新教材中的全概率与贝叶斯讲义-2026届高三数学一轮复习

一、宁波九校期末这道教材课后改编题 二、合肥一中一题带你搞懂贝叶斯公式 三、新教材中的全概率与贝叶斯 四、什么是条件概率? 五、什么是全概率公式? 六、贝叶斯公式又是什么? 七、事件独立性的概念你真的懂吗？ 八、全概率与贝叶斯应用举例 九、模考中的全概率与贝叶斯 一、宁波九校期末这道教材课后改编题 【浙江宁波九校 25 届高二期末 T19】在一个抽奖游戏中, 有编号为 1, 2, 3 的三个外观相同的空箱子, 现随机选择一个箱子放入一件奖品, 然后让抽奖人随机选定一个箱子. 某次游戏, 在抽奖人打开箱子前, 主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子,发现是空箱,此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子. 记事件 为抽奖人第一次选中的是空箱,事件 为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子,抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子,抽奖人不换箱子中奖的概率； ( 3 )如果主持人知道内情的概率为 ,抽奖人不换箱子中奖的概率. 解析: (1) (2) (3) 二、合肥一中一题带你搞懂贝叶斯公式 【合肥一中 25 届高三预测卷 T19】合肥一中 2025 年元旦联欢会上一个抽奖游戏,主持人从编号为 的 个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将 个箱子关闭. 主持人知道奖品在哪个箱子里. 游戏规则是主持人请抽奖人在 个箱子中选择一个,若奖品在此箱子里, 则奖品由抽奖人获得. 抽奖人当然希望选中有奖品的箱子! 假定你是抽奖人, 不妨设你选择了 号箱. 在打开 号箱之前,主持人先打开了另外 个箱子中的一个空箱子. 按游戏规定, 主持人打开你的选择之外的空箱子, 当你的选择之外有多个空箱子时, 主持人随机选择其中一个打开. (1)若 ,不妨设主持人打开的是 3 号箱. 现在给你一次重新选择的机会,你是坚持选 1 号箱, 还是改选 2 号箱? 试说明理由; (2)若 ,不妨设主持人打开的是 3 号箱. 现在给你一次重新选择的机会,你是坚持选 2 号箱, 还是改选其他号码的箱? 试说明理由; ( 3 )切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一,其形式如下: 设随机变量 的期望 和方差 存在,则对任意的 ,有 . 若 ,设主持人打开箱的号码为随机变量 ,求 的期望 和方差 ,并验证随机变量 满足切比雪夫不等式. 解析: (1) (2) (3) 三、新教材中的全概率与贝叶斯 全概率和贝叶斯公式这部分内容在人教版新教材选择性必修第三册第 49-55 页,是新教材新引入的内容! 7.1.2 全概率公式 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时, 我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果, 然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 下面, 再看一个求复杂事件概率的问题. 思考 从有 个红球和 个蓝球的袋子中,每次随机摸出 1 个球,摸出的球不再放回. 显然,第 1 次摸到红球的概率为 . 那么第 2 次摸到红球的概率是多大? 如何计算这个概率呢? 因为抽签具有公平性, 所以第 2 次摸到红球的概率也应该是 . 但是这个结果并不显然, 因为第 2 次摸球的结果受第 1 次摸球结果的影响. 下面我们给出严格的推导. 图 7.1-2 用 表示事件 “第 次摸到红球”, 表示事件 “第 次摸到蓝球”, . 如图 7.1-2 所示,事件 可按第 1 次可能的摸球结果 (红球或蓝球) 表示为两个互斥事件的并,即 . 利用概率的加法公式和乘法公式, 得 上述过程采用的方法是: 按照某种标准, 将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并, 再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 一般地,设 是一组两两互斥的事件, ,且 ,则对任意的事件 ,有 我们称上面的公式为全概率公式 (total probability formula). 全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 计算在 发生的条件下,事件 发生的概率. 类似地, 可得 思考 例 5 中 的实际意义是什么? 是试验之前就已知的概率,它是第 台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率. 当已知抽到的零件是次品 是这件次品来自第 台车床加工的可能性大小, 通常称为后验概率. 如果对加工的次品, 要求操作员承担相应的责任, 那么 就分别是第1,2,3台车床操作员应承担的份额. 将例 5 中的问题 (2) 一般化, 可以得到贝叶斯公式. 贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T. Bayes, 1702-1761)发现的, 它用来描述两个条件概率之间的关系. * 贝叶斯公式 (Bayes formula): 设 是一组两两互斥的事件, ,且 ,则对任意的事件 , ,有 例 6 在数字通信中, 信号是由数字 0 和 1 组成的序列. 由于随机因素的干扰, 发送的信号 0 或 1 有可能被错误地接收为 1 或 0 . 已知发送信号 0 时, 接收为 0 和 1 的概率分别为 0.9 和 0.1 ; 发送信号 1 时, 接收为 1 和 0 的概率分别为 0.95 和 0.05 . 假设发送信号 0 和 1 是等可能的. (1)分别求接收的信号为 0 和 1 的概率； 图 7.1-4 * (2) 已知接收的信号为 0 ,求发送的信号是 1 的概率. 分析: 设 “发送的信号为0”, “接收到的信号为 0 ”. 为便于求解, 我们可将题目中所包含的各种信息用图 7.1-4 直观表示. [footnoteRef:2] [2: 标有 号的内容为选学内容,不作考试要求.] 解: 设 “ 发送的信号为0”, “接收到的信号为0”,则 “发送的信号为 1”, “接收到的信号为 1”. 由题意得 (1) , (2) . 练习 1. 现有 12 道四选一的单选题, 学生张君对其中 9 道题有思路, 3 道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为 0.9 , 没有思路的题只好任意猜一个答案, 猜对答案的概率为 0.25 . 张君从这 12 道题中随机选择 1 题, 求他做对该题的概率. 2. 两批同种规格的产品,第一批占 ,次品率为 ; 第二批占 ,次品率为 . 将两批产品混合, 从混合产品中任取 1 件. (1)求这件产品是合格品的概率； * (2) 已知取到的是合格品, 求它取自第一批产品的概率. 习题 7.1 复习巩固 1. 为了研究不同性别学生患色盲的比例, 调查了某学校 2000 名学生, 数据如右表所示. 从这 2000 人中随机选择 1 人. 单位: 人 性别 色盲 非色盲 合计 男生 60 1140 1 200 女生 2 798 800 合计 62 1938 2000 (1)已知选到的是男生,求他患色盲的概率; (2)已知选到的学生患色盲,求他是男生的概率. 2. 从人群中随机选出 1 人,设 “选出的人患有心脏病”, “选出的人是年龄大于 50 岁的心脏病患者”,请你判断 和 的大小关系,并说明理由. 3. 甲、乙两人向同一目标各射击 1 次,已知甲命中目标的概率为 0.6 ,乙命中目标的概率为 0.5 . 已知目标至少被命中 1 次, 求甲命中目标的概率. 4. 甲和乙两个箱子中各装有 10 个球, 其中甲箱中有 5 个红球、 5 个白球, 乙箱中有 8 个红球、 2 个白球. 掷一枚质地均匀的骰子, 如果点数为 1 或 2 , 从甲箱子中随机摸出 1 个球; 如果点数为3,4,5,6,从乙箱子中随机摸出 1 个球. 求摸到红球的概率. 5. 在 三个地区暴发了流感,这三个地区分别有 的人患了流感. 假设这三个地区的人口数的比为 ,现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率； (2) 如果此人患流感,求此人选自 地区的概率. 6. 已知 ,证明: . 综合运用 7. 一批产品共有 100 件, 其中 5 件为不合格品. 收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验, 并按以下规则判断是否接受这批产品:如果抽检的第 1 件产品不合格,则拒绝整批产品；如果抽检的第 1 件产品合格, 则再抽 1 件, 如果抽检的第 2 件产品合格, 则接受整批产品, 否则拒绝整批产品. 求这批产品被拒绝的概率. 8. 在孟德尔豌豆试验中,子二代的基因型为 ,其中 为显性基因, 为隐性基因, 且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行随机交配,那么子三代中基因型为 的概率是多大? 9. 证明条件概率的性质 (1) 和 (2). 拓广探索 10. 证明: 当 时, . 据此你能发现计算 的公式吗? 阅读与思考 贝叶斯公式与人工智能 人工智能(Artificial Intelligence,缩写为 AI)是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学,目的是理解人类智能的实质,并制造以近似人类智能方式工作的机器, 如机器人、语言识别、图像识别、自然语言处理、自动驾驶等. 人工智能被认为是 21 世纪最重要的尖端科技之一, 其理论和技术正在日益成熟, 应用领域也在不断扩大. 人工智能理论背后的一个基本原理就是本节的贝叶斯公式. 贝叶斯公式的思想最早出现于贝叶斯的论文 《论有关机遇问题的求解》, 发表于他去世后的 1763 年. 后来法国数学家拉普拉斯(P.-S. Laplace,1749-1827) 独立地发现了这个公式. 统计学家经过长期的努力,发展出了以贝叶斯公式为基础的系统的推理和决策方法, 称为贝叶斯方法. 该方法的基本程序是首先确定先验概率, 然后利用贝叶斯公式计算得到后验概率, 使先验概率得到修正和校对, 再根据后验概率作出推理和决策. 下面用一个例子说明这种方法. 在一个抽奖游戏中, 主持人从编号为 1, 2, 3 的三个外观相同的空箱子中随机选择一个, 放入一件奖品, 再将三个箱子关闭. 主持人知道奖品在哪个箱子里. 游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个, 若奖品在此箱子里, 则奖品由抽奖人获得. 抽奖人当然希望选中有奖品的箱子! 假定你是抽奖人,不妨设你选择了 1 号箱. 在打开 1 号箱之前, 主持人先打开了另外两个箱子中的一个空箱子. 按游戏规定, 主持人只打开你的选择之外的空箱子, 当两个都是空箱子时, 他随机选择其中一个打开. 不妨设主持人打开的是 3 号箱. 现在给你一次重新选择的机会, 你是坚持选 1 号箱, 还是改选 2 号箱? 显然, 由于随机性, 你无法保证一定能够成功选中有奖品的箱子. 因此, 要不要改变选择是个风险决策问题, 应以得到奖品的概率最大为准则. 对于是否应改选 2 号箱, 人们有如下几种不同的观点: (1) 三个箱子中有奖品的概率都是 ,不必换号; (2) 既然 3 号是空箱,那么奖品在 1 号箱、 2 号箱中的概率都是 ,不必换号; (3) 奖品在 1 号箱中的概率是 ,当知道 3 号是空箱后,2 号箱中有奖品的概率就变为 ,应该改选 2 号. 哪种观点是正确的呢? 下面用两种方法进行分析: 分析 1: 选择 1 号箱,其中有奖品的概率为 ,无奖品的概率为 . 主持人打开了无奖品的 3 号箱, 若决策是不换号, 则你在 1 号箱里有奖品的情况下得奖, 成功的概率为 ; 若决策是换号,则你在 1 号箱里无奖品的情况下得奖,成功的概率为 . 所以改选 2 号是正确的决策. 分析 2:利用全概率公式和贝叶斯公式, 可以从条件概率的角度进行分析. 用 分别表示 1,2,3 号箱子里有奖品,用 分别表示主持人打开 1,2,3 号箱子. 如上所述,你初次选择了 1 号箱. 因为你在做选择时不知道奖品在哪个箱子里, 你的选择不影响奖品在三个箱子中的概率分配, 所以事件 的概率仍为 ,此为先验概率. 主持人打开 1 号箱之外的一个空箱子,有以下几种可能情况: 奖品在 1 号箱里,主持人可打开 2,3 号箱,故 ; 奖品在 2 号箱里,主持人只能打开 3 号箱,故 ; 奖品在 3 号箱里,主持人只能打开 2 号箱,故 . 利用全概率公式, 主持人打开 3 号箱的概率为 再根据贝叶斯公式, 在 3 号箱打开的条件下, 1 号箱和 2 号箱里有奖品的条件概率分别为 这两个条件概率是后验概率, 它们修正了前面的先验概率. 通过比较后验概率不难发现, 改选 2 号箱是正确的决策. 现在想一想, 观点 (1) 和观点 (2) 错在哪里? 前面分析 1 给出的方法简单直接, 也比较容易理解, 但是分析 2 中基于贝叶斯公式的方法具有更广泛的适用性. 事实上, 只要把三个箱子改为四个或更多, 主持人还是每次打开一个空箱子, 此时再用分析 1 中的方法就比较复杂了. 利用贝叶斯公式的方法可以发现, 对于上述多个箱子的抽奖游戏, 在你第 1 次选择后,当主持人打开此外的一个空箱子,并给你重新选择的机会时,你同样可以通过改变选择提高成功的概率. 而且, 假如在你第 2 次选择后, 主持人又打开此外的一个空箱子,并再次给你重新选择的机会时,你仍然应该改变自己的选择,以获得更大的成功概率. 因此, 这个策略也适用于多次选择的情况. 事实上, 在上述多次选择的游戏中, 主持人每打开一个空箱子都提供了新的有用信息, 抽奖人需要不断根据这些信息, 利用贝叶斯公式计算出(新的)后验概率, 并据此修正自己的选择以提高成功的概率. 这种不断改进和校正决策的过程非常近似于人类的学习和思维模式, 也是贝叶斯方法许多应用的关键. 正是由于这个特点, 贝叶斯方法在人工智能领域发挥了非常重要的作用, 已经成为学习型人工智能的理论基础. 曾经被人们津津乐道的围棋人工智能系统阿尔法围棋(AlphaGo)系列就是学习型人工智能成功应用的典型例子. 在战胜人类高手之前, 阿尔法围棋结合人类自古以来积累的数百万部棋谱, 进行了几个月的自我学习训练, 最终超越了世界顶尖棋手. 作为阿尔法围棋的升级版, 阿尔法元 (AlphaGo Zero) 则不再需要人类积累的围棋数据, 它通过自我博弈进行学习. 经过几天的训练后, 阿尔法元就轻松地击败了此前所有版本的阿尔法围棋. 阿尔法元之所以有如此强大的自学能力, 是因为采用了一种叫做强化学习的新模式. 它从一个对围棋技术一无所知的神经网络开始,结合一个强力搜索算法, 在自我对弈中调整升级, 循环往复, 不断提高, 在几天内就走完了人类几千年的围棋历史, 并探索出了不少新的招法和策略. 人们认为, 围棋人工智能系统象征着计算机技术已进入人工智能的新信息技术时代,其特征就是大数据、大计算、大决策,三位一体. 贝叶斯方法在当今最先进的科技领域中扮演着重要角色,你是否感到非常神奇？是否觉得现在的学习很有意义? 请你上网查阅有关资料, 进一步了解人工智能方面的最新发展. 四、什么是条件概率? 定义: 设有随机试验 及事件 ,若 则称 为 在 发生的条件下的条件概率. 同理, 可定义 可以验证这样定义的条件概率满足概率公理化定义中关于概率的三个条件条件。概率引进的角度是基于事件发生之间的影响关系构造的。该定义同时也给出了条件概率的计算方法,事实上该定义式可启发人们从两个方面求 . 一方面从基于 、 原有的样本空间出发,通过计算 ,再由 求出 . 另一方面就 、 而言,可视 为一个缩小的样本空间,记为 ,在此样本空间上,只要求出 为原来定义下的 . 注,概率公理化定义: 设 是样本空间 上的一个 域, 是 上定义的实函数, 且 满足: (1) (2) (对一切的 ) (3)若 ,且两两互不相容,有 成立,则称 是 上的一个概率, 称为事件 发生的概率. 通常将 称为一个概率空间,性质 (3) 称为概率的 可加性 (可列可加性). 这是柯尔莫哥洛夫(Kolmogoroo)建立的概率公理化定义, 使得概率成为了一个严谨的数学分支,极大地推动了学科发展,细心的同学们会发现上述定义的基本作用在于判断 是否构成 上的一个概率。 [footnoteRef:3] [3: 考虑由 及 可得乘法公式] 这个公式可推广到 个事件 的场合: 事实上条件概率可认为是一种相对率,在 中当 时, ,故通常事件的概率可看成是条件概率的特例. 下面给一个条件概率的典型例子, 供同学们更好的理解条件概率, 【典例 1】设加工产品 20 件,其中有 15 件一等品 5 件二等品, 一等品, 二等品混放, 现随机取两件, 每次取一件, 共两次, 不放回抽样。求在第一次取到一等品的条件下第二次仍取到一等品的概率。 解析: 五、什么是全概率公式? 首先, 先给出空间划分的定义, 定义: 设 为样本空间,若存在 ,且 , 及 ,则称 构成对 的一个划分. 进而可以给出全概率公式的定义, 全概率公式: 设 为 的一个划分且 ,则对于任意的 ,有 全概率公式的意义在于当 的构成较复杂时,可通过对 引人某种合适的划分,在这种划分下可将 分解为一系列局部的较为简单的事件,在计算出这些局部的事件的概率后,再通过全概率公式求出 . 当然,若有 ,又找到 的有效划分 ,则上述全概率公式仍成立. 下面给出一个全概率公式应用的例子, 【典例 2】设有一矿工被困井下,他可以等可能性地选择三个通道之一逃生。若矿工通过第一个通道逃生成功的可能性为 ,通过第二个通道逃生成功 的可能性为 ,通过第三个通道逃生成功的可能性为 。问此矿工逃生成功的可能性是多少? 解析: 六、贝叶斯公式又是什么? 人们通常见到诸如这样的广告:购买某产品, 它将会给你带来某效用; 或听到这样的承诺: 投资某产品或投资某地,你的回报率将是多少。但如果人们问一个反问题: 我要求回报率达到多少应投资何产品或在何地投资呢? 或者我要求达到某效用应购买何产品呢? 显然这样的反问题是很有意义的。下面介绍的贝叶斯公式就是这类问题在概率中的相应模型, 贝叶斯公式: 设 为 的一个划分,且 ,对任意随机事件 ,当 时,则有 一般称 为先验概率,就是做试验前的概率,简单说就是经验; 为后验概率,在统计决策中十分重要,由此得到的决策叫做贝叶斯决策。也就是说我们在对经验不断地更新和修正, 当然是利用生活实践, 即所谓试验。 下面给出两个个全概率公式应用的例子, 以帮助同学们理解 【典例 3】在【典例 2】中,求 . 解析: 【典例 4】设某医生面临某患者,该患者呈状态 . 医生试图据此判断该患者是否患疾病 . 医生有如下经验认识: ,人群中患疾病 的率 . 医生所接触的患者中有状况 的概率 。现要求 . 解析: 七、事件独立性的概念你真的懂吗？ 条件概率揭示了事件发生之间的关系在概率让算方面的影响。这种关系对于概率模型及实际问题的分析研究是很有意义的。但有些情形, 随机事件的发生相互之间没有影响关系或者影响关系很弱也是有价值的。例如, 某时刻在甲国某地区发生了一次汽车交通事故, 这个事故对乙国的火车交通的安全性的影响可能就很弱。再如某国在 1000 年前的某月某日在某地区下了一场雨, 那么这场雨对 1000 年后该地区的某月某日的气象不可能造成什么影响。这样的问题我们引入事件独立性的概念来刻画. 两事件独立定义: 设事件 满足 则称 与 独立. 由定义可知,当 与 独立时 与 也独立,故称之为 与 相互独立简称 与 独立. 同学们可能会马上想象,若 ,那么 也应该相互独立,但这是不全面的,不准确的. 事实上, 相互独立应同时满足 个事件独立定义: 对于 个事件 ,若同时满足 另外, 由独立性的概念可得如下定理成立. 定理 1: 设 则 与 相互独立的充要条件为 利用事件的独立性概念可知, 当事件独立时可大大简化积事件概率的计算。例如,我们要求 且 较大时,直接计算是困难的. 若 , 相互独立,则 其实在使用该方法时需知道如下定理: 定理 2: 四对事件中若有一对相互独立,则其余三对相互独立. 下面给出一个具体的例子, 来帮助同学们理解事件独立性, 【典例 5】一个家庭中有若干小孩,假设生男和生女等可能,令 A = {一个家庭中有男孩,又有女孩} B = {一个家庭中最多有一个女孩} 在家中分别有两个或三个小孩时,讨论 与 的独立性。 解析: ① ② 八、全概率与贝叶斯应用举例 以下再给出三个难度稍大的例题,主要是全概率公式、贝叶斯公式的应用, 【典例 6】某厂每天早上需调整机器, 由经验可知, 机器调整正确的概率为 0.8 . 调整不正确的概率为 0.2 ; 又已知在机器调整正确时产品合格率为 0.9 , 调整不正确时合格率为 0.5 . 现在从当天生产的产品中任取 3 件, 结果是: (合格, 合格, 不合格), 求该天机器调整正确的概率。若任取 3 件中有一件不合格,其他条件不变,该天机器调整正确的概率是多少? 解析: 【典例 7】一台设备由 10 个元件组成, 在保修期间, 每个元件的失效率为 0.05 , 各元件是否失效是相互独立的, 若有一个元件失效, 设备不能使用的概率为 0.5, 若有两个元件失效,设备不能使用的概率是 0.8 ,若有三个或者三个以上的元件失效,设备一定不能使用。 (1)求设备在保修期内不能使用的概率； (2)已知设备不能使用,求是一个元件失效的概率。 解析: (1) (2) 【典例 8】设某种产品 50 件为一批,如果每批产品中有0,1,2,3,4件次品的概率分别为0.35,0.25,0.2,0.18,0.02,今从某批产品中抽取 10 件,查出一件次品,求该批产品中次品不超过 2 件的概率。 解析: 九、模考中的全概率与贝叶斯 【湖南新高考教学教研联盟 24 届高三一联 T19】2023 年 10 月 11 日,中国科学技术大学潘建伟团队成功构建 255 个光子的量子计算机原型机“九章三号”,求解高斯玻色取样数学问题比目前全球最快的超级计算机快一亿亿倍,相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态,量子计算机的量子比特 (qubit) 可同时处于0与1的叠加态,故每个量子比特处于 0 态或 1 态是基于概率进行计算的. 现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特, 且自旋状态只有上旋与下旋两种状态,其中下旋表示 “ 0 ”,上旋表示 “ 1 ”,粒子间的自旋状态相互独立,现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后, 粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋, 再输入第二道逻辑门后, 粒子的自旋状态有户的概率发生改变, 记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为 . (1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为 2 ,且 ,求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为 2 的概率 (2)若一条信息有 种可能的情况且各种情况互斥,记这些情况发生的概率分别为 则称 (其中 )为这条信息的信息熵,试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为 的信息熵 (3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门, 当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输人, 否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子, 设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为 证明: 当 无限增大时, 的数学期望趋近于一个常数参考公式: 时, . 解析: (1) 注: (2) 注: (3) 注:(1)其实是贝叶斯公式的应用；(2)就是信息熵；(3)则是求几何分布的期望, 其期望就是 ,另外在求期望过程中利用的是差比数列裂项法。 【河北石家庄 24 年高二下期末 T8】某货车为某书店运送书籍, 共 10 箱, 其中 5 箱语文书、 3 箱数学书、 2 箱英语书. 到达目的地时发现丢失一箱, 但不知丢失哪一箱. 现从剩下的 9 箱书中随机打开 2 箱, 结果是 1 箱语文书、 1 箱数学书, 则丢失的一箱是英语书的概率为( ) A. B. C. D. 解析: 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、宁波九校期末这道教材课后改编题 二、合肥一中一题带你搞懂贝叶斯公式 三、新教材中的全概率与贝叶斯 四、什么是条件概率? 五、什么是全概率公式? 六、贝叶斯公式又是什么? 七、事件独立性的概念你真的懂吗？ 八、全概率与贝叶斯应用举例 九、模考中的全概率与贝叶斯 一、宁波九校期末这道教材课后改编题 【浙江宁波九校 25 届高二期末 T19】在一个抽奖游戏中, 有编号为 1, 2, 3 的三个外观相同的空箱子,现随机选择一个箱子放入一件奖品,然后让抽奖人随机选定一个箱子. 某次游戏, 在抽奖人打开箱子前, 主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子,发现是空箱,此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子. 记事件 为抽奖人第一次选中的是空箱,事件 为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子,抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子,抽奖人不换箱子中奖的概率； ( 3 )如果主持人知道内情的概率为 ,抽奖人不换箱子中奖的概率. 解析: (1)如果主持人知道内情,则他必然打开空箱子, ,则 因为 所以 独立 所以 说明不换箱子不中奖的概率是 ,不换箱子中奖的概率是 ,于是,换箱子中奖的概率是 。 (2)如果主持人不知道内情, ,所以 说明换箱子与不换箱子中奖概率都是 . ( 3 )如果主持人知道内情的概率为 ,事件 表示主持人知道内情,则 又 设 所以 因此 说明不换箱子不中奖的概率 二、合肥一中一题带你搞懂贝叶斯公式 【合肥一中 25 届高三预测卷 T19】合肥一中 2025 年元旦联欢会上一个抽奖游戏,主持人从编号为 的 个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将 个箱子关闭. 主持人知道奖品在哪个箱子里. 游戏规则是主持人请抽奖人在 个箱子中选择一个,若奖品在此箱子里, 则奖品由抽奖人获得. 抽奖人当然希望选中有奖品的箱子! 假定你是抽奖人, 不妨设你选择了 号箱. 在打开 号箱之前,主持人先打开了另外 个箱子中的一个空箱子. 按游戏规定, 主持人打开你的选择之外的空箱子, 当你的选择之外有多个空箱子时, 主持人随机选择其中一个打开. (1)若 ,不妨设主持人打开的是 3 号箱. 现在给你一次重新选择的机会,你是坚持选 1 号箱, 还是改选 2 号箱? 试说明理由; (2)若 ,不妨设主持人打开的是 3 号箱. 现在给你一次重新选择的机会,你是坚持选 2 号箱, 还是改选其他号码的箱? 试说明理由; ( 3 )切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一,其形式如下: 设随机变量 的期望 和方差 存在,则对任意的 ,有 . 若 ,设主持人打开箱的号码为随机变量 ,求 的期望 和方差 ,并验证随机变量 满足切比雪夫不等式. 解析: (1)记 、 、 分别表示1、2、3号箱子里有奖品, 、 、 分别表示主持人打开 1、2、3 号箱子. 由题意知你初次选择了 1 号箱. 因为你在做选择时不知道奖品在哪个箱子里,你的选择不影 响奖品在三个箱子中的概率分配,所以事件 的概率仍为 ,此为先验概率. 主持人打开 1 号箱之外的一个空箱子, 有以下几种可能情况: ① 奖品在 1 号箱里,主持人可打开 2、3 号箱,故 ② 奖品在 2 号箱里,主持人只能打开 3 号箱,故 ③ 奖品在 3 号箱里,主持人只能打开 2 号箱,故 利用全概率公式, 主持人打开 3 号箱的概率为 再根据贝叶斯公式, 在 3 号箱打开的条件下, 1 号箱和 2 号箱里有奖品的条件概率分别为 所以改选 2 号箱, 因为这样会增加中奖的概率. (2)记 分别表示 号箱子里有奖品,用 分别表示主持人打开 号箱子. 所以 故由全概率公式可得主持人打开 3 号箱的概率为 再根据贝叶斯公式可知,在 3 号箱打开的条件下,2 号箱和 号箱里有奖品的条件概率分别为 且 所以改选 2 号、 3 号以外的箱, 因为这样会增加中奖的概率. (3) (暂略,） 三、新教材中的全概率与贝叶斯 全概率和贝叶斯公式这部分内容在人教版新教材选择性必修第三册第 49-55 页,是新教材新引入的内容！ 7.1.2 全概率公式 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时, 我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果, 然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 下面, 再看一个求复杂事件概率的问题. 思考 从有 个红球和 个蓝球的袋子中,每次随机摸出 1 个球,摸出的球不再放回. 显然,第 1 次摸到红球的概率为 . 那么第 2 次摸到红球的概率是多大? 如何计算这个概率呢? 因为抽签具有公平性, 所以第 2 次摸到红球的概率也应该是 . 但是这个结果并不显然, 因为第 2 次摸球的结果受第 1 次摸球结果的影响. 下面我们给出严格的推导. 图 7.1-2 用 表示事件 “第 次摸到红球”, 表示事件 “第 次摸到蓝球”, . 如图 7.1-2 所示,事件 可按第 1 次可能的摸球结果 (红球或蓝球) 表示为两个互斥事件的并,即 . 利用概率的加法公式和乘法公式, 得 上述过程采用的方法是: 按照某种标准, 将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并, 再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 一般地,设 是一组两两互斥的事件, ,且 ,则对任意的事件 ,有 我们称上面的公式为全概率公式 (total probability formula). 全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 计算在 发生的条件下,事件 发生的概率. 类似地, 可得 思考 例 5 中 的实际意义是什么? 是试验之前就已知的概率,它是第 台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率. 当已知抽到的零件是次品 是这件次品来自第 台车床加工的可能性大小, 通常称为后验概率. 如果对加工的次品, 要求操作员承担相应的责任, 那么 就分别是第1,2,3台车床操作员应承担的份额. 将例 5 中的问题 (2) 一般化, 可以得到贝叶斯公式. 贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T. Bayes, 1702-1761)发现的, 它用来描述两个条件概率之间的关系. * 贝叶斯公式 (Bayes formula): 设 是一组两两互斥的事件, ,且 ,则对任意的事件 , ,有 例 6 在数字通信中, 信号是由数字 0 和 1 组成的序列. 由于随机因素的干扰, 发送的信号 0 或 1 有可能被错误地接收为 1 或 0 . 已知发送信号 0 时, 接收为 0 和 1 的概率分别为 0.9 和 0.1 ; 发送信号 1 时, 接收为 1 和 0 的概率分别为 0.95 和 0.05 . 假设发送信号 0 和 1 是等可能的. (1)分别求接收的信号为 0 和 1 的概率； 图 7.1-4 * (2) 已知接收的信号为 0 ,求发送的信号是 1 的概率. 分析: 设 “发送的信号为0”, “接收到的信号为 0 ”. 为便于求解, 我们可将题目中所包含的各种信息用图 7.1-4 直观表示. [footnoteRef:2] [2: 标有 号的内容为选学内容,不作考试要求.] 解: 设 “ 发送的信号为0”, “接收到的信号为0”,则 “发送的信号为 1”, “接收到的信号为 1”. 由题意得 (1) , (2) . 练习 1. 现有 12 道四选一的单选题, 学生张君对其中 9 道题有思路, 3 道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为 0.9 , 没有思路的题只好任意猜一个答案, 猜对答案的概率为 0.25 . 张君从这 12 道题中随机选择 1 题, 求他做对该题的概率. 2. 两批同种规格的产品,第一批占 ,次品率为 ; 第二批占 ,次品率为 . 将两批产品混合, 从混合产品中任取 1 件. (1)求这件产品是合格品的概率； * (2) 已知取到的是合格品, 求它取自第一批产品的概率. 习题 7.1 复习巩固 1. 为了研究不同性别学生患色盲的比例, 调查了某学校 2000 名学生, 数据如右表所示. 从这 2000 人中随机选择 1 人. 单位: 人 性别 色盲 非色盲 合计 男生 60 1140 1 200 女生 2 798 800 合计 62 1938 2000 (1)已知选到的是男生,求他患色盲的概率; (2)已知选到的学生患色盲,求他是男生的概率. 2. 从人群中随机选出 1 人,设 “选出的人患有心脏病”, “选出的人是年龄大于 50 岁的心脏病患者”,请你判断 和 的大小关系,并说明理由. 3. 甲、乙两人向同一目标各射击 1 次,已知甲命中目标的概率为 0.6 ,乙命中目标的概率为 0.5 . 已知目标至少被命中 1 次, 求甲命中目标的概率. 4. 甲和乙两个箱子中各装有 10 个球, 其中甲箱中有 5 个红球、 5 个白球, 乙箱中有 8 个红球、 2 个白球. 掷一枚质地均匀的骰子, 如果点数为 1 或 2 , 从甲箱子中随机摸出 1 个球; 如果点数为3,4,5,6,从乙箱子中随机摸出 1 个球. 求摸到红球的概率. 5. 在 三个地区暴发了流感,这三个地区分别有 的人患了流感. 假设这三个地区的人口数的比为 ,现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率； (2) 如果此人患流感,求此人选自 地区的概率. 6. 已知 ,证明: . 综合运用 7. 一批产品共有 100 件, 其中 5 件为不合格品. 收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验, 并按以下规则判断是否接受这批产品:如果抽检的第 1 件产品不合格,则拒绝整批产品；如果抽检的第 1 件产品合格, 则再抽 1 件, 如果抽检的第 2 件产品合格, 则接受整批产品, 否则拒绝整批产品. 求这批产品被拒绝的概率. 8. 在孟德尔豌豆试验中,子二代的基因型为 ,其中 为显性基因, 为隐性基因, 且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行随机交配,那么子三代中基因型为 的概率是多大? 9. 证明条件概率的性质 (1) 和 (2). 拓广探索 10. 证明: 当 时, . 据此你能发现计算 的公式吗? 阅读与思考 贝叶斯公式与人工智能 人工智能(Artificial Intelligence,缩写为 AI)是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学,目的是理解人类智能的实质,并制造以近似人类智能方式工作的机器, 如机器人、语言识别、图像识别、自然语言处理、自动驾驶等. 人工智能被认为是 21 世纪最重要的尖端科技之一, 其理论和技术正在日益成熟, 应用领域也在不断扩大. 人工智能理论背后的一个基本原理就是本节的贝叶斯公式. 贝叶斯公式的思想最早出现于贝叶斯的论文 《论有关机遇问题的求解》, 发表于他去世后的 1763 年. 后来法国数学家拉普拉斯(P.-S. Laplace,1749-1827) 独立地发现了这个公式. 统计学家经过长期的努力,发展出了以贝叶斯公式为基础的系统的推理和决策方法, 称为贝叶斯方法. 该方法的基本程序是首先确定先验概率, 然后利用贝叶斯公式计算得到后验概率, 使先验概率得到修正和校对, 再根据后验概率作出推理和决策. 下面用一个例子说明这种方法. 在一个抽奖游戏中, 主持人从编号为 1, 2, 3 的三个外观相同的空箱子中随机选择一个, 放入一件奖品, 再将三个箱子关闭. 主持人知道奖品在哪个箱子里. 游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个, 若奖品在此箱子里, 则奖品由抽奖人获得. 抽奖人当然希望选中有奖品的箱子! 假定你是抽奖人,不妨设你选择了 1 号箱. 在打开 1 号箱之前, 主持人先打开了另外两个箱子中的一个空箱子. 按游戏规定, 主持人只打开你的选择之外的空箱子, 当两个都是空箱子时, 他随机选择其中一个打开. 不妨设主持人打开的是 3 号箱. 现在给你一次重新选择的机会, 你是坚持选 1 号箱, 还是改选 2 号箱? 显然, 由于随机性, 你无法保证一定能够成功选中有奖品的箱子. 因此, 要不要改变选择是个风险决策问题, 应以得到奖品的概率最大为准则. 对于是否应改选 2 号箱, 人们有如下几种不同的观点: (1) 三个箱子中有奖品的概率都是 ,不必换号; (2) 既然 3 号是空箱,那么奖品在 1 号箱、 2 号箱中的概率都是 ,不必换号; (3) 奖品在 1 号箱中的概率是 ,当知道 3 号是空箱后,2 号箱中有奖品的概率就变为 ,应该改选 2 号. 哪种观点是正确的呢? 下面用两种方法进行分析: 分析 1: 选择 1 号箱,其中有奖品的概率为 ,无奖品的概率为 . 主持人打开了无奖品的 3 号箱, 若决策是不换号, 则你在 1 号箱里有奖品的情况下得奖, 成功的概率为 ; 若决策是换号,则你在 1 号箱里无奖品的情况下得奖,成功的概率为 . 所以改选 2 号是正确的决策. 分析 2:利用全概率公式和贝叶斯公式, 可以从条件概率的角度进行分析. 用 分别表示 1,2,3 号箱子里有奖品,用 分别表示主持人打开 1,2,3 号箱子. 如上所述,你初次选择了 1 号箱. 因为你在做选择时不知道奖品在哪个箱子里, 你的选择不影响奖品在三个箱子中的概率分配, 所以事件 的概率仍为 ,此为先验概率. 主持人打开 1 号箱之外的一个空箱子,有以下几种可能情况: 奖品在 1 号箱里,主持人可打开 2,3 号箱,故 ; 奖品在 2 号箱里,主持人只能打开 3 号箱,故 ; 奖品在 3 号箱里,主持人只能打开 2 号箱,故 . 利用全概率公式, 主持人打开 3 号箱的概率为 再根据贝叶斯公式, 在 3 号箱打开的条件下, 1 号箱和 2 号箱里有奖品的条件概率分别为 这两个条件概率是后验概率, 它们修正了前面的先验概率. 通过比较后验概率不难发现, 改选 2 号箱是正确的决策. 现在想一想, 观点 (1) 和观点 (2) 错在哪里? 前面分析 1 给出的方法简单直接, 也比较容易理解, 但是分析 2 中基于贝叶斯公式的方法具有更广泛的适用性. 事实上, 只要把三个箱子改为四个或更多, 主持人还是每次打开一个空箱子, 此时再用分析 1 中的方法就比较复杂了. 利用贝叶斯公式的方法可以发现, 对于上述多个箱子的抽奖游戏, 在你第 1 次选择后,当主持人打开此外的一个空箱子,并给你重新选择的机会时,你同样可以通过改变选择提高成功的概率. 而且, 假如在你第 2 次选择后, 主持人又打开此外的一个空箱子,并再次给你重新选择的机会时,你仍然应该改变自己的选择,以获得更大的成功概率. 因此, 这个策略也适用于多次选择的情况. 事实上, 在上述多次选择的游戏中, 主持人每打开一个空箱子都提供了新的有用信息, 抽奖人需要不断根据这些信息, 利用贝叶斯公式计算出(新的)后验概率, 并据此修正自己的选择以提高成功的概率. 这种不断改进和校正决策的过程非常近似于人类的学习和思维模式, 也是贝叶斯方法许多应用的关键. 正是由于这个特点, 贝叶斯方法在人工智能领域发挥了非常重要的作用, 已经成为学习型人工智能的理论基础. 曾经被人们津津乐道的围棋人工智能系统阿尔法围棋(AlphaGo)系列就是学习型人工智能成功应用的典型例子. 在战胜人类高手之前, 阿尔法围棋结合人类自古以来积累的数百万部棋谱, 进行了几个月的自我学习训练, 最终超越了世界顶尖棋手. 作为阿尔法围棋的升级版, 阿尔法元 (AlphaGo Zero) 则不再需要人类积累的围棋数据, 它通过自我博弈进行学习. 经过几天的训练后, 阿尔法元就轻松地击败了此前所有版本的阿尔法围棋. 阿尔法元之所以有如此强大的自学能力, 是因为采用了一种叫做强化学习的新模式. 它从一个对围棋技术一无所知的神经网络开始,结合一个强力搜索算法, 在自我对弈中调整升级, 循环往复, 不断提高, 在几天内就走完了人类几千年的围棋历史, 并探索出了不少新的招法和策略. 人们认为, 围棋人工智能系统象征着计算机技术已进入人工智能的新信息技术时代,其特征就是大数据、大计算、大决策,三位一体. 贝叶斯方法在当今最先进的科技领域中扮演着重要角色,你是否感到非常神奇？是否觉得现在的学习很有意义? 请你上网查阅有关资料, 进一步了解人工智能方面的最新发展. 四、什么是条件概率? 定义: 设有随机试验 及事件 ,若 则称 为 在 发生的条件下的条件概率. 同理, 可定义 可以验证这样定义的条件概率满足概率公理化定义中关于概率的三个条件条件。概率引进的角度是基于事件发生之间的影响关系构造的。该定义同时也给出了条件概率的计算方法,事实上该定义式可启发人们从两个方面求 . 一方面从基于 、 原有的样本空间出发,通过计算 ,再由 求出 . 另一方面就 、 而言,可视 为一个缩小的样本空间,记为 ,在此样本空间上,只要求出 为原来定义下的 . 注,概率公理化定义: 设 是样本空间 上的一个 域, 是 上定义的实函数, 且 满足: (1) (2) (对一切的 ) (3)若 ,且两两互不相容,有 成立,则称 是 上的一个概率, 称为事件 发生的概率. 通常将 称为一个概率空间,性质 (3) 称为概率的 可加性 (可列可加性). 这是柯尔莫哥洛夫(Kolmogoroo)建立的概率公理化定义, 使得概率成为了一个严谨的数学分支,极大地推动了学科发展,细心的同学们会发现上述定义的基本作用在于判断 是否构成 上的一个概率。 [footnoteRef:3] [3: 考虑由 及 可得乘法公式] 这个公式可推广到 个事件 的场合: 事实上条件概率可认为是一种相对率,在 中当 时, ,故通常事件的概率可看成是条件概率的特例. 下面给一个条件概率的典型例子, 供同学们更好的理解条件概率, 【典例 1】设加工产品 20 件,其中有 15 件一等品 5 件二等品, 一等品, 二等品混放, 现随机取两件, 每次取一件, 共两次, 不放回抽样。求在第一次取到一等品的条件下第二次仍取到一等品的概率。 解析: 记 第一次取到一等品 第二次取到一等品 ① 在原样本空间下下计算, ② 在缩减的样本空间下计算,得 五、什么是全概率公式? 首先, 先给出空间划分的定义, 定义: 设 为样本空间,若存在 ,且 , 及 ,则称 构成对 的一个划分. 进而可以给出全概率公式的定义, 全概率公式: 设 为 的一个划分且 ,则对于任意的 ,有 全概率公式的意义在于当 的构成较复杂时,可通过对 引人某种合适的划分,在这种划分下可将 分解为一系列局部的较为简单的事件,在计算 出这些局部的事件的概率后,再通过全概率公式求出 . 当然,若有 ,又找到 的有效划分 ,则上述全概率公式仍成立. 下面给出一个全概率公式应用的例子, 【典例 2】设有一矿工被困井下,他可以等可能性地选择三个通道之一逃生。若矿工通过第一个通道逃生成功的可能性为 ,通过第二个通道逃生成功的可能性为 ,通过第三个通道逃生成功的可能性为 。问此矿工逃生成功的可能性是多少? 解析: 记 矿工逃生成功 矿工选择第 个逃生通道 ,则 六、贝叶斯公式又是什么? 人们通常见到诸如这样的广告:购买某产品, 它将会给你带来某效用; 或听到这样的承诺: 投资某产品或投资某地,你的回报率将是多少。但如果人们问一个反问题: 我要求回报率达到多少应投资何产品或在何地投资呢? 或者我要求达到某效用应购买何产品呢? 显然这样的反问题是很有意义的。下面介绍的贝叶斯公式就是这类问题在概率中的相应模型, 贝叶斯公式: 设 为 的一个划分,且 ,对任意随机事件 ,当 时,则有 一般称 为先验概率,就是做试验前的概率,简单说就是经验; 为后验概率,在统计决策中十分重要,由此得到的决策叫做贝叶斯决策。也就是说我们在对经验不断地更新和修正, 当然是利用生活实践, 即所谓试验。 下面给出两个个全概率公式应用的例子, 以帮助同学们理解 【典例 3】在【典例 2】中,求 . 解析: 【典例 4】设某医生面临某患者,该患者呈状态 . 医生试图据此判断该患者是否患疾病 . 医生有如下经验认识: ,人群中患疾病 的率 . 医生所接触的患者中有状况 的概率 。现要求 . 解析: 细心的同学们可看出 比 大 7 倍,这表明先验概率 与后验概率 往往差距很大,有些事情不能只简单地依靠经验决策,需要多利用实践实验来帮助决策, 也就是实践是检验真理的唯一标准! 七、事件独立性的概念你真的懂吗？ 条件概率揭示了事件发生之间的关系在概率让算方面的影响。这种关系对于概率模型及实际问题的分析研究是很有意义的。但有些情形, 随机事件的发生相互之间没有影响关系或者影响关系很弱也是有价值的。例如, 某时刻在甲国某地区发生了一次汽车交通事故, 这个事故对乙国的火车交通的安全性的影响可能就很弱。再如某国在 1000 年前的某月某日在某地区下了一场雨, 那么这场雨对 1000 年后该地区的某月某日的气象不可能造成什么影响。这样的问题我们引入事件独立性的概念来刻画. 两事件独立定义: 设事件 满足 则称 与 独立. 由定义可知,当 与 独立时 与 也独立,故称之为 与 相互独立简称 与 独立. 同学们可能会马上想象,若 ,那么 也应该相互独立,但这是不全面的,不准确的. 事实上, 相互独立应同时满足 个事件独立定义: 对于 个事件 ,若同时满足 另外, 由独立性的概念可得如下定理成立. 定理 1: 设 则 与 相互独立的充要条件为 利用事件的独立性概念可知, 当事件独立时可大大简化积事件概率的计算。例如,我们要求 且 较大时,直接计算是困难的. 若 , 相互独立,则 其实在使用该方法时需知道如下定理: 定理 四对事件中若有一对相互独立,则其余三对相互独立. 下面给出一个具体的例子, 来帮助同学们理解事件独立性, 【典例 5】一个家庭中有若干小孩,假设生男和生女等可能,令 A = {一个家庭中有男孩,又有女孩} B = {一个家庭中最多有一个女孩} 在家中分别有两个或三个小孩时,讨论 与 的独立性。 解析: ① 家庭中有两个小孩: 记 与 不独立. ② 家庭中有三个小孩: 与 独立. 八、全概率与贝叶斯应用举例 以下再给出三个难度稍大的例题,主要是全概率公式、贝叶斯公式的应用, 【典例 6】某厂每天早上需调整机器, 由经验可知, 机器调整正确的概率为 0.8 . 调整不正确的概率为 0.2 ; 又已知在机器调整正确时产品合格率为 0.9 , 调整不正确时合格率为 0.5 . 现在从当天生产的产品中任取 3 件, 结果是: (合格, 合格, 不合格), 求该天机器调整正确的概率。若任取 3 件中有一件不合格,其他条件不变,该天机器调整正确的概率是多少? 解析: 设机器调整正确为事件 ,设 第 件是件合格品 , 记(合格,合格,不合格)为事件 ,则 记任取三件有一件不合格为事件 ,则 根据全概率公式 题目要求 再根据贝叶斯公式有 第二问要求 题目要求 再根据贝叶斯公式有 【典例 7】一台设备由 10 个元件组成, 在保修期间, 每个元件的失效率为 0.05, 各元件是否失效是相互独立的,若有一个元件失效,设备不能使用的概率为 0.5 , 若有两个元件失效,设备不能使用的概率是 0.8 ,若有三个或者三个以上的元件失效,设备一定不能使用。 (1)求设备在保修期内不能使用的概率； (2)已知设备不能使用,求是一个元件失效的概率。 解析: (1)完备事件组:设有 个元件失效为事件 ； 3 个及 3 个以上失效为事件 . 应用伯努利试验概率有 从而 设设备在保修期内不能使用为事件 ,题目要求 ,依照题意: 应用全概率公式, 可得: (2)题目要求 ,利用贝叶斯公式可得: 【典例 8】设某种产品 50 件为一批,如果每批产品中有0,1,2,3,4件次品的概率分别为0.35,0.25,0.2,0.18,0.02,今从某批产品中抽取 10 件,查出一件次品,求该批产品中次品不超过 2 件的概率。 解析: 设 一批产品中有 件次品 , B = {任抽 10 件检查出一件次品} 则有 而 则求 ,由全概率公式 依照题目要求,要计算 根据贝叶斯公式可得 九、模考中的全概率与贝叶斯 【湖南新高考教学教研联盟 24 届高三一联 T19】2023 年 10 月 11 日,中国科学技术大学潘建伟团队成功构建 255 个光子的量子计算机原型机“九章三号”,求解高斯玻色取样数学问题比目前全球最快的超级计算机快一亿亿倍,相较传统计算机的经典比特只能处于0态或 1 态,量子计算机的量子比特 (qubit) 可同时处于0与1的叠加态,故每个量子比特处于 0 态或 1 态是基于概率进行计算的. 现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特, 且自旋状态只有上旋与下旋两种状态,其中下旋表示 “ 0 ”,上旋表示 “ 1 ”,粒子间的自旋状态相互独立,现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后, 粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋, 再输入第二道逻辑门后, 粒子的自旋状态有户的概率发生改变, 记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为 . (1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为 2 ,且 ,求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为 2 的概率 (2)若一条信息有 种可能的情况且各种情况互斥,记这些情况发生的概率分别为 则称 (其中 )为这条信息的信息熵,试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为 的信息熵 (3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门, 当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输人, 否则 重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子, 设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数 为 证明: 当 无限增大时, 的数学期望趋近于一个常数 参考公式: 时, . 解析: (1)设 “两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为 个”, . 设 “两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为 2 个” 则 则 注: 红色部分即为贝叶斯公式 (2)由题意得 可能取值有0,1,2 则 的分布列为 故 的信息熵为 注: 设随机变量 所有取值为 ,定义 的信息熵为 , . ( 3 )由题意得 ,其中 记 , 所以 注:(1)其实是贝叶斯公式的应用；(2)就是信息熵；(3)则是求几何分布的期望, 其期望就是 ,另外在求期望过程中利用的是差比数列裂项法。 【河北石家庄 24 年高二下期末 T8】某货车为某书店运送书籍, 共 10 箱, 其中 5 箱语文书、 3 箱数学书、 2 箱英语书. 到达目的地时发现丢失一箱, 但不知丢失哪一箱. 现从剩下的 9 箱书中随机打开 2 箱, 结果是 1 箱语文书、 1 箱数学书, 则丢失的一箱是英语书的概率为( ) A. B. C. D. 解析: 记事件 : 从剩下的 9 箱书中随机打开 2 箱,结果是 1 箱语文书、 1 箱数学书记事件 丢失的一箱是语文书; 事件 丢失的一箱是数学书; 事件 丢失的一箱是英语书 则 由贝叶斯公式可得 故选 B 学科网（北京）股份有限公司 $$