精品解析：北京市顺义区2024一2025学年下学期八年级教学质量检测 数学试卷

顺义区2024-2025学年度第二学期期末八年级教学质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 七边形的内角和为（ ） A. 540° B. 720° C. 900° D. 1080° 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，在矩形中，，，，分别为，，，的中点．若，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 6 D. 7. 已知一组数据4，5，5，6，，要使这组数据的方差最小，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 近年来新能源汽车越来越受到人们的喜爱．为了解某新能源汽车的充电速度，某研究小组经调查研究发现：如图，用快速充电桩充电时，汽车电池电量百分比与充电时间（单位：）的函数图象是折线；用普通充电桩充电时，汽车电池电量百分比与充电时间（单位：）的函数图象是线段．给出下面四个结论： ①用快速充电桩充电时，该汽车电池电量百分比从充至需要； ②与的函数表达式为； ③该汽车电池电量百分比达到后，用快速充电桩和普通充电桩的充电速度相同； ④若该汽车电池电量百分比从充至，则快速充电桩比普通充电桩少用． 上述结论中，所有正确结论序号是（ ） A. ② B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中自变量x的取值范围是__． 10. 方程的解为________． 11. 若是关于的一次函数，且随的增大而增大，则的值可能是________（写出一个即可）． 12. 如图，在中，，是延长线上一点，则________． 13. 如图，在中，，是的中点，于点．若，，则的长是________． 14. 某校有甲、乙两个舞蹈队，每个舞蹈队各有5名学生，测量并获取了这两个舞蹈队学生身高（单位：），整理数据如下： 甲队 163 165 165 166 167 乙队 161 165 166 168 173 如果一个舞蹈队学生身高的方差越小，那么该队舞台呈现效果越好．据此推断，在甲、乙两队中，舞台呈现效果更好的是________（填“甲队”或“乙队”）． 15. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 16. 如图，在菱形中，，，是线段上的动点（不与点，重合），连接，作射线，交线段于点，且使．给出下面四个结论： ①； ②； ③、两点间的距离的取值范围是； ④连接，则面积的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 解方程：（x-1）2=9． 18. 如图，四边形中，，对角线交于点O，且．求证：四边形是平行四边形． 19. 已知一次函数的图象经过点，，求这个一次函数的表达式． 20. 小华设计了“利用两条互相垂直的直线作菱形”的尺规作图的过程． 如图，于点，作图步骤如下： ①在射线上任取一点（不与点重合），以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ②在射线上任取一点（不与点重合），以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ③连接，，，． 所以四边形即为所求作的菱形． 根据小华设计的尺规作图的过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：，________， 四边形是平行四边形（________）（填推理依据）． ， 四边形是菱形（________）（填推理的依据）． 21. 某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 22. 某厂加工了5000个零件，从中随机抽取了部分零件检测了它们的质量（单位：g），对这些零件质量的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．零件质量频数分布表： 分组/g 频数 频率 4 0.08 7 16 0.32 14 0.28 0.12 3 0.06 合计 1.00 b．零件质量频数分布直方图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）当一个零件的质量满足时，评定该零件为一等品．估计这5000个零件中一等品的个数． 23. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根是正数，求的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 25. 如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 26. 某工厂有甲、乙两个蓄水池，容量分别为和，甲、乙两池初始水量分别为和．现向甲、乙两池同时注水，且每分钟注水量之和始终为．若某一蓄水池注满，则停止向其注水，改为都向另一池注水，直至注满为止．设注水时间为（单位：），甲、乙两池中的水量分别为，（单位：）． （1）若每分钟向甲池注水，分别求出，与的函数表达式； （2）若每分钟向甲池注水，画出与的函数图象； （3）当每分钟向甲池注水时，甲比乙提前注满，直接写出的值． 27. 在正方形中，是上一动点（不与点，重合），是点关于直线的对称点，连接，，过点作于点，延长交的延长线于点． （1）依题意补全图形．若，求的大小（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得，则称点是图形“关联点”． （1）如图，点． ①在点，，中，线段的“关联点”是________； ②若点是线段的“关联点”，则的取值范围是________， （2）已知点，，，，，，且线段上的任意一点都是四边形的“关联点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 顺义区2024-2025学年度第二学期期末八年级教学质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标—轴对称，根据平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标变换规律：横坐标取相反数，纵坐标不变，直接求解即可，熟练掌握关于轴对称的点的坐标变换规律是解此题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是， 故选：B． 2. 七边形的内角和为（ ） A. 540° B. 720° C. 900° D. 1080° 【答案】C 【解析】 【分析】由n边形的内角和是：180°（n-2），将n=7代入即可求得答案． 【详解】七边形的内角和是：180°×（7-2）=900°； 故答案为：C． 【点睛】此题考查了多边形的内角和公式．熟记公式：n边形的内角和为180°（n-2）是解决此题的关键． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； 故选：C． 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程中的常数项移至右侧，再通过配方将左侧转化为完全平方形式，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：D． 5. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程，解关于的方程即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵方程的一个根是1， ∴将代入方程：， 化简得：， 解得：， 因此，的值为1， 故选：A． 6. 如图，在矩形中，，，，分别为，，，的中点．若，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、三角形中位线定理，连接、，由矩形的性质可得，，由勾股定理求出，再证明四边形为菱形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵，，分别为，的中点． ∴，， ∴， ∵，分别为，的中点． ∴是的中位线， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴四边形的周长为， 故选：B． 7. 已知一组数据4，5，5，6，，要使这组数据的方差最小，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，先求出平均数为，再根据方差计算公式表示出方差，利用偶次方的非负性求解即可． 【详解】解：∵原数据为4、5、5、6、， ∴平均数为． ∴方差为 ， ∵， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴， 故选：C． 8. 近年来新能源汽车越来越受到人们的喜爱．为了解某新能源汽车的充电速度，某研究小组经调查研究发现：如图，用快速充电桩充电时，汽车电池电量百分比与充电时间（单位：）的函数图象是折线；用普通充电桩充电时，汽车电池电量百分比与充电时间（单位：）的函数图象是线段．给出下面四个结论： ①用快速充电桩充电时，该汽车电池电量百分比从充至需要； ②与的函数表达式为； ③该汽车电池电量百分比达到后，用快速充电桩和普通充电桩的充电速度相同； ④若该汽车电池电量百分比从充至，则快速充电桩比普通充电桩少用． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ② B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，观察图象即可判断①；求出普通充电桩的充电速度，从而即可得出与的函数表达式，即可判断②；求出用快速充电桩的充电速度，比较即可判断③；求出当时对应的的值即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：用快速充电桩充电时，该汽车电池电量百分比从充至需要，故①错误，不符合题意； 普通充电桩的充电速度为， 则与的函数表达式为，故②正确，符合题意； 该汽车电池电量百分比达到后，用快速充电桩的充电速度为，普通充电桩的速度为，故③错误，不符合题意； 当时，， 解得， ， 故若该汽车电池电量百分比从充至，则快速充电桩比普通充电桩少用，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有②④， 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中自变量x的取值范围是__． 【答案】x≠3 【解析】 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 10. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．先将因式分解为，再利用因式分解法解方程即可得． 【详解】解：， ， 或， 所以方程的解为， 故答案为：． 11. 若是关于的一次函数，且随的增大而增大，则的值可能是________（写出一个即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的增减性：①当，y随x的增大而增大；②当时，y随x的增大而减小．根据题意可得，即可得到答案． 【详解】解：是关于的一次函数，且随的增大而增大， ， ， 的值可能是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 如图，在中，，是延长线上一点，则________． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形的对角相等求解．解题的关键是掌握平行四边形的性质． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ． 故答案为：65． 13. 如图，在中，，是的中点，于点．若，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的斜边中线，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题关键．由勾股定理求出，再结合斜边中线求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， 在中，，是的中点， ， ， 故答案为：． 14. 某校有甲、乙两个舞蹈队，每个舞蹈队各有5名学生，测量并获取了这两个舞蹈队学生的身高（单位：），整理数据如下： 甲队 163 165 165 166 167 乙队 161 165 166 168 173 如果一个舞蹈队学生的身高的方差越小，那么该队舞台呈现效果越好．据此推断，在甲、乙两队中，舞台呈现效果更好的是________（填“甲队”或“乙队”）． 【答案】甲队 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差，熟记方差的计算公式和方差的意义是解此题的关键． 分别计算出两队同学的身高的平均数和方差，比较方差大小即可得出答案． 【详解】甲队平均身高， 甲队的方差， 乙队的平均身高， 乙队的方差， ， 甲队舞台呈现效果更好． 故答案为：甲队． 15. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解． 【详解】解：由题知，， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即 解得， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，是线段上的动点（不与点，重合），连接，作射线，交线段于点，且使．给出下面四个结论： ①； ②； ③、两点间的距离的取值范围是； ④连接，则面积的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识，掌握菱形的性质是解题关键．连接，利用菱形的性质，证明是等边三角形，从而推出，可判断①②结论；当点、分别是、中点时，，，证明出是等边三角形，求出的最小值，当点、分别与点、重合时，求出的最大值，可判断③结论；根据③和直角三角形的性质，可判断④结论． 【详解】解：如图，连接， 在菱形中，，， ，，，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，①结论正确； ， ， ，②结论错误； 同理可证，是等边三角形， 当点、分别是、中点时，，，此时和最短， ，， ， ，， 是等边三角形， ，即的最小值为， 当点、分别与点、重合时，此时， 、两点间的距离的取值范围是，③结论错误； 当，，面积的最小，此时， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， 面积的最小为，④结论正确； 故答案为：①④． 三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 解方程：（x-1）2=9． 【答案】x1=4，x2=-2 【解析】 【分析】先开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程解即可． 【详解】解：两边开方得：x-1=±3， 解得：x1=4，x2=-2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程求解． 18. 如图，四边形中，，对角线交于点O，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】主要考查全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定，结合图形，综合运用这两个知识点是解题关键． 根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质得出，利用平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 19. 已知一次函数的图象经过点，，求这个一次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．设这个一次函数的表达式为，将点，代入求出的值，由此即可得． 【详解】解：设这个一次函数的表达式为， 由题意，将点，代入得：， 解得， 所以这个一次函数的表达式为． 20. 小华设计了“利用两条互相垂直的直线作菱形”的尺规作图的过程． 如图，于点，作图步骤如下： ①在射线上任取一点（不与点重合），以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ②在射线上任取一点（不与点重合），以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ③连接，，，． 所以四边形即为所求作的菱形． 根据小华设计的尺规作图的过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：，________， 四边形是平行四边形（________）（填推理的依据）． ， 四边形是菱形（________）（填推理的依据）． 【答案】（1）作图见解析 （2）；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法． （1）利用尺规按步骤作图即可； （2）结合图形填空，根据解答过程选择合适的判定方法填空； 【小问1详解】 如图所示： 【小问2详解】 证明：，， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ， 四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 21. 某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设边框的宽为，根据添加边框后的整个图形的面积为建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设边框的宽为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：边框的宽为． 22. 某厂加工了5000个零件，从中随机抽取了部分零件检测了它们的质量（单位：g），对这些零件质量的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．零件质量频数分布表： 分组/g 频数 频率 4 0.08 7 16 0.32 14 0.28 0.12 3 0.06 合计 1.00 b．零件质量频数分布直方图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）当一个零件质量满足时，评定该零件为一等品．估计这5000个零件中一等品的个数． 【答案】（1）6；50；； （2）见解析 （3）估计这5000个零件中一等品的个数为个． 【解析】 【分析】本题考查了频数和频率，频数分布直方图，利用样本频率估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）先利用频数频率求出抽取的零件总数，再求出和即可； （2）根据（1）所得数据补全频数分布直方图即可； （3）用5000个零件乘以一等品的频数求解即可． 【小问1详解】 解：抽取的零件总数为个，即； 则，， 故答案为：6；50；； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：（个）， 答：估计这5000个零件中一等品的个数为个． 23. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根是正数，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的知识是解题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）利用公式法解方程得到，，再根据方程的一个根为正数进行求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意得： 方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解： ， 方程有一个根是正数， ． 24. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、两条直线相交或平行问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数与的图象交于点．则，又将代入得：，可得的值，进而可以得解； （2）依据题意，由（1）可知，又当时，，则两条直线的解得坐标为，故，从而可得，然后结合图象即可判断得解． 【小问1详解】 解：函数与的图象交于点． ． ． 将代入得：， ， ，； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 当时，． ， ， 由图可得，当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，的取值范围是． 25. 如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【小问2详解】 解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）已得：是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵是的中点， ∴． 26. 某工厂有甲、乙两个蓄水池，容量分别为和，甲、乙两池初始水量分别为和．现向甲、乙两池同时注水，且每分钟注水量之和始终为．若某一蓄水池注满，则停止向其注水，改为都向另一池注水，直至注满为止．设注水时间为（单位：），甲、乙两池中的水量分别为，（单位：）． （1）若每分钟向甲池注水，分别求出，与的函数表达式； （2）若每分钟向甲池注水，画出与的函数图象； （3）当每分钟向甲池注水时，甲比乙提前注满，直接写出的值． 【答案】（1），；， （2）图象见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，一次函数的图像，分式方程等，正确理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）按照题中所给注水速度，计算发现注满甲乙两池所需时间相等，便可直接列解析式； （2）按照题中所给注水速度，计算发现甲池20分钟先注满，乙池需要30分钟注满，所以在甲池注满后，乙的注水速度将改变； （3）根据甲池注水的时间=乙池注水的时间（乙多注水五分钟的量减掉）列分式方程，从而求得结果． 【小问1详解】 若每分钟向甲池注水，则注满甲池所需时间为， 若每分钟向乙池注水，则注满乙池所需时间为， 若每分钟向甲池注水，则每分钟向乙池注水，则在时，甲、乙两池同时注满， 甲池中的水量，；乙池中的水量，． 【小问2详解】 若每分钟向甲池注水，则注满甲池所需时间为， 若每分钟向乙池注水，则注满乙池所需时间为， 时，甲池注满水，乙池蓄水量为， 后，甲池停止注水，每分钟向乙池注水，注满乙池还需， 当时，， 当时，， 根据与满足的关系画出函数图象如下： 【小问3详解】 由题知，乙在最后的注水量为， 由， 解得， 经检验，是方程的解， 的值为． 27. 在正方形中，是上一动点（不与点，重合），是点关于直线的对称点，连接，，过点作于点，延长交的延长线于点． （1）依题意补全图形．若，求的大小（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）图形见解析； （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题重点考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，结合题中条件，与图形，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用轴对称的性质，证明，推出，再由，得； （2）过点H，作，交延长线于点M，先在中，推出，再证明，推出，代入化简即可 【小问1详解】 如图1所示： 四边形为正方形， ， 点关于的对称点F在的延长线上， 由对称性可知，，， 又， ， ， ， 又， ， ． 小问2详解】 ，理由如下： 设，由（1）知，， 又， ， ， 如图2，过点H，作，交延长线于点M，则， 四边形为正方形， ， 又， ， 由勾股定理得， ， ， ， 又，， ， ， ，． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得，则称点是图形的“关联点”． （1）如图，点． ①在点，，中，线段的“关联点”是________； ②若点是线段的“关联点”，则的取值范围是________， （2）已知点，，，，，，且线段上任意一点都是四边形的“关联点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①、；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据“关联点”的定义进行判断即可； ②先求出直线的解析式为，设线段上任意一点的坐标为，根据点是线段的“关联点”，得出，求出或，根据，求出的取值范围即可； （2）先求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，当点T在点时，线段上任意一点都是的“关联点”，将线段从此位置向右平移，一直到点在时，线段上任意一点都是的“关联点”，当时，线段上任意一点都是四边形的关联点；将线段向右平移，一直到点T在上时，上任意一点都是的“关联点”，得出当时，线段上任意一点都是四边形的关联点，即可得出答案． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∴是线段的“关联点”； ∵，， ∴， ∴是线段的“关联点”； ∵线段上没有点符合要求， ∴不是线段的“关联点”； 综上分析可知：线段的“关联点”是、； ②设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设线段上任意一点的坐标为， ∵点是线段的“关联点”， ∴， ∴ ， ∴或， ∴或， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 当点T在点时，线段上任意一点都是的“关联点”，将线段从此位置向右平移，一直到点在时，线段上任意一点都是的“关联点”， ∴当时，线段上任意一点都是四边形的关联点； 把代入得：， 解得：， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线上任意一点坐标为，则： ， ∴， ∴此时线段上任意一点都是的“关联点”， 将线段向右平移，一直到点T在上时，上任意一点都是的“关联点”， ∴当时，线段上任意一点都是四边形的关联点； 综上分析可知：当或时，线段上任意一点都是四边形的关联点． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，求不等式的解集，求一次函数解析式，解题的关键是理解新定义，熟练掌握“关联点”的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$