精品解析： 浙江省湖州市德清县2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省湖州市德清县八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，，，则对角线的长为（ ） A. B. 6 C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 平行四边形的两条对角线互相垂直 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 平行四边形的四条边相等 D. 四个角相等的四边形是矩形 7. 如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，交的延长线于点E，连接，若的周长为28，的周长为18，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 如图，在正方形中，平分交于点，过点作交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形．以，所在的直线构造矩形，且点，在边，上．已知的面积为，矩形的面积为，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 12. 计算：_______． 13. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的边长为________． 14. 如图，在中，，，，则的面积为_______． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点D落到点E处，交于点F，则的长为_______． 16. 如图，在中，，D是斜边的中点，平分且，连接，若，，则的长为_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．试在各网格中画出顶点在格点上，且符合相应条件的图形． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个，使得，，． 19. 如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积． 20. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，于点E，于点F，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 22. 如图，菱形的对角线相交于点O，且，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 23. 观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… （1）请直接写出第5个等式_______； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； （3）计算：． 24. 在四边形中，对角线上有一点E，连接，F是射线上一点，连接，且，以为边作平行四边形． （1）如图1，若四边形是菱形． ①求证：四边形是菱形； ②若，连接，则与是否相等？请说明理由． （2）如图2，若四边形是正方形． ①与的关系是（ ） A． B． C． D． ②已知，，连接，则的长为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省湖州市德清县八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数中不含有开方不尽的数或式，化简判断即可． 【详解】A. ，不是最简二次根式，不符合题意； B. ，是最简二次根式，符合题意； C. ，不是最简二次根式，不符合题意； D. ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、，不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意； 、，不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意； 、，不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意； 、，能作为直角三角形三边长，该选项符合题意； 故选：． 3. 如图，在菱形中，，，则对角线的长为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键．判断是等边三角形，即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 故选: 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的加减乘除法法则是解题的关键． 利用二次根式的运算法则逐项计算并判断即可． 【详解】解：A． 2与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意． B． ，原计算错误，故此选项不符合题意． C． ，计算正确，故此选项符合题意． D． ，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ，不一定成立，不一定成立，，一定成立， 故选：D． 6. 下列命题正确的是（ ） A. 平行四边形的两条对角线互相垂直 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 平行四边形的四条边相等 D. 四个角相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，熟练掌握平行四边形的性质，菱形、矩形的判定定理是解题的关键， 利用平行四边形的性质，菱形、矩形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A．平行四边形的对角线互相平分，但不一定互相垂直，特殊的平行四边形如菱形的对角线才互相垂直，故该命题不正确，不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题不正确，不符合题意； C．平行四边形的四条边不一定相等，故该命题不正确，不符合题意； D．四个角相等的四边形是矩形，故该命题正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键第2025次得到的结果为． 根据勾股定理求出，因为，即可得到答案第2025次得到的结果为 【详解】解：， ， ， ， 点表示的数是 故选：A ． 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，交的延长线于点E，连接，若的周长为28，的周长为18，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据平行四边形的性质得到，，，然后根据的周长为18得到，然后根据垂直平分线的性质得到，进而求解即可． 【详解】∵的周长为28 ∴，，， ∴ ∵的周长为18 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 9. 如图，在正方形中，平分交于点，过点作交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用正方形的性质证明，可得，即可判定①；由全等三角形的性质得，即得，即可判定②；由直角三角形的性质可得，即得，得到和不全等，即可判定③，综上即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ， ， ∵平分， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴，故②正确； ③连接，如图所示， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴ ， ∴， 又∵，， ∴和不全等， 故③不正确； 综上所述，正确的结论是①②， 故选：． 10. 如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形．以，所在的直线构造矩形，且点，在边，上．已知的面积为，矩形的面积为，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，矩形和正方形的性质，完全平方公式的应用，延长交于，延长交于，设，，由四边形是正方形，则，，证明，所以，，又四边形是矩形，四边形是正方形，，，同理可得，，得，由四边形是正方形，四边形是矩形，可得，可得，，从而可得，，然后通过完全平方公式变形求值即可，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】解：如图所示，延长交于，延长交于，设，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， 同理可得，， ∴， ∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴（负值舍去）， ∴矩形的周长， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 12. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了化简二次根式，根据和计算即可. 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：. 13. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的边长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】由菱形的性质可得出，根据为的中点，则为的中位线，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴， ∵OE＝3，且点E为线段AD的中点， ∴AB＝2OE＝6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，掌握菱形的性质与中位线的性质是解题的关键． 14. 如图，在中，，，，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，过点A作于E，则是等腰直角三角形，可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点D落到点E处，交于点F，则的长为_______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边，由矩形的性质得到，再由平行线的性质和折叠的性质推出，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，D是斜边的中点，平分且，连接，若，，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，延长交于点F，由，求得，由平分且，得，，而，即可根据“”证明，得，，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长交于点F， ∵， ∴， ∵平分且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点，E是的中点， ∴， 故答案为：2． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．试在各网格中画出顶点在格点上，且符合相应条件的图形． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个，使得，，． 【答案】（1）如图1所示：正方形即为所求； （2） 如图2所示：即为所求． 【解析】 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案； （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 20. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，于点E，于点F，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵于点E，于点F， ∴， 又∵， ∴； （2） 证明：由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据HL可证； （2）根据得出，推出可推出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 【答案】 （1）是； 理由是：在中， ∵， ∴， ∴， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）千米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答； （2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）设，则， 在中， ， ∴， 解得：， 答：原来的路线AC的长为千米 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键． 22. 如图，菱形的对角线相交于点O，且，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，得到，即可得证； （2）根据矩形的对角线相等，得到，菱形的性质结合勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式，对角线乘积的一半进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵菱形， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴菱形的面积为． 23. 观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… （1）请直接写出第5个等式_______； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； （3）计算：． 【答案】（1） （2） 依题意，第n个等式:． 即第n个等式:， 证明如下： ； （3）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字规律，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合已有的式子过程，直接写出第5个等式，即可作答． （2）根据前5个等式的特征，得出，运用平方差公式进行化简，得即可作答． （3）结合前面的结论得，则原式，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，第5个等式：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得 ∴ ． 24. 在四边形中，对角线上有一点E，连接，F是射线上一点，连接，且，以为边作平行四边形． （1）如图1，若四边形是菱形． ①求证：四边形是菱形； ②若，连接，则与是否相等？请说明理由． （2）如图2，若四边形是正方形． ①与的关系是（ ） A． B． C． D． ②已知，，连接，则的长为_______． 【答案】（1） 解：①∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ②，理由如下： 如图所示，设交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）①B；② 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正方形的性质与判定定理，菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①由菱形的性质可得，则可证明，得到，再由，即可证明； ②设交于O，由菱形的性质可得，则，根据等边对等角和全等三角形的性质可证明，则可证明，则是等边三角形，据此可得，则； （2）①同理可证明，，由勾股定理可得，则； ②过点E作于M，过点H作交直线于N，求出，则，，证明是等腰直角三角形，得到；证明平行四边形是正方形，得到，证明，得到，，则，由勾股定理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， 故选：B； ②如图所示，过点E作于M，过点H作交直线于N， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 由（2）①可知，， ∴平行四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $