江苏省南京市秦淮中学2025年高一暑假作业之 统计 （样本估计总体+百分位数）综合练习

江苏省南京市秦淮中学2025年高一暑假作业之 统计（样本估计总体+百分位数）综合练习 题型一：平均数，中位数，众数，极差 【1】10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（   ） A． B． C． D． 【2】四名同学各投掷质地均匀的骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（    ） A．众数为3，极差为3 B．平均数为2，中位数为2 C．平均数为2，标准差为2 D．中位数为3，众数为3 【3】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(    ) A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 题型二：方差、标准差的计算 【4】已知一组数据的标准差为3，且，则的方差为 ． 【5】若，，…，的平均数为5，方差为4，则，，…，的平均数为 ；方差为 . 【6】将某班50人随机分成两个小组，这两组同学在期中考试中的数学成绩如下表：则该班同学在期中考试中的标准差为 分． 组别 人数 平均分 方差 第1组 20 90 9 第2组 30 80 14 【7】某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x，8.5，已知这5名参赛选手得分的平均数为9，则这5名参赛选手得分的方差为 . 【8】已知样本数据，，，的平均数是4，方差为2，现样本加入新数据3，4，5，则加入数据后新样本的方差是 【9】一组样本数据为，若是方程的两根，则这个样本的方差是 ． 【10】现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为      A. B. C. D. 题型三：用样本估计总体综合 【11】若某同学连续三次考试的名次（第一名为，第二名为，以此类推，且可以有名次并列的情况）均不超过，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是（　　） A．甲同学：平均数为，中位数为 B．乙同学：平均数为，方差小于 C．丙同学：中位数为，众数为 D．丁同学：众数为，方差大于 【12】（多选）有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是      A. 设，则样本数据的平均数为 B. 设a，，则样本数据的方差为 C. 样本数据的平均数为 D. 【13】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为，有20个车次的正点率为，有10个车次的正点率为，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______. 【14】在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．(1)求抽取的总样本的平均数；(2)试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差． 【15】某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表： 用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值＝________，病人等待时间方差的估计值s2＝________. 【16】为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩总分100分，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．求图中a的值；试估计本次物理测试成绩的平均分；同一组中的数据用该组区间的中点值作代表该校准备对本次物理测试成绩优异将成绩从高到低排列，排在前的为优异的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 【17】.（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比； （2）估计该公司员工的值的众数，中位数； （3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数． 题型四：百分位数 1.有一名同学参加投篮训练，一共进行了4组投篮，每组投篮10次，得到每组投篮的投中次数分别为5，6，8，9，则这些数据的75%分位数和方差分别为（   ） A．8.5和2.5 B．8和2.5 C．8.5和1.5 D．8和1.5 2.已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ） A．17 B．16.5 C．16 D．15.5 3.某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论正确的是（   ） A．75%分位数为1 B．平均数为1.2 C．方差为1 D．极差为4 4. 在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为__________． 5.为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）.(1)求a的值；(2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）；(3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 6.为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，首届“中华诗韵·风雅平凉”彦军杯诗词大赛决赛在剧院成功举行．为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据（满分100分）统计如下表所示： 分数 频数 5 10 20 35 频率 0.05 0.20 0.30 0.35 (1)分别求，，的值，并在图中画出频率分布直方图； (2)估计名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数（结果保留整数）． 题型一：平均数，中位数，众数，极差 【1】10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将这些数从小到大重新排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17， 故其中位数，众数，平均数，故.故选：B. 【2】四名同学各投掷质地均匀的骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（    ） A．众数为3，极差为3 B．平均数为2，中位数为2 C．平均数为2，标准差为2 D．中位数为3，众数为3 【答案】B 【解析】A：若众数为数据中的最小值，结合极差为3，则数据中最大值为6，故可能出现点数6； B：由平均数为2，则所有数据之和为，又中位数为2，将数据从小到大排列，则前3个数据之和最小的情况为，故后2个数据之和最大为，所以不可能出现数据6； C：若出现点数6，平均数为2，满足条件的情况有，则方差为，即标准差为2，故可能出现点数6； D：如满足中位数为3，众数为3，故可能出现点数6；故选：B 【3】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(    ) A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 【答案】A  【解析】根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分， 7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，故选： 题型二：方差、标准差的计算 【4】已知一组数据的标准差为3，且，则的方差为 ． 【答案】36 【解析】因为，又数据的标准差为3， 所以，又， 所以 .故答案为：. 【5】若，，…，的平均数为5，方差为4，则，，…，的平均数为 ；方差为 . 【答案】 【解析】因为，，…，的平均数为5，方差为4， 所以数据，，…，的平均数为：， 方差为.故答案为：；. 【6】将某班50人随机分成两个小组，这两组同学在期中考试中的数学成绩如下表：则该班同学在期中考试中的标准差为 分． 组别 人数 平均分 方差 第1组 20 90 9 第2组 30 80 14 【答案】6 【解析】设50人的平均分为,则, 所以50人的总方差为,所以标准差为6. 【7】某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x，8.5，已知这5名参赛选手得分的平均数为9，则这5名参赛选手得分的方差为 . 【答案】 【解析】数据9，8.7，9.3，x，8.5的平均数是9，所以，解得；所以这组数据的方差为．故答案为：． 【8】已知样本数据，，，的平均数是4，方差为2，现样本加入新数据3，4，5，则加入数据后新样本的方差是 【答案】/ 【解析】由题意，知，所以， 加入3，4，5后，显然新样本平均数， 则. 【9】一组样本数据为，若是方程的两根，则这个样本的方差是 ． 【答案】 【解析】由，解得或6．因为是方程的两根，且， 所以，，所以样本平均数为， 由方差公式得． 【10】现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为      A. B. C. D. 【答案】A  【解析】设甲、乙组平均数分别为，方差分别为， 两组数据混合成一组的平均数为，方差为，则，，，则， 题型三：用样本估计总体综合 【11】若某同学连续三次考试的名次（第一名为，第二名为，以此类推，且可以有名次并列的情况）均不超过，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是（　　） A．甲同学：平均数为，中位数为 B．乙同学：平均数为，方差小于 C．丙同学：中位数为，众数为 D．丁同学：众数为，方差大于 【答案】D 【解析】甲同学名次数据的平均数为，说明名次之和为，由中位数为， 得出三次考试名次均不超过，断定甲是尖子生； 乙同学名次数据的平均数为，设乙同学3次考试的名次分别为、、， 由题意可得则方差， 所以， ，则，所以，、、均不超过， 由此可断定乙是尖子生；丙同学名次数据的中位数为，众数为，说明三次考试中至少有两次名次为，故丙可能是尖子生；丁同学名次数据的众数为，说明某两次名次为，设另一次名次为，平均数为，方差为，即，所以，或或均不满足，故，断定丁一定不是尖子生.故选：D. 【12】.（多选）有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是      A. 设，则样本数据的平均数为 B. 设a，，则样本数据的方差为 C. 样本数据的平均数为 D. 【答案】AB  【解析】由题意，， 对于A，的平均数为，故A正确； 对于B，的平均数为， 其方差为 ，故B正确； 对于C，举反例，如1，2，3这3个数的平均数为2，但这3个数的平均数为，故C不正确； 对于D， ，故D不正确.故选 【13】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为，有20个车次的正点率为，有10个车次的正点率为，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______. 【答案】  【解析】经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为，有20个车次的正点率为，有10个车次的正点率为，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为： 【14】在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．(1)求抽取的总样本的平均数；(2)试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差． 【解析】（1）样本中男生的人数为：；女生的人数为：. 所以总样本的平均数为：. （2）记总样本的方差为，则. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16. 【15】某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表： 用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值＝________，病人等待时间方差的估计值s2＝________. 【答案】9.5　28.5 【解析】＝×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5，s2＝×[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5. 【16】为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩总分100分，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．求图中a的值；试估计本次物理测试成绩的平均分；同一组中的数据用该组区间的中点值作代表该校准备对本次物理测试成绩优异将成绩从高到低排列，排在前的为优异的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 【答案】解：由，解得； ， 故本次物理测试成绩的平均分为71； 设受嘉奖的学生分数不低于x分，因为对应的频率分别为，， 所以，解得，故受嘉奖的学生分数不低于88分． 【17】.（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比； （2）估计该公司员工的值的众数，中位数； （3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数． 【答案】解：（1）由题，，解得：， 由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为. （2）由频率分布直方图可得，众数为， 因为，， 故中位数在，设为，则. （3）设样本平均数为，则由频率分布直方图可得： ，又，即，解得：． 题型四：百分位数专题练习 1.有一名同学参加投篮训练，一共进行了4组投篮，每组投篮10次，得到每组投篮的投中次数分别为5，6，8，9，则这些数据的75%分位数和方差分别为（   ） A．8.5和2.5 B．8和2.5 C．8.5和1.5 D．8和1.5 【答案】A 【解析】因为，所以这些数据的75%分位数为． 因为平均数为，所以方差为． 故选：A. 2.已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ） A．17 B．16.5 C．16 D．15.5 【答案】B 【解析】由数据的平均数为16，得，解得， 由，得数据的第60百分位数为. 故选：B 3.某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论正确的是（   ） A．75%分位数为1 B．平均数为1.2 C．方差为1 D．极差为4 【答案】C 【解析】将8次测试结果标记后得到数据0，0，0，1，1，1，2，3， 对于A：因为，所以数据的75%分位数为：，故A错误； 对于B：平均数为，故B错误； 对于C：方差为，故C正确； 对于D：极差为，故D错误． 故选：C 4. 在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为__________． 【答案】18 【解析】【详解】计算下四分位数，已知数据个数，下四分位数即第分位数，此时，则．由于1.75不是整数，将1.75向上取整得到，所以下四分位数是排序后第个数据，即．计算上四分位数，上四分位数即第分位数，此时，则．由于5.25不是整数，将5.25向上取整得到，所以上四分位数是排序后第个数据，即． 上四分位数与下四分位数的差为．故答案为：18． 5.为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【解析】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x， 因为，，故中位数位于内， 则有，解得.所以中位数为67.69.这次数学考试的平均成绩为. （3）成绩小于70分所占的比例为， 成绩小于80分所占的比例为， 所以第70的分位数在内，所以第70的分位数为. 6.为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，首届“中华诗韵·风雅平凉”彦军杯诗词大赛决赛在剧院成功举行．为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据（满分100分）统计如下表所示： 分数 频数 5 10 20 35 频率 0.05 0.20 0.30 0.35 (1)分别求，，的值，并在图中画出频率分布直方图； (2)估计名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数（结果保留整数）． 【解析】（1）由，解得， ，． 而每组的频率/组距分别为0.005、0.010、0.020、0.030、0.035， 所以频率分布直方图如下所示： （2）由题意，众数为频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点， 即众数为95分； 平均值为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和， 即， 所以估计平均值为83分； 前四组频率和为， 所以第75百分位数在内，设第百分位数为， 则，解得，所以估计第75百分位数是93分． 学科网（北京）股份有限公司 $$