浙江省绍兴市绍初教育集团2024-2025学年七年级下学期期末测试数学试卷

2024-2025学年浙江省绍兴市绍初教育集团七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开”.若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为    A. B. C. D. 3.2025年1月20日，中国模型发布，模型以低成本、开源特性打破美国AI垄断，性能比肩ChatGPT，推动全球AI技术平民化，如图为中国Deepseek的Logo，在下列选项中，能由此Logo通过平移得到的是(    ) A. B. C. D. 4.分式可变形为(    ) A. B. C. D. 5.甲、乙两家公司去年上半年的盈利情况统计图如图所示，下列结论不正确的是(    ) A. 1到3月份，乙公司的利润在上涨 B. 上半年甲公司的利润一直在下降 C. 3月份时两家公司获得的利润一样 D. 7月份乙公司的利润一定比甲公司多 6.如图，一束平行于主光轴的光线a经凸透镜后，光线的传播方向发生改变，其与一束经过光心O的光线此光线的方向不发生改变相交于点P，与主光轴交于点若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站.设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意可列出的方程是(    ) A. B. C. D. 8.下表出示两个关于x，y的二元一次方程的部分解，则的值为(    ) 的解 的解 x 0 …… x 0 …… y 1 3 5 …… y 4 3 2 …… A. B. C. D. 9.已知关于x的分式方程无解，则m的值是(    ) A. 或 B. 0或3 C. 或3 D. 或0 10.设，，，，其中，，给出以下结论： ①当时，； ②不论t为何值， 则下列判断正确的是(    ) A. ①，②都对 B. ①，②都错 C. ①对，②错 D. ①错，②对 二、填空题：本题共8小题，共18分。 11.要使分式有意义，则x的取值范围是          . 12.若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为______. 13.在英文句子“Happy National Day”中，字母“a”出现的频率为______. 14.若，且，则的值等于______. 15.定义一种新运算：a☆，若m☆，则______. 16.学习了平行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是______把所有正确的序号填上 ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，内错角相等； ③同旁内角互补，两直线平行； ④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行. 17.已知方程组的解是，则方程组的解是______. 18.如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂在C的左侧，伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，当，时，______度；如图3为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，则这时______度 三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题6分 计算：； 因式分解： 20.本小题6分 解方程组： ； 21. (8分)共享单车是一种新型环保交通工具，为市民的出行带来了极大的方便，某市中学生 对市民共享单车的使用情况进行了问卷调查，并将这次调查情况整理、绘制成如下两幅统计 图（部分信息未给出）. 根据图中的信息，解答下列问题： (1)这次活动中接受问卷调查的市民共有__名； (2)补全条形统计图，并计算扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角的度数； (3)根据统计结果，若该市市区有80万名市民，请估计其中利用共享单车“外出游玩”的 人数。 22.本小题8分 如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，， 求证：； 若，，求的度数. 23.本小题8分 阅读理解： 在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即例如，比较整式和4x的大小关系，因为，所以请类比以上的解题过程，解决下列问题： 【初步尝试】比较大小：______2x；______ 【知识应用】比较整式和的大小关系，并请说明理由. 【拓展提升】比较整式和的大小关系，并请说明理由. 24.本小题8分 根据如表素材，探索完成任务. 背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品. 素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元. 素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料. 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶两种都要，刚好花220元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的 则其中B型加料的奶茶买了多少杯？ 25.本小题8分 光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理． 提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，，求的度数； 自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回如图②，a表示入射光线，b表示反射光线，平面镜AB与BC的夹角，求 如图③，若，设平面镜CD与BC的夹角，入射光线a与平面镜AB的夹角为，已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出的度数．可用含x的代数式表示 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：原式，故本选项不符合题意； B..原式不能合并同类项，故本选项不符合题意； C.原式，故本选项不符合题意； D.原式，故本选项符合题意． 故选： 根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方进行计算即可． 本题主要考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】 解：， 故选 3.【答案】D  【解析】解：能由原图平移得到的是 故选： 根据平移的性质，图形只是位置变化，其形状与方向不发生变化进而得出即可． 本题考查了利用平移设计图案，解题的关键是理解平移变换的定义． 4.【答案】D  【解析】解： 故选： 根据分式的基本性质即可求得答案． 本题考查分式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 5.【答案】D  【解析】解：由图可得． 1到3月份，乙公司的利润在上涨，故选项A说法正确，不符合题意； 上半年甲公司的利润一直在下降，故选项B说法正确，不符合题意； 3月份时两家公司获得的利润一样，故选项C说法正确，不符合题意； 7月份乙公司利润可能比甲的多，可能一样，也可能比甲少，故选项D说法错误，符合题意； 故选： 根据折线统计图中的信息，可以判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 本题考查折线统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6.【答案】D  【解析】解：，， ， 光线与凸透镜的主光轴平行， ， 故选： 由三角形的外角性质得到，由平行线的性质推出，即可求出的度数． 本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出 7.【答案】A  【解析】解：由题意可得， ， 故选： 根据题意可知：实际运送天数原计划运送天数，然后列出相应的分式方程即可． 本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意列出方程是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：将，代入， 得， 将，代入， 得， 将代入， 得， 解得， 将，代入， 得， 将，代入， 得， 将代入， 得， ， 故选： 代入两组解到方程，求出a和m的值，代入两组解到方程，求出b和n的值，即可求出的值． 本题考查了二元一次方程组的解，将解代入求参数是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】【分析】 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于 此题考查了分式方程无解问题，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【解答】 解：两边都乘以，得：， 整理，得：， 解得， ①当，即时整式方程无解，即分式方程无解， ②关于x的分式方程无解， 或， 即，解得 的值是或 故选： 10.【答案】C  【解析】解：①由题意知，， 所以²，即²， ²²²²²，故①正确． ②当时，，，则，此时无意义，故②不正确． 故选： ①结合平方差公式可得²，从而通过配方²²²代入数据求出； ②当时求出，所以所给式子此时不成立，即可判断． 本题主要考查了平方差公式和完全平方公式．本题的关键是结合整体的思想，对已知式子和所求式子进行化简整理． 11.【答案】  【解析】解：分式有意义， ，即 故答案为： 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 12.【答案】2  【解析】解：多项式不含x项， ， 解得 故答案为： 先把多项式展开后合并，然后令x项系数等于0，再解方程即可． 本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 13.【答案】  【解析】解：由题意得：字母“a”出现的频率， 故答案为： 根据频率=频数总次数进行计算，即可解答． 本题考查了频数与频率，熟练掌握频率=频数总次数是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：， ， 故答案为： 用y表示出5x，然后代入比例式进行计算即可得解． 本题考查了比例的性质，用y表示出5x求解更简便． 15.【答案】6  【解析】解：由新定义可得， 方程两边乘，得， 解得， 检验：， 原方程的解是 故答案为： 根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解． 本题考查了新定义运算，解分式方程，理解新定义运算是解题的关键． 16.【答案】①③  【解析】解：如图， 第一次折叠后，得到的折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直； 将正方形纸展开，再进行第二次折叠如图所示，得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直； ，， ， ， 同位角相等，两直线平行， ， 内错角相等，两直线平行， ， 同旁内角互补，两直线平行 故答案为：①③． 根据折叠可直接得到折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件判定求解即可． 此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理． 17.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是整体和转化思想的运用．根据二元一次方程组的解确定变形后方程组的解即可． 【解答】 解：方程组转化为； 由恒等式意义，得， ，， 方程组的解为 故答案为 18.【答案】125，168  【解析】解：在图2中，延长CB，HG，相交于点K，如图所示： ，， ， ， ， ； 在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得，延长AB交FE的延长线于点Q，如图所示： 平行FH，， ， 延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直， ， ，； ， 故答案为：125， 在图2中，延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可得，再利用，可得的度数，从而可求的度数； 在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得，从而求得的度数． 本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出正确的辅助线． 19.【答案】解：原式 ； 原式   【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值； 原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20.【答案】解：， ②①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 所以方程组的解是； ， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解是  【解析】②①得出，求出y，再把代入②求出x即可； 方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 本题考查了解分式方程和解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键． 21. 【答案】 100，   4万 22.【答案】     【解析】证明：点E、F在直线AB上，ED与FG交于点H，， ， ， 又， ， ； 解：由知， ， ，， ， 先证明，则，所以，再由平行线的判定即可求证； 根据平行线的性质得出，由角度和差得出，最后再由对顶角相等即可求解． 本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 23.【答案】    【解析】解：【初步尝试】 ， ， ； ， ， ， 故答案为：，； 【知识应用】，理由如下： ， ； 【拓展提升】 ， ，， ， 【初步尝试】运用作差法，把两式相减，化成完全平方形式，利用偶次方的非负性，判断大小； 【知识应用】运用作差法把两式相减，化简整理后，转化为完全平方形式，再比较大小； 【拓展提升】两式相减，把拆成，构成两个完全平方式的和，比较大小即可． 本题考查了作差法比较大小，完全平方公式的应用，正确运算，熟练掌握相关公式解题的关键． 24.【答案】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或或， 有3种购买方案； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， 、b、均为正整数， ， ， 答：B款加料的奶茶买了3杯．  【解析】任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶两种都要，刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程． 25.【答案】解：平面镜反射原理反射角等于入射角， ， ， ， ； 如图②：过点P作，，相交于点G， 平面镜反射原理反射角等于入射角， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 又有， ， 即 若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E， 由知，， ， ， ； 若经过三次反射标记各反射点，如图③所示，作， ， ， ，， ， ， ， 则， 由， 得， 综上，角的度数为或  【解析】【分析】本题主要考查平行线的知识，熟练掌握平面镜反射原理反射角等于入射角是解题的关键． 根据平面镜反射原理反射角等于入射角可知：，即可解决问题； 根据平面镜反射原理反射角等于入射角，由光线，可知，推出，进而可求得 分两次反射和三次反射进行讨论，两次反射的情况可利用结论；三次反射的情况画图进行分析即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$