精品解析：四川省成都市2024-2025学年高一下学期期末学业质量检测数学试题

2024~2025学年度下期期末学业质量检测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答案卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接用正弦和差角公式即可得到结果. 【详解】因为 故选:A. 2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，且，则，解得. 故选：B. 3. 已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱体积公式求出圆柱的高，再代入侧面积公式求解即可. 【详解】设圆柱的高为h， ，解得， . 故选：D 4. 若为空间中两条不同的直线，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题可根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定定理，逐一分析选项. 【详解】根据两个平面平行的性质知A正确； 若，则或，B错误； 若，则可能平行或相交，C错误； 若，则直线a与b的位置关系可能是平行、相交或异面，D错误. 故选：A 5. 为了得到的图象，只需要将上所有点（ ） A. 向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B. 向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C. 向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D. 向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数平移伸缩转换即可判断. 【详解】将向左平移个单位得到，然后纵坐标伸长为原来的2倍得到. 故选：C 6. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，找到异面直线和所成角，然后得到，最后表示正弦值即可. 【详解】取的中点，连接，如图： 由题可知：，又为的中点，所以，则， 所以异面直线和所成角即为，可知为直角三角形，且， 又，所以， 所以. 故选：C 7. 设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 8. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据图形求得角度，然后利用正弦定理得到，最后使用余弦定理计算即可. 【详解】由题可知：， 所以， 所以在中，, 在中， 在中，. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于向量的命题，错误的是（ ） A. B. 在边长为1的等边中， C. 若，则 D. 若，则向量的夹角是钝角 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量加法运算可判断A；向量的数量积可得BD，根据向量共线可判断C. 【详解】对A，，正确； 对B，，正确； 对C，若，则与共线，不一定，故错误； 对D，若，则向量的夹角是钝角或者为，故错误. 故选：CD 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 直线为的一条对称轴 D. 若为偶函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象得到，然后根据正弦型函数的性质进行逐一判断. 【详解】由图可知：，，则， 当时，函数取得最大值，所以，又，所以. 所以. 对A，的最小正周期为，正确； 对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误； 对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确； 对D，为偶函数，所以，故正确. 故选：ACD. 11. 如图，在直三棱柱中，，侧棱是棱上任意一点，则（ ） A. 三棱柱的表面积为120 B. 周长的最小值为 C. 三棱柱的最大内切球的体积为 D. 三棱柱的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合直角三角性和矩形面积求得三棱柱表面积判断A，将周长问题转化为求的最小问题，沿展开平面利用三点共线最短即可求解判断B，根据的内切圆半径与柱体高的比较即可得出最大内切球的半径，代入球的体积公式判断C，利用补体法求得外接球直径，再由球的体积公式计算判断D. 【详解】因为，所以，又， 所以三棱柱的表面积为，故A正确； 周长为，将平面沿展开到平面中， 展开图为矩形，如图， 则（当三点共线时取等）， 又，所以周长的最小值为，故B正确； 因为，， 所以的内切圆半径， 因为，所以三棱柱的最大内切球的半径为， 其体积为，故C错误； 该直三棱柱的外接球的表面积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的表面积， 其体对角线为外接球直径，设外接球半径为，则， 所以外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】按照复数的模计算公式计算即可. 【详解】由题可知：. 故答案为： 13. 中，角，，所对的边分别为，，，，，，则角的对边____________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再结合余弦定理即可求解. 【详解】在中，因为，所以根据正弦定理有， 又，则，， 由， 得. 故答案为： 14. 已知是锐角的外心，若，且，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意得到，假设外接圆为单位圆，建立平面直角坐标系，表示出三个顶点坐标，然后计算即可. 【详解】由，可知. 由是锐角的外心，所以，设的外接圆为单位圆，如图： ， ， ，，则， 由， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量 （1）求与的夹角的余弦值； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量加、减法的坐标运算求出与的坐标，代入向量夹角公式计算两向量夹角的余弦值即可. （2）设，求出的坐标，代入投影向量公式计算即可. 【小问1详解】 ，， . 【小问2详解】 设，则 向量在向量上的投影向量为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧棱底面，且． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形为菱形得到对角线垂直，由线面垂直得到，从而证明线面垂直； （2）设到平面的距离为h，利用等体积法列出方程，求解即可. 【小问1详解】 因为底面是菱形，所以， 因为底面，底面，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 设点到平面的距离为h， 由题可知PA为三棱锥的高，， 所以三棱锥的体积为， 又因为，且， 所以，解得， 所以点到平面的距离为． 17. 已知向量，设函数． （1）求的最小正周期 （2）求的单调递增区间； （3）在中，角所对的边分别为，若，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角公式、辅助角公式求出，再根据最小正周期公式求解即可； （2）根据正弦函数的性质求其单调增区间； （3）由得，结合三角形内角的性质得，再由正弦定理求得，应用和角正弦公式求得，最后应用三角形面积公式求三角形ABC的面积． 【小问1详解】 向量，得， 所以函数的最小正周期； 【小问2详解】 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问3详解】 因为，所以， 由，可得，则，即. 又，所以， 由正弦定理得，，所以， 又， 所以面积. 18. 如图，在三棱锥中，平面，是中点，过作平面，且在平面内． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）若，且与平面所成角的正切值为，求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理说明即可； （2）得到，，根据面面垂直的判定定理可得； （3）依据题意可得线段，然后建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，最后根据空间向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 由平面，平面，平面平面，所以. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问3详解】 如图： 连接，由（1）可知，，是中点，所以是中点， 又，所以，由（2）可知平面，平面， 所以，平面，所以平面， 所以与平面所成角为，所以， 由，所以，所以，则. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， ，令，所以 设平面的一个法向量为， ，令，所以， 设二面角的平面角为， 所以，所以 19. 如图，在中，，点为和的交点，设． （1）已知，求的值； （2）若，，与的夹角为，求； （3）若，，在边上，，为的夹角，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过向量得，根据向量基本定理列方程求解即可； （2）先应用三角形面积公式，根据有，即可求面积； （3）已知向量的长度，以及，利用向量的正交条件和长度关系得确定比例得，然后利用余弦函数的值域及分式不等式求解范围. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，，与的夹角为， 所以， 由（1）知，， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，， 所以. 设与的夹角为，其中， 则 ， 而， 因为，所以， 即， 所以，所以. 因为，所以，所以，又，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度下期期末学业质量检测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答案卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若为空间中两条不同的直线，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 为了得到的图象，只需要将上所有点（ ） A. 向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B. 向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C. 向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D. 向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 6. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于向量的命题，错误的是（ ） A. B. 在边长为1的等边中， C. 若，则 D. 若，则向量的夹角是钝角 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 直线为的一条对称轴 D. 若为偶函数，则 11. 如图，在直三棱柱中，，侧棱是棱上任意一点，则（ ） A. 三棱柱的表面积为120 B. 周长的最小值为 C. 三棱柱的最大内切球的体积为 D. 三棱柱的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则______． 13. 中，角，，所对的边分别为，，，，，，则角的对边____________. 14. 已知是锐角的外心，若，且，则实数______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量 （1）求与的夹角的余弦值； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧棱底面，且． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 17. 已知向量，设函数． （1）求的最小正周期 （2）求的单调递增区间； （3）在中，角所对的边分别为，若，求的面积． 18. 如图，在三棱锥中，平面，是中点，过作平面，且在平面内． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）若，且与平面所成角的正切值为，求二面角的大小． 19. 如图，在中，，点为和的交点，设． （1）已知，求的值； （2）若，，与的夹角为，求； （3）若，，在边上，，为的夹角，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $