2025年九年级数学中考三轮复习二次函数几何综合部分重难点专项练习

2025年九年级数学中考三轮复习 二次函数几何综合部分重难点专项练习 1．如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当且 时： 求的取值范围； 若 ，直接写出的值． 2．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标． 3．如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 5．如图①，平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点． (1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______； (2)如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值； (3)若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； (2)若，点O是线段的中点． 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 7．如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，抛物线的对称轴为直线，P是直线下方抛物线上一点． (1)求抛物线和直线的函数解析式； (2)如图1，过点P作于点M，轴交直线于点N，求周长的最大值； (3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，直接写出的最小值． 8．如图，已知抛物线与轴交于点，（为坐标原点），抛物线与关于轴对称，点是抛物线在第三象限内的一点，连接并延长，交抛物线于点． (1)点的坐标为_____，抛物线的解析式为_____， (2)设点的横坐标为，点的横坐标为，若，求的值． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，与交于点，连接并延长交于点，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式 (2)连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 10．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 12．如图，已知二次函数的图象过点，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知点是二次函数图象上一点， ①若直线：经过点，且点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点坐标． ②设直线与二次函数图象另一交点为，过二次函数图象顶点作轴的平行线，则直线上是否存在点 ，使得最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴交于点E，点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，且．当取得最大值时，求出点P的坐标及的最小值： (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线y＇，新抛物线与原抛物线相交于点F，点T为新抛物线y上一动点，连接，，，当时，请直接写出所有符合条件的点T的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、B两点，点A在点B左侧，与轴交于点，抛物线的顶点为D，作直线，点P是抛物线上的一个动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作轴的垂线，与直线交于点E，点C关于直线的对称点为，连接，设点P的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点的纵坐标与顶点D的纵坐标相等时，求的值； (3)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，求的取值范围； (4)连接，当与相等时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)； (2)；或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设该抛物线的解析式为，然后把代入求出的值即可； （）由（）得抛物线的解析式为，然后根据二次函数的性质即可求解； （）由抛物线的解析式，求出，通过 ，则，则有，然后分情况解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， ∵与轴交于点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为， （2）解：由（）得抛物线的解析式为， ∴当时，的最大值为，当时，的最小值为， ∴的取值范围； 由抛物线的解析式， 当时，， ∴， ∴， ∵ ， ∴，即， ∵点是抛物线上一点， ∴， 当时， 解得或（舍去）， 当时， 解得或（舍去）， ∴的值为或． 2．(1) (2)①；②或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解； （1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，即可求解； ②分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 得：， 解得：， 该抛物线的表达式为：①； （2）解：①令，得， 解得：，， 点， 设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为②， 如图1，过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ， ， ， 有最大值，当时，其最大值为，此时； ②， 顶点， 设直线与交于点， 当点在直线下方时， ， 点在的中垂线上， 线段的中点坐标为，过该点与垂直的直线的值为， 设中垂线的表达式为：，将点代入上式得， 解得：， 直线中垂线的表达式为：③， 设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：④， 联立③④得：， 解得：， 点， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为：⑤， 联立①⑤得， 解得：，（舍去）， 故点； 当点在直线上方时， ， ， 则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：， 即直线的表达式为：⑥， 联立①⑥并解得：或（舍去， 故点； 综上所述，点的坐标为或． 3．(1) (2)不存在，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 4．(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先求出、的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可； （2）先求出顶点的坐标，直线解析式为，过作轴交轴于，轴交于，设，，得出，根据面积相等建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴， 解得： ∴， ∴ ∴， （2）过作轴交轴于，轴交于，如图： ， ， 由，得直线解析式为， 设，， 在中，令得， ， ， ； 的面积与的面积相等， 而， ， 解得（舍去）或， 5．(1)， (2) (3)不变，这个四边形的面积为16 【分析】（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可； （3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点和点， ∴抛物线对称轴为： 直线， 把点和点代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为：， 故答案为：，； （2）解：∵抛物线， ∴， 设直线的解析式为；， 把点和点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 设平移后函数解析式为：， 建立方程组 整理得：， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为； （3）解：如图，设， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵G是点E关于x轴的对称点， ∴， ∵，， ∴． 综上，这个四边形的面积不变，这个四边形的面积为16． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，利用参数构建方程是解题的关键． 6．(1)①；②点D的坐标为 (2) 【分析】（1）①结合题意求出点，再利用待定系数法求解，即可解题； ②设点D的坐标为，根据建立方程求解，即可解题； （2）结合题意求出，进而得到的面积，延长交于N，利用抛物线的对称性和重心的性质得到，利用与相似，证明，利用相似三角形性质推出，，，进而得到，，得到，进而求出的面积，即可解题． 【详解】（1）解：①，且； ， 抛物线过点，， ， 解得， 抛物线的表达式为：； ②设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （2）解：，点O是线段的中点． 抛物线， ， 的面积为， 延长交于N， 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． ， 、的重心分别为、， ，， ， 与相似， ， ， ， 由抛物线对称性可知， ， ， ， ，，， 即，解得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，重心的性质，相似三角形性质和面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 7．(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）先求出直线的函数解析式，可得到点B的坐标，再利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）证明是等腰直角三角形，根据轴，可得到是等腰直角三角形，从而得到的周长为，进而得到当最大时，的周长最大，设点P的坐标为，则点N的坐标为，可得，即可求解； （3）过点D作轴于点E，则轴，可得，再由，可得，从而得到，可求出点D的坐标为，再求出直线的解析式，然后与抛物线解析式联立，即可求解； （4）在x轴取点P，使，，连接，证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴直线的函数解析式为； 把代入，得：， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长为， ∴当最大时，的周长最大， 设点P的坐标为，则点N的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取得最大，的最大值为2 ∴的周长的最大值为； （3）解：如图，过点D作轴于点E，则轴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点P的坐标为； （4）解： 如图，在x轴取点P，使，，连接， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，设计了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 8．(1) (2)4 (3)是，定值为6 【分析】（1）把代入求出点A的坐标即可，根据关于y轴对称的特征写出抛物线的解析式即可； （2）将代入，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式得，求出，再代入求值即可； （3）先根据平移得出的解析式为，联立，的解析式得，求出点的坐标为，设点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为①，联立①式和的解析式得，得出，根据 ， 求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：或， ∴点A的坐标为， ∵抛物线与关于轴对称， ∴抛物线的解析式为． （2）解：将代入，得， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式得， 解得（舍），， 即， ． （3）解：是定值． ∵抛物线的解析式为， 又∵将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ∴的解析式为， 联立，的解析式得， 解得：， 把代入得：， 则点的坐标为， 设点的坐标为， 设直线的解析式为，代入，得： ， 解得： ∴直线的解析式为①， 联立①式和的解析式得 整理得， ∴， ∵， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和平移特点． 9．(1)； (2)的最大值为，； (3)点N的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得新抛物线的对称轴为，分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可． 【详解】（1）解：把，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则， ∴，令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， ∴； （3）解：∵，， ∴点向右平移3个单位得到点， ∴向右平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 设， ∵，， ①当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 无意义，舍去； ②当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴； ③当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 综上，点N的坐标为或或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 10．(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 11．(1)， (2)不能，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论； （3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴， ∴； （2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和 ∴不能经过点, （3）①∵， 当重合时，则 ∵是的中点， ∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴ 解得：； ②∵直线交于点，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴ 联立 消去得， ∴，则 ∵点的横坐标是点横坐标的一半． ∴即， 将代入， ∴①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， ∵点为直线与的唯一公共点， ∴② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 12．(1) (2)①点的坐标为或；②存在的最小值为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征可得的值，根据对称轴可得的值，即可得解； （2）①根据待定系数法确定直线的解析式为，得到，，确定直线的解析式为，过点作，交轴于点，可得，，确定直线的解析式为，根据对称性可得直线垂直平分，设，，确定直线的解析式为，继而得到，根据中点坐标公式得到，最后根据函数图象上点的坐标特征得到，求解后可得结论． ②作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、．则＞，而，当、分别与、重合时，最小，最小为．先求得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴与轴交于点， ∴当时，得；，得：， ∴此二次函数的表达式为； （2）∵直线：经过点，设直线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴， ∴， 过点B作，交y轴于点C， ∵， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵二次函数图象上的点关于直线的对称点在直线上， ∴直线垂直平分， ∴，点是的中点， 设，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 可得方程组， 解得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：或， 当时，得，则， 当时，得，则， ∴求点的坐标为或． ②直线上存在点，理由如下： 抛物线的顶点为，作直线：，如图所示， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、． 则，而， 当、分别与、重合时，最小， 最小为． 当， 解得： 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数和一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴，一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定和性质，对称的性质，平行线的性质，中点坐标公式，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点．掌握待定系数法确定函数解析式及对称的性质是解题的关键． 13．(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查二次函数的几何综合，涉及待定系数求二次函数与一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标系中的平移，轴对称问题，矩形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． （1）利用抛物线的对称性求出点的坐标是，利用交点式得出抛物线解析式为，求出，即可求解； （2）求出直线的解析式是，设点的坐标是，则点的坐标是，得出，利用坐标系中两点距离得出 ，得出，可知最大值时点的坐标是，过点作轴于点，证明，， ，则点到点相当于水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，将点沿方向平移个单位长度，即水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，得，由平移的性质得，则，当、、依次共线时，取得最小值，即取得最小值，求即可； （3）利用，得出抛物线相当于竖直向上平移个单位长度，水平向右平移个单位长度，得出平移后的抛物线的解析式是，联立原抛物线求得，过点作轴于点，证明，得出，当点在上方时，过点作交延长线于点，过点作延长线于点，交轴于点，证明，求出，再求出直线的解析式为，联立抛物线，即可求解；当点在下方时，同理构造一线三垂直全等，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点， 点、关于对称轴对称， 抛物线的对称轴是直线， 点的横坐标是， 点的坐标是， 抛物线解析式为， 得， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）解：设直线的解析式是， 当时，， 点的坐标是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标是， ， ， ， 整理得：， 当时，有最大值， 此时， 此时点的坐标是， 过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由得对称轴为直线， ∴， ，， ∴， ∴， ∴点到点相当于水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度， 将点沿方向平移个单位长度，即水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，得点，即， 由平移的性质得， ∴，当、、依次共线时，取得最小值，即取得最小值， 最小值为； （3）解：∵，，， 则有， 当沿射线方向平移个单位长度时， 相当于竖直向上平移个单位长度，水平向右平移个单位长度， ∵原抛物线的解析式是， 平移后的抛物线的解析式是， 联立原抛物线得：， 解得：， 当时，， ∴， 过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在上方时，过点作交延长线于点，过点作延长线于点，交轴于点，则， ∴四边形是矩形，轴， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， 则直线的解析式为， 联立抛物线， 得：， 解得：或（舍）， ∴当时，， ∴； 当点在下方时，过点作交延长线于点，过点作轴于，过点作于点，过点作于点， 同理可得，，， ∴，， ∴，即， 同理可得直线的解析式为， 联立抛物线， 得：， 解得：或（舍）， ∴当时，， ∴； 综上，或． 14．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）先求出顶点的坐标为，再根据题意得点的纵坐标为，然后代入解析式即可求解； （）时，时，时三种情况分析即可； （）先求出直线的表达式为，过作轴于点，设与轴交于点，设，求出，则，，又，故有，然后得出方程，然后求解并检验即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，与轴交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（）得：抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， ∵点的纵坐标与顶点的纵坐标相等， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得：或， ∵点在对称轴左侧， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，点在对称轴左侧， ∴， 当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大； 当时，在内部不存在抛物线图象； 当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小； 综上可知：的取值范围为或； （4）解：设直线的表达式为， 由，当时，， 解得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 如图，过作轴于点，设与轴交于点， ∴，， 设， ∵轴， ∴点纵坐标为， ∵点在直线上， ∴，解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或或或， ∵点在对称轴左侧， ∴， ∴或， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，三角函数，熟练掌握以上内容并能运用分类讨论的数学思想和数形结合的思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$