2025年九年级中考数学三轮热点一次函数与反比例函数的图象和性质综合

2025年九年级中考数学三轮热点 一次函数与反比例函数的图象和性质综合 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，且，．连结并延长交双曲线于点，连结． (1)直接写出一次函数的解析式以及点的坐标； (2)求的面积． 2．如图，反比例函数的图象交一次函数的图象于和两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)将直线向下平移5个单位长度得到直线l，已知点P，Q分别为x轴、直线l上的动点，当的值最小时，求点 P 的坐标． 3．如图，线段的端点，在双曲线上，直线经过点． (1)求线段的解析式． (2)在直线上求一点，使的面积是8． 4．如图，已知一次函数（a，b为常数，）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数（k为常数，）的图象在第二象限内交于点C，在第四象限内交于点E，作轴于点D，已知点，，点B是AC的中点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点A是BE的中点吗？请说明理由． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，b为常数． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为______． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求A，B两点的坐标及反比例函数的表达式． (2)若P为x轴上的一动点，且，求点P的坐标． (3)观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 8．如图，一次函数与反比例函数图象交于点，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值． 9．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，请直接写出不等式的解集； (3)若P是x轴上一点，且满足的面积是6，直接写出点P的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)填空：_____________，_______________． (2)求一次函数的表达式． (3)连接，，直接写出的面积． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线沿轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点，若，请求出的值． 13．已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 14．如图，正比例函数与反比例函数相交于点，过点作轴于点，，点在线段上，且，连接． (1)求的值； (2)点为点上方该反比例函数图象上的点，当与的面积相等时，请求出点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点坐标为． (1)求双曲线和直线的表达式； (2)请直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围； (3)将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式； (4)在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的性质，根据对称性求得点的坐标是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可，根据、两点关于原点对称，可得； （2）过点作轴交于点，把代入得，则，根据即可求得的面积． 【详解】（1）解：把代入得， 反比例函数的解析式为， ， 将和代入得， 解得， 一次函数的解析式为：， 根据题意得、两点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：过点作轴交于点， 由（1）得， 把代入得， ， ， ． 2．(1)一次函数的解析式，反比例函数的解析式 (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，平移的性质，平行线之间的距离等知识，利用数形结合思想是解题的关键． （1）将代入反比例函数得，，再根据点B在反比例函数图象上，可得B的坐标，将点，代入中，解方程即可得出答案； （2）根据图象直接可得解集； （3）设平移后的直线为l，解析式为，过点B 作直线l的垂线，垂足为 Q，交x轴于点 P，此时的值最小，过点B作轴于C，利用等腰直角三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ， ∵点 在反比例函数 的图象上， ∴， ∴， 将点，代入，得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据图象可知：不等式的解集为：或； （3）解：把的图象向下平移5个单位长度得到的直线 l 的解析式为， 如图，过点 B 作直线l的垂线，垂足为 Q，交x轴于点 P，此时 的值最小，过点 B 作轴于点C， ∵，，，， ∴， ∴， ∴点 P 的坐标为． 3．(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，求一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再代入反比例函数求出，然后运用待定系数法进行求出，即可作答． （2）作轴交于，且，得．即．则，所以，，得．再求出的坐标为．当时，也符合题意．显然，为原点，即可作答． 【详解】（1）解：将代入直线， 得． 则． ． 将代入双曲线，得． ． 则． 设线段的解析式为． 把代入， 则 解得，． 线段的解析式为． （2）解：作轴交于，且 由，得． ． 则． ． ． 由，得． 点的纵坐标为． 由，得． 点的坐标为． 当时，也符合题意． 显然，为原点． 综上，点的坐标为或． 4．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； (2)点A是BE的中点．理由见解析 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、正切，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）先根据正切定义和坐标与图形性质求得点B、C的坐标，再利用待定系数法求得函数解析式即可； （2）先联立方程组求得点E坐标，再根据两点坐标距离公式求得即可． 【详解】（1）解：由点，， 得，，则点． 由点B是的中点，轴，得点C的坐标为， ∴把点，代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 把点代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：点A是的中点．理由如下： 由解得或， ∴点E的坐标为， ∴，即点A是的中点． 5．(1)； (2) (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 6．(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题以及借助图象求不等式的解集． （1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图象位置关系找到一次函数在反比例函数上方的部分即可得解． 【详解】（1）解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴ 将点、分别代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据图象可知，当时，直线在反比例函数图象的上方，满足， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 7．(1)点A的坐标为，点B的坐标为，该反比例函数的表达式为 (2)点P的坐标为或 (3)x的取值范围为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、求函数解析式、运用图像求不等式的解集的等知识点，掌握两函数图像的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键． （1）先根据两函数图像的交点情况确定a、b的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）设点P的坐标为，直线与x轴交点为C，求出点C的坐标，根据，即可解答． 直接根据函数图像即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． ∴，， ∴， ∴A点坐标为，点B点坐标为． ∴， ∴反比例函数． （2）设点P的坐标为，直线与x轴交点为C，如图 当时，， 解得， ∴， ∵A点坐标为，点B点坐标为． ∴ 解得或， 点P的坐标为或． （3）如图：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A，B两点． ∴当时，x的取值范围或． 8．(1)，； (2)或 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （）由题意可得，，因为，所以， 然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， ∵经过点， ∴． ∴反比例函数为， ∵在图象上，， ∴， 设一次函数解析式为， ∴，解得， ∴一次函数为； （2）解：∵轴， ∴，， ∵， ∴， 解得：或或或 ∵点在第二象限， ∴或． 9．(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点M的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案当时，则，可求出；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴； 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 10．(1)一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，求一次函数关系式，一次函数与几何图形，根据图象求出不等式的解集，作出辅助线表示出的面积是解题的关键． 对于（1），将点代入可得反比例函数关系式，再将点代入反比例函数关系式可得坐标，然后将点A，B代入一次函数关系式，求出解可得关系式； 对于（2），根据交点的横坐标，再根据反比例函数图象在一次函数图象上方可得答案； 对于（3），先设点P的坐标，再表示出，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：将点代入， 得， ∴反比例函数关系式为； 将点代入反比例函数关系式， 得， ∴点． 将点，代入一次函数关系式， 得， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：观察图象可得：当或时，； （3）解：如图所示， 当时，， 解得， ∴点， ∴． ∵的面积是6， ∴， 解得， 当点P在原点左侧时，点； 当点P在原点右侧时，点． 所以点P的坐标为或． 11．(1)1，1 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把，代入反比例函数计算即可得解； （2）由（1）可得，，再利用待定系数法求解即可； （3）先求出一次函数与轴的交点坐标，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数图象上， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）可得，， 将，代入一次函数可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （3）解：如图： ， 在中，当时，，解得，即， ∴． 12．(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键． （1）先求出点．再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）记平移后的直线与轴的交点为，则，连接BD．根据列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ． 点． 把点代入， 得：， ． 直线的表达式为：． （2）记平移后的直线与轴的交点为，则， 连接， ． ． 即：． ． 13．(1)； (2)①；②不等式的解集为或． 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等． （1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式，再求出C、D两点的坐标，再根据，代入数据计算即可； ②根据函数图象即可写出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线过点， ， 将代入中，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为， 点，在的图象上， ， ，， 由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得， ； 直线的解析式为， 令，得， ， ； ②∵，， ∴不等式的解集为或． 14．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，设点的坐标，建立方程． （1）根据，求出A点坐标，利用待定系数法即可求出k的值； （2）根据，求出点C的坐标；设P点坐标为，根据面积相等列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴A点纵坐标为4，代入，得，解得， 则A点坐标为，代入，得，解得； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设P点坐标为， ∵与的面积相等， ∴， ∴， 解得：， ∴P点坐标为． 15．(1)反比例函数解析式为，直线的解析式为 (2)当或时，反比例函数图象在一次函数图形上方，即反比例函数值大于一次函数值 (3)直线的解析式为或 (4)存在，点的坐标为或，理由见详解 【分析】（1）把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）联立方程组得到的坐标，结合图形，由函数交点求不等式解集的方法作答即可； （3）根据函数的平移得到平移后的解析式，根据只有一个交点，联立方程得到，根据判别式为，由此即可求解； （4）根据题意得到即是等腰直角三角形，如图所示，过点作轴于点，由圆的基础知识得到点在轴的位置，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于，两点点坐标为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立方程组得，， 整理得，， 解得，， ∴， ∴当或时，反比例函数图象在一次函数图形上方，即反比例函数值大于一次函数值； （3）解：∵直线的解析式为， ∴设直线向下平移了个单位长度，则对应的函数解析式为， ∵平移后的直线与双曲线只有一个交点， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为或，如图所示， （4）解：存在，点的坐标为或，理由如下， 直线的解析式为， 当时，，即， 当时，，即， ∴，即是等腰直角三角形， 如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴， 同理，是等腰直角三角形，， ∴以点为中点，以为半径画圆，交轴于点，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴在轴上是否存在点使得，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，图象法解不等式，函数与几何图形的综合知识的运用，数形结合分析思想是关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$