若E()=,则D()- ”形5些山小积斗法精因 0 )1路图 P 2a a 2a 1t外 A吉 B号 c号 n号 8.已知点A(一4,0)，C,D是⊙O:x2+y2=25与x轴的交点，P为动点，以PA为直径的圆与⊙O 相内切，则△CPD面积的最大值为 A.8 B.10 C.12 D.15 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知A(-a,0),B(a,0),P为平面上的动点，定义运算：|PA||PB|=λ，其中A>2a>1. A.若运算为加法，则P点的轨迹为椭圆 B.若运算*为减法，则P点的轨迹为双曲线 C.若运算为乘法，则P点的轨迹为直线 D.若运算为除法，则P点的轨迹为圆入.站“.人(t1小 10.已知(2-x)”=a,x°+ax+a,x+…十a1x十a,则.i11AL Aa,=一2Cg大01f、明茶，》岁1f人音 B.a,+a十a,+…+a1=-511 :不证海写，位学》水阳 C.la,l+la.l+la,l+,+la+la。l=3° D.9a,+8a,+7a,+…+a1=-9 11.甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种，方式1：投篮3次，每次投中得1分，未投 中不得分，累计计分，方式2：选手最多投3次，如果第一次投中可进行第二次投篮，如果第二 次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2分，未投中不得 分，累计计分.已知甲、乙两人每次投中的概率均为p(0<p<1),且各次投篮相互独立.甲选 择方式1投篮，乙选择方式2投篮.则下列说法正确的是 ，”1， A当p=号时，甲得1分的概率为号 /,y民好人“，.A中· B当p=号时，甲至少得1分的概率为号 C.当p=号时，乙最多得2分的概率为号 D.当一1<p<1时，乙得分的期望大于甲得分的期望 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.随机变量X~N(μ，d),若P(X≤a)=P(X≥a+4),则P(X>≥a+2)= 13.曲线y=cos2x+在x=处的切线方程为 14.某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖.8人站成一排合影留念，同 年级的同学不相邻的站法有 种 2024一2025学年下学期高二期末质量监测，数学试题第2页：共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知F为抛物线C:y=2px的焦点，P(,t)(t≠0)为C上的一点，且1PF=5, 斜率为一是的直线1与C交于A,B两点，设直线PA,PB的斜率分别为1k, (1)求抛物线C的方程， (2)求证k,十2为定值. 4的.点4.g+子：@眼：，人：点2 女的0个 切1 3点还，净出注当小中时的1行，水，，4,4若 程雪答，女父谷：心会. ·员，。得1·入，有头究，君出L平武气，.人层与， 代清识 曲大1性1加，率米 分但达应吧水·环 l6.(本小题满分l5分)人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.随着DeepSeek的开源， 促进了AI技术的共享和进步.某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用，若将经常使用 DeepSeek的人称为“AI达人”，偶尔使用或不使用DeepSeek的人称为“非AI达人”.以该社 团随机抽取60名学生进行调查，得到如下数据： AI达人 非AI达人 。合计 男 6 30 划来，公将好者， 女 N18 合计 (1)补全2×2列联表，根据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为“AI达人”与性别有关 联？ (2)现从抽取的“AI达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取7人，然后从7人中随机抽取2 人，记2人中女“AI达人”的人数为X,求X的分布列与数学期望， n(ad-bc)2 附：X=a+bc+a+c6+da+b+c+d=u. !0使 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(本小题满分15分)某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验.随机征集了一部分志 愿者作为样本参加试验，并得到一组数据(x,y,)(i=1,2,…,10),其中x,y:表示连续用药i 天，相应的临床药效指标值.已知该组数据中y与lx之间具有线性相关关系，令t=lnx,经 计算得到下面一些统计量的值： 2=385,含-86,2，=15.0,2=27520，=52824，-143.0， =1 (1)求y关于x的经验回归方程： (2)该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5 倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与 乙生产的药品是否合格相互独立 ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率， ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率。9 参考公式：对于一组数据(xy)(i=1,2,,n),其回归方程y=bx十à中，斜率和截距的最小 二乘法估计公式分别为西 含-nd 业，公 1-是是华料，门 产，四，，小子0，，2花海6强，孩磁 始华”目 18.(本小题满分17分)对于函数F(x),若实数x。满足F(xo)=x6,则称x。为F(x)的不动点，已 知函数f(x)=(x一a)克.水.，1方点-行许.兴5？比产 (1)若f(x)的极小值小于一e,求a的取值范围； (2)当a=1时，求函数F(x)=f(x)一1的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零. A 的任》.网好说攻力4师，学密动天时世个 574期， 19.(本小题满分17分)第78届联合国大会通过决议，将春节确定为联合国假日.某大学举办中 国传统节日知识竞赛，每位大学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立， 若答对一题记2分，答错一题记1分.已知学生甲答对每个问题的概率为号，答错的概率为号 (1)学生甲随机抽取3题，记总得分为X,求X的分布列与数学期望： (2)若学生甲已答过的题累计得分为n分的概率为P,求P.与2P2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学参考答案及评分标准 第1 页 共5页 2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A C A B D D AD BCDBCD 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 1.D 解析:(0! +0! +0! +0!)! =4! =24.故选D. 2.C 解析:在第一次抽到选择题的条件下,第二次抽到填空题,即在3道选择题2道填空题中随 机抽一题,抽到填空题的概率P=25 ,故选C. 3.A 解析:本题中μ=28,σ=2,P(30≤X≤32)=P(28+2≤X≤28+2×2)= 0.9545-0.6827 2 =0.1359.故选A. 4.C 解析:解法1:从6个位置中选2个摆放哪吒模型,有C26=15种方法,两个哪吒相邻等价于 从5个位置中选一个摆放两个哪吒模型,有C15=5种方法,所求概率为P= 5 15= 1 3. 故选C. 解法2:先从6个位置中选4个摆放敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人(剩下两个位置放哪吒模型), 有A46 种方法,两个哪吒相邻可将两个哪吒捆绑在一起,与敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人进行全 排列,有A55 种方法,所求概率为P= A55 A46 =13. 故选C. 5.A 解析:a1+a20+a39=3a20=30,∴a20=10.∴S39= (a1+a39)×39 2 =39a20=390. 故选A. 6.B 解析:取AB的中点O,连接OP,因为△PAB为正三角形,所以PO⊥AB,又平面PAB⊥平面 ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,∴PO⊥平面ABCD,建立如图所示的直角坐标系,则A(1, 0,0),D(1,1,0),C(-1,3,0),P(0,0,3),DP → =(-1,-1,3),CD → =(2,-2,0). 设平面PCD 的法向量为n=(x,y,z), 则 DP →·n=0, CD →·n=0 ,即 -x-y+ 3z=0,2x-2y=0, 令z=2,得平面PCD 的一个法向量为n=(3,3,2). 又AP → =(-1,0,3),设PA 与平面PCD 所成角为θ,则 所以sinθ= cos<AP →,n>= 3 2× 10 = 3020. 故选B. 7.D 解析:由 2a+a+2a+b=1, -2a+0+2a+2b=13 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得a=b=16. Dξ= -1-13 2 ×13+ 0-13 2 ×16+ 1-13 2 ×13+ 2-13 2 ×16= 11 9. 故选D. 8.D 解析:如图,设以PA 为直径的圆心为E,半径为r,因为☉E 与☉O 相内切,则|OE|=5 -r. 设F(4,0),连接PF,则|OE|=12|PF| ,∴|PF|=2|OE|=10-2r. 2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学参考答案及评分标准 第2 页 共5页 又|PA|=2r,所以,|PA|+|PF|=10>8.所以,点P 的轨迹是以A,F 为焦点的椭圆,由2a=10,得a=5,又c=4,所以b=3.显然当P 为椭 圆短轴端点即(0,3)或(0,-3)时,△CPD 的面积最大,最大值为12 |CD|×3=12×10×3=15. 故选D. 二、多项选择题:本题共3题,每小题6分,共18分. 9.AD 解析:对于A,|PA|+|PB|=λ,λ>2a>1,依椭圆的定义知,P 的轨迹是以A,B 焦点,实 轴长为λ的椭圆,选项A正确;对于B,|PA|-|PB|=λ,λ>2a>1时,轨迹不存在.选项B错 误;对于C,|PA|·|PB|=λ,λ>2a>1,设P(x,y),则 (x+a)2+y2 (x-a)2+y2=λ,方程不 可能表示直线,选项C错误;对于D,|PA|÷|PB|=λ,λ>1,P 的轨迹是阿波罗尼斯圆,选项D 正确.故选AD. 10.BCD 解析:通项Tk+1=Ck929-k(-x)k,令k=8,得a8=C8929-8=18,选项A错误;令x=0,得 a0=29=512.令x=1,得a9+a8+a7+􀆺+a1+a0=1,所以a9+a8+a7+􀆺+a1=1-512= -511.选项B正确;令x=-1,得-a9+a8-a7+􀆺-a1+a0=39,所以,|a9|+|a8|+|a7|+ 􀆺+|a1|+|a0|=-a9+a8-a7+􀆺-a1+a0=39,选项C正确;(2-x)9=a9x9+a8x8+a7x7 +􀆺+a1x+a0 两边对x求导,得-9(2-x)8=9a9x8+8a8x7+7a7x6+􀆺+a1,再令x=1,得 9a9+8a8+7a7+􀆺+a1=-9.故选D正确.故选BCD. 11.BCD 解析:当p=23 时,设甲得分为X,则X~B 3,23 ,所以P(X=1)=C13 23 1 13 2 =29 , P(X≥1)=1-P(X=0)=1- 13 3 =2627 ,选项A错误,选项B正确;对于选项C,设乙的得分 为Y,则Y 可取0,2,4,6.当p=23 时,P(Y=0)=13 ,P(Y=2)=23× 1 3= 2 9 ,P(Y≤2)=13+ 2 9= 5 9 ,选项C正确;对于选项D,P(Y=0)=1-p,P(Y=2)=p(1-p),P(Y=4)=p2(1-p), P(Y=6)=p3.Y 的分布列为 Y 0 2 4 6 P 1-p p(1-p) p2(1-p) p3 E(Y)=0×(1-p)+2×p(1-p)+4×p2(1-p)+6×p3=2p3+2p2+2p,因为E(X)=3p, 由E(Y)-E(X)=p(2p2+2p-1)>0,得 3-12 <p<1 ,即当3-1 2 <p<1 时,E(Y)>E(X),选 项D正确.故选BCD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.12 解析:μ= a+(a+4) 2 =a+2 ,∴P(X≥a+2)=12. 13.8x+4y-3π=0 或y=-2x+3π4 解析:记y=f(x),f'(x)=-2sin2x,f' π4 =-2sinπ2 =-2,又f π4 =π4. 所以,曲线y=cos2x+π4 在x=π4 处的切线方程为y-π4=-2 x-π4 , 即8x+4y-3π=0. 2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学参考答案及评分标准 第3 页 共5页 14.2016 解析:先将4名高三学生全排列, 若高一、高二学生不相邻,站法有A44·2A44=1152, 若高一学生与高二学生相邻,站法有A44·C13A22·A33=864, 共有站法1152+864=2016种. 四、解答题:本题共5小题,共77分. 15.解:(1)依题意, t2=2pt, |PF|=t+p2=5 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 t=4, p=2. 所以,抛物线C的方程为y2=4x. 5分…………………………………………………………… (2)设l:y=-12x+m ,联立, y2=4x, y=-12x+m , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得y2+8y-8m=0. 由Δ=82-4×1×(-8m)=64+32m>0,得m>-2. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-8,y1y2=-8m. 8分…………………………………… 由(1)知,P(4,4), ∴k1+k2= y1-4 x1-4 +y2 -4 x2-4 =y1 -4 y21 4-4 +y1 -4 y22 4-4 = 4y1+4 + 4y2+4 = 4(y1+y2+8) (y1+4)(y2+4) =0. 所以k1+k2 为定值. 13分………………………………………………………………………… 16.解:(1)2×2列联表如下: AI达人 非AI达人 合计 男 24 6 30 女 18 12 30 合计 42 18 60 3分………………………………………………………………………………………………… 零假设 H0:“AI达人”与性别无关, χ 2=60× (24×12-18×6)2 42×18×30×30 = 20 7≈2.857<6.635=x0.010 , 根据小概率值α=0.010的独立性检验,没有充分证据推断 H0 不成立,因此认为 H0 成立,因 此认为“AI达人”与性别无关. 8分……………………………………………………………… (2)在“AI达人”中按性别分层抽样抽取7人,其中,男“AI达人”抽取2442×7=4 人,女“AI达 人”抽取3人,X 的所有可能取值为0,1,2. 10分……………………………………………… 则P(X=0)= C24 C27 =27 ,P(X=1)= C14C13 C27 =47 ,P(X=2)= C23 C27 =17. 所以,X 的分布列如下: X 0 1 2 P 27 4 7 1 7 14分……………………………………………………………………………………………… X 的数学期望E(X)=0×27+1× 4 7+2× 1 7= 6 7. 15 分……………………………………… 2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学参考答案及评分标准 第4 页 共5页 17.解:(1)􀭰t=15.010 =1.5 ,􀭵y=110􀰐 10 i=1 yi=8.6. b̂= 􀰐 10 i=1 tiyi-n􀭰t􀭵y 􀰐 10 i=1 t2i-n􀭰t2 =143.0-10×1.5×8.6 27.5-10×1.52 =2.8,̂a=􀭵y-̂b􀭰t=8.6-2.8×1.5=4.4, y关于t线性回归方程为:̂y=2.8t+4.4. 5分………………………………………………… 所以y关于x 的回归方程为ŷ=2.8lnx+4.4. 6分…………………………………………… (2)设事件A:随机抽取一件药品来自设备甲生产,事件B:随机抽取一件药品来自设备乙生 产,事件C:随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品. ①因为设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍,所以P(A)=35 ,P(B)=25 , 则P(C|A)=0.008,P(C|B)=0.006. 8分……………………………………………………… 所以P(C)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=35×0.008+ 2 5×0.006=0.0072. 故所抽药品为不合格品的概率为0.0072. 10分………………………………………………… ②P(B|C)=P (B)·P(C|B) P(C) = 2 5×0.006 0.0072 = 1 3 , 即所抽药品为不合格品,该药品来自设备乙生产的概率为1 3 , 13分…………………………… 所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为P=C23 1 3 2 ·2 3= 2 9. 15 分………… 18.解:(1)f'(x)=(x-a+1)ex, 当x<a-1时,f'(x)<0,当x>a-1时,f'(x)>0,所以,f(x)在(-∞,a-1)上递减,在(a -1,+∞)上递增,f(x)极小值=f(a-1)=-ea-1. 4分………………………………………… 由-ea-1<-e,得a>2. 故a的取值范围为(2,+∞). 6分……………………………………………………………… (2)当a=1时,F(x)=f(x)-1=(x-1)ex-1,依题意方程F(x)=x, 即(x-1)ex-1=x的解就是函数F(x)的不动点. 令g(x)=(x-1)ex-x-1, g'(x)=xex-1, 令h(x)=g'(x),则h'(x)=(x+1)ex, 当x<-1时,h'(x)<0,当x>-1时,h'(x)>0, 所以,h(x)在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增, 8分………………………………… 又h(1)=e-1>0,h(0)=-1<0,且当x<0时,h(x)<0. 所以,存在唯一x0,0<x0<1,使h(x0)=0. 当x<x0 时,h(x)<0,即g'(x)<0;所以,g(x)在(-∞,x0)上递减, 当x>x0 时,h(x)>0,即g'(x)>0,所以,g(x)在(x0,+∞)上递增. 所以,g(x)≥g(x0). 10分………………………………………………………………………… 因为g'(x0)=0,即x0ex0-1=0,也即ex0= 1 x0 所以,g(x0)=(x0-1)ex0-x0-1=-ex0-x0<0. 2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学参考答案及评分标准 第5 页 共5页 又g(-2)=1-3e2 >0,g(2)=e2-3>0. 根据零点存在定理,g(x)在(-2,x0),(x0,2),内各仅有一个零点,所以,g(x)有且仅有两个 零点.即函数F(x)有两个不动点. 13分………………………………………………………… 设m 是g(x)的零点,则g(m)=(m-1)em-m-1=0, 又g(-m)=(-m-1)e-m+m-1=e-m[(-m-1)+(m-1)em]=0, 所以-m 也是g(x)的零点. 故g(x)所有零点之和等于零.即函数F(x)所有不动点之和等于零. 17分………………… 19.解:(1)X 的可能取值为3,4,5,6. P(X=3)= 23 3 =827 , P(X=4)=C13× 1 3× 23 2 =49 , P(X=5)=C23× 13 2 × 23 1 =29 , P(X=6)=C33× 13 3 =127. X 的分布列为 X 3 4 5 6 P 827 4 9 2 9 1 27 4分………………………………………………………………………………………………… 所以,E(X)=3×827+4× 4 9+5× 2 9+6× 1 27=4. 6 分………………………………………… (2)P1= 2 3 ,P2= 1 3+ 2 3× 2 3= 7 9 , 当n≥3时,Pn= 2 3Pn-1+ 1 3Pn-2 , 9分…………………………………………………………… 即Pn+ 1 3Pn-1=Pn-1+ 1 3Pn-2 , 所以,数列 Pn+ 1 3Pn-1 为常数列. 又P2+ 1 3P1= 7 9+ 1 3× 2 3=1 ,所以Pn+ 1 3Pn-1=1 (n≥2), 则Pn- 3 4=- 1 3 Pn-1-34 ,所以,Pn-34 是以-112为首项,-13为公比的等比数列, ∴Pn- 3 4=- 1 12× -13 n-1 , 即Pn= 3 4+ 1 4× -13 n (n≥2). 当n=1时,上式也成立. ∴Pn= 3 4+ 1 4× -13 n . 13分…………………………………………………………………… 􀰐 n i=1 Pi=P1+P2+P3+…+Pn= 3 4n+ 1 4× -13 1 + -13 2 +…+ -13 n =34n- 1 16 1- -13 n . 17分……………………………………………………………………