四川省凉山州2024-2025学年高二下学期期末统一检测数学试题

一、单项选择题（共 8个小题，每小题 5分，共 40分.在每小题的选项中，只有一项是符合题目 要求的.） 1援 设集合 A= x x<a嗓 瑟，B= -2,-1,0,1,2嗓 瑟，若集合 A疑B中有且仅有 2 个元素，则实数 a 的取值 范围为（银） A援 (-1,0) B援 (0,1] C援 (-1,0] D援 [-1,0) 2援 若 cos 琢=2sin 琢，则 sin2琢 =（银） A援 依 2姨4 B援 45 C援 依 23 D援 35 3. 设 z= 1-i ,则 z =（银） A援 -i B援 i C援 1 D援 -1 4援 在(x- yx )6 的展开式中，x2y2 的系数为（银） A援 30 B援 15 C援 -15 D援 -30 5援 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，且 an+1=a1+a2+…+an(n沂N*)，则（银） A援 a2=2 B援 an=2n-1 C援 S2=2 D援 Sn=2n-1 6援 若直线 l:x+y-m=0(m>0)被圆 C:(x-1)2+(y+1)2=4 截得的弦长为 2 2姨 ，则 m=（银） A援 依2 B. 2姨 C. 2 D. 2 2姨 7援 已知函数 f(x)=sin(棕x+渍)+ 3姨 cos(棕x+渍)(棕跃0，渍 约仔2 )的图象关于原点对称，且与直线 y=1 的 所有交点中，最近的两点间的距离为 仔3 ，则下列说法正确的是（银） A援 f(x)=f(x+仔2 ) B援 f(0)<f(仔2 ) C援 f(仔3 ) =1 D援 f(x)+f(仔-x)=0 高二数学 第 1 页（共 4 页） 第 玉 卷 （选择题 共 58分） 全卷共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡 上，并检查条形码粘贴是否正确。 2. 选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔 书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 3. 考试结束后，将答题卡收回。 凉山州 2024—2025 学年度下期期末统一检测高二年级试题 数 学 丨 8援 已知函数 f(x)=1n( x -1)+ex+e-x，则使不等式 f(x-1)<f(2x)成立的 x 的取值范围是（银） A援(-肄，-1)胰(2,+肄) B援 (-1,1) C援( -肄,-2)胰(-1,+肄) D援 (-肄，-2)胰(1,+肄) 二、多项选择题（共 3个小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合 题目要求.） 9援 下列命题正确的是（银） A. x1,x2,x3…xn 是一组样本数据，去掉其中的一个最大数和一个最小数后，剩下的数的中位数 不一定等于原样本的中位数 B援 若事件 A,B 相互独立，且 P(A )>0，P(B)>0，则事件 A,B 不互斥 C援 若随机变量 X~N(0,22)，Y~N(0,32)，则 P( X 臆2)>P( Y 臆2) D援 若随机变量 X 的方差 D(X)=10，期望 E(X)=4，则随机变量 Y=X2 的期望 E(Y )=16 10援 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)=(x2-8)ex+8，则（银） A. f(0)=0 B援 f(x)有两个极值点分别为 x=-2或 x=2 C援 当 x>0时，f(x)=(8-x2)e-x-8 D援若 f(x)臆8，则解集为 -2 2姨 ,2 2姨蓘 蓡 11援 双曲线 C：x2a2 -y 2 b2 =1（a跃0,b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 A 1, A 2，以 F1F2 为 直径的圆与曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点，且蚁A 1MA 2= 仔4 ，则下列说法一定正确的 是（银） A. C 的离心率为 5姨 B援蚁MA 2 N= 3仔4 C援 MA 1 = 2姨 MA 2 D援当 a= 5姨 时，四边形 NF1MF2 的面积为 20 5姨 第 域 卷 （非选择题 共 92分） 三、解答题（共 3个小题，每小题 5分，共 15分） 12援 已知向量 =(1,-1)，=(-2,1)，若(k + )彝 ，则实数 k= 银 援 13. 已知正实数 m，n，满足 mn=4，则 1m + 1n + 9m+n 的最小值为 银 . 14援 已知抛物线 E:y2=4x 的焦点为 F，过点 F 斜率为 3姨 的直线与 E 交于 A,B 两点，过 AB 的 中点 M 作 y 轴的垂线交 E 于 N 点，则 MNAB = 银 . 高二数学 第 2 页（共 4 页） 四、解答题（共 5个大题，共 77分，解答过程写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. (13 分)已知函数 f(x)=1n(x+1)援 （1）求 f(x)在点(1, f(1))处的切线方程； （2）求 g(x)=ax-f(x),(a沂R)的极值. 16援（15 分）如图，在圆锥 PO 中，ABCD 为底面圆的内接四边形，对角线 AC 过圆心 O,圆锥母线 长为 2 2姨 ,BC=2,蚁ACB=仔3 援 （1）若 AD椅BC，平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l，证明：AD椅l； （2）若 AD=2，求平面 PAD 与平面 PBC 所成角的正弦值援 17援（15 分）已知锐角吟ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，b=1 且 2c-a=2sin(C-仔6 ). （1）求角 B 的大小； （2）求吟ABC周长的最大值援 高二数学 第 3 页（共 4 页） 18援（17 分）某学校食堂每天中午提供 A,B 两种套餐，同学小李第一天午餐时随机选择一种 套餐，如果前一天选择 A 套餐，那么第二天选择 A 套餐的概率为 12 ；如果前一天选择 B 套餐，那么第二天选择 A 套餐的概率为 13 援 （1）该食堂对 A 套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，调查了学生对 A 套餐的满意 程度情况，统计了 100 名学生的数据，如下表（单位：人） 根据小概率值 琢=0.001 的独立性检验，能否认为学生对 A 套餐的满意程度与套餐的改善 有关？ （2）若 A 套餐拟提供 2 种品类的素菜，n(n逸3,n沂N*)种品类的荤菜，同学小李从这些菜品中 随机选择 4 种菜品，记选择素菜的种数为 X，求 P(X=2)的最大值，并求此时 n 的值援 （3）设同学小李第 n 天选择 B 套餐的概率为 Pn，求Pn援 参考数据：x2= n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中 n=a+b+c+d 19援（17 分）设焦点在 x 轴上的椭圆 C:x2a2 +y 2 3 =1，M(0,m)，A 是 C 的右顶点援 （1）若离心率 e= 12 ，求椭圆 C 的标准方程； （2）在（1）的条件下，椭圆 C 上存在一点 P，满足PA =2MP，求 m； （3）若 AM 的中垂线 l 的斜率为 2，l 与 C 交于 S、T 两点，是否存在这样的椭圆，使得 蚁SMT=仔2 ，若存在求 a的取值，若不存在请说明理由援 高二数学 第 4 页（共 4 页） A 套餐满意度情况 A 套餐改善前 A 套餐改善后 合计 满意 35 40 75 不满意 15 10 25 合计 50 50 100 琢 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x琢 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 凉山州 2024—2025 学年度下期期末统一检测 高二数学参考答案 一、单项选择题（共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C B A B C C D A 二、多项选择题（共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分） 题号 9 10 11 选项 BC AC ABD 三、填空题（共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 3 2 13. 3 14. 1 4 四、解答题（5 个小题，共 77 分，15 题 13 分，16 题、17 题各 15 分，18 题、19 题各 17 分，解答过程需写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） ' 115. (1) ( ) 1 f x x 解： 由题意知 ，则  ………………1 分 ' 1(1) ln 2, (1) 2 f f ，  ………3 分 1ln 2 ( 1), 2 f y x所以在点(1, (1))处的切线方程为：    ……4 分 1 1 ln 2. 2 2 y x即：    ………………5 分 (2) ( ) ln( 1)g x ax x由题意知 的定义域为(-1,+ ),    ……6 分 ' 1( ) 1 g x a x 则 ,   …………………………………7 分 ( ) ( 1, )g x所以 在 上无极值；  ………………………8 分 ' 1 10 ( ) 0, 1, 1 a g x a x x a ②当 时，令 则       …………9 分 x 11, 1 a       1 1 a  1 1, a       f’(x)  0  f(x) 单调递减 极小值 单调递增 1 11 , ( ) 1 ( ) ,x g x < x g x a a 所以当 时 为增函数，当-1 时， 为减函数    ……10 分 1 1( ) 1 ( 1) 1 ln ,g x x g a a a a 所以 在 时，取得极小值 无极大值.      …11分 0 ( ) ( 1, ) 10 , ( ) ( , ) ( 1) 1 ln . a g x a g x g a a a 综上所述：当 时， 在 上无极值； 当 时 在 -1 上有极小值 ，无极大值          ………13 分 16. (1) ,AD BC AD PBC BC PBC解： 证明 ∥ ， 平面 平面  ………3分 AD PBC∥平面 ……………5分 PAD PBC l平面 平面  ………6分 .AD l∥ ………………7分 π(2) 2 , 2,2 , 3 PA PC BC AD ACB由题意知      …………8分 π4, 2 3, 2, 2 AC AB CD ADC ABC PO，        …………9分 方法一：向量法 ABCD D PO为矩形，因此可建立如图所示空间直角坐标系，过点 平行于 竖直向上为z轴， (0,0,0), (2,0,0), (2,2 3,0), (0,2 3,0), (1, 3,2),D A B C P …………10分 (2,0,0), (1, 3,2), (2,0,0), (1, 3,2),DA DP CB CP           …………11分 .PAB m PBC n   设平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 …………12分 0 (0, 2, 3), 0 DA m m DP m     则         0 (0,2, 3), 0 CB n n CP n             …………13分 1cos , 7 m n      ………………14分 4 3 . 7 PAB PBC平面 与平面 所成角的正弦值为 …………15分 方法二：几何法： ,P AD BC M N MN过点 分别向 、 引垂线，垂足分别为 、 ，连接 ………10分 (1) , ,AD l PM l PN l由 知 ∥，所以   …………11分 MPN PAB PBC为平面 与平面 所成角的平面角， …………12分 7, 2 3,PM PN MN    ……………………13分 2 2 2 1cos , 2 7 PM PN MN MPN PM PN 根据余弦定理得：       ………14分 4 3 . 7 PAB PBC平面 与平面 所成角的正弦值为 …………15分 π17. 1 2 2sin( ) 6 b c a C解:(1)由 及 得：    π2 2 sin( ), 6 c a b C   ……1分 π2sin sin 2sin sin( ), 6 C A B C结合正弦定理得：    …………2分 π,A B C ABC因为 且 为锐角三角形，   V …………3分 π2sin sin( ) 2sin sin( ), 6 C B C B C所以：     …………4分 2sin sin cos 3 sin sin ,C C B B C即：   …………5分 1 3 πcos sin sin( ) 1, 2 2 6 B B B因此：     …………6分 π 3 B故： ； ………………7分 2 2 2(2) 2 cosb a c ac B由余弦定理知： ，   …………8分 2 2 2 2 2 211 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 4 a ca c ac a c ac a c a c即： - = ，             ……10分 2a c所以： ，  ……………………13分 3 3.ABC a b c因此： 周长为 ，即周长最大值为  V ………………15分 018. (1) :H解 零假设 学生对套餐的满意程度与套餐的优化相互独立.…………2分 2 2 100(35 10 15 40) 4 1.33 50 50 75 25 3          ………………4 分 2 0.0011.33 10.828   Q ……………………5 分 0H没有充分理由证明 不成立，即学生对套餐的满意程度与套餐的优化无关. …6分 2 2 2 4 2 (2) 2 ( =2)= n n C CX = P X C 由题意知:小李同学选择荤菜种数 的概率为:  …8分       2 2 2 24 2 2 3 4 12 12( =2)= 1 2 3 2 3 1 2 4 n n C C P X C n n n n n           Q ……10分 * 3( 3, ) . 5 n n n P X nN由于 ，所以 ( =2)在 =3 处取得最大值  …………12分 (3) ,nn B P同学小李第 天选择套餐 的概率为 则 1 2,nn B P n第 -1 天选择套餐 的概率为 ，  …………13分 1 1 1 1 1 1 1(1 )(1 ) (1 ) 2 2 3 6 2n n n n P PP P n，          …………14分 1 3 1 3 5 6 5n n PP         ………………15分 1 1 3 1 11 , , 2 5 10 6n n P P当 时， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列        ……16分 13 1 1 . 5 10 6n n P因此          ……………………17分 19．解:（1）由题意知，   2 2 2 33 C : 1x y a a    ，则 2 3b  ，…………1 分 离心率 1 2 ce a   .………………2 分 根据 2 2 2a b c  得： 2 4a  ，………………3 分 所以椭圆 C 标准方程为： 2 2 4 1. 3 x y   …………4 分 （2）由题意 (2,0), (0, )A M m ， ( , )P PP x y …………5 分 由 2PA MP   得， 2 2 2 2 P P P p x x y y m      ，………………6 分 解得 2 2( , ) 3 3 mP ，代入 2 2 1 4 3 x y   ，…………7分 得 21 4 1 9 27 m   ，解得 6m   .………………8分 （3）由线段 AM 的中垂线 l的斜率为 2，所以直线 AM 的斜率为 1 2  ，……9 分 则 0 1 0 2 m a     ，解得 2 am  ， 由 ( ,0), (0, ) 2 aA a M 得 AM 中点坐标为 ( , ) 2 4 a a ，……………………10 分 故直线 3: 2 4 l y x a  ，显然直线 l过椭圆内点 3( ,0) 8 a ， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设 1 1 2 2( , ), ( , )S x y T x y ， 由 2 2 2 2 32 4 3 3 y x a x a y a        消 y得 2 2 3 4 29(4 3) 3 3 0 16 a x a x a a     ， 由韦达定理得 4 2 3 1 2 1 22 2 9 33 16, 4 3 4 3 a aax x x x a a       ，…………12 分 因为 π 2 SMT  ，则 0MS MT     ，且 (0, )2 aM ， 则有 1 2 1 2( )( ) 02 2 a ax x y y    ，………………14 分 所以 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 52 2 5 ( ) 0 4 4 2 1 5 25 6 a ax x x x x x a x x a               ，…………15 分 即  4 2 3 2 29 5 255 3 3 4 3 016 2 16 aa a a a a          ，解得 2 33 3 5 a   或 2 0a  (舍去)，…16 分 故存在这样的椭圆，使得 π 2 SMT  ， 165 5 a  .…………………………17 分