2025年九年级数学中考三轮冲刺训练-反比例函数与几何综合

2025年九年级数学中考三轮冲刺训练 反比例函数与几何综合 1．如图，正比例函数与反比例函数相交于点，过点作轴于点，，点在线段上，且，连接． (1)求的值； (2)点为点上方该反比例函数图象上的点，当与的面积相等时，请求出点的坐标． 2．如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)若，在图象上，且，则 ； (2)点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，若的面积为，求k的值． 3．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点C与点B关于原点对称，求的面积； (3)观察图象，直接写出的解集． 4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，以为边作正方形，反比例函数的图象在第一象限经过点． (1)直接写出点、、的坐标及的值； (2)如图②，将直线向下平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交的图象于点，若，求直线的解析式； (3)如图③，将直线绕点顺时针旋转后与第一象限的双曲线交于点，求点的横坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像和矩形在第一象限，平行于轴，且，，点的坐标为． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图像上． ①猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式； ②若此时直线的解析式为，请直接写出的的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积． 7．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数，点，点是反比例函数图象上两点，连接． (1)求直线的解析式； (2)P点为反比例函数图象上B点右侧一点，当时，点M，N 分别为x，y轴上的动点，求四边形周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，Q为反比例函数右支上一点，作直线AQ，当点B到直线AQ的距离是点P到直线AQ的距离的3倍时，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标． 8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A和点，分别与y轴、x轴交于C，D两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点E为反比例函数上一点(不与点A，B重合)，过点E作轴，垂足为F，当时，求点E坐标． 9．如图，点和点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，过点作轴交直线于点，． (1)若，求的值； (2)过点作轴于点，若四边形的面积为，求点的坐标． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，与x，y轴分别相交于点C，D，且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点D为圆心，线段的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接，．求的面积． 11．如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点在线段上，过作轴于点，交反比例函数图象于点，当时，在正半轴上有一点，满足，是线段上的一个动点，连接，求的最小值； (3)如图2，第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，将直线向下平移8个单位得直线，点为直线上一点，点为第二、四象限的角平分线上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标及所有情况中平行四边形面积的最大值． 12．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求k和m的值； (2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标． (3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 13．如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点．与轴交于点． (1)求与的值； (2)当时，的取值范围是___________； (3)若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求k的值； (2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； (3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 15．如图，是反比例函数图像上的两个动点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接．设点的横坐标分别为，其中，． (1)若． ①__________； ②连接，求的面积（用含的代数式表示）； (2)点、到直线的距离相等吗？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《025年九年级数学中考三轮冲刺训练-反比例函数与几何综合》参考答案 1．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，设点的坐标，建立方程． （1）根据，求出A点坐标，利用待定系数法即可求出k的值； （2）根据，求出点C的坐标；设P点坐标为，根据面积相等列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴A点纵坐标为4，代入，得，解得， 则A点坐标为，代入，得，解得； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设P点坐标为， ∵与的面积相等， ∴， ∴， 解得：， ∴P点坐标为． 2．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质、反比例函数系数的几何意义、三角形的面积、关于原点、对称轴的对称点的坐标等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据反比例函数图象的性质，即可判断； （2）点的坐标为，求出、的坐标，求出和的长，根据三角形的面积求出，即可求解； 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象的一支位于第一象限 ∴反比例函数的另一支在第三象限， 在每个象限内，随的增大而减小， ∴，在图象上，且， 故答案为：． （2）设点的坐标为，其中，， ∵点在该反比例函数位于第一象限的图象上，点与点关于轴对称，点与点关于原点对称， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴，解得：， ∵点在反比例函数位于第一象限的图象上， ∴，解得：． 3．(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为： (2)6 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）求出C的坐标，设直线与y轴交于点，连接，延长与x轴交于点，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象过， ∴， ∴反比例函数表达式为， ∴， ∴， 把，坐标代入一次函数，则， 解得， ∴一次函数表达式为： （2）解：∵点C与点B关于原点对称， ∴， 如图，设直线与y轴交于点，连接，延长与x轴交于点， ∵直线为：， ∴， ∴， ∵， ∴设直线为，将两点代入得到， 解得， ∴直线为， ∵延长与x轴交于点， ∴， ∴， ∴ （3）解：根据图象得： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， 不等式的解集为：或 4．(1)，，， (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，全等三角形的判定和性质，一次函数、反比例函数与几何图形面积的计算等知识是关键． （1）根据一次函数与坐标轴交点得到坐标，得到，如图所示，过点作轴于点，则，根据正方形的性质可证，，得到，运用待定系数法得到反比例函数系数； （2）如图所示，连接，得到，由面积公式得到，直线的解析式为，则，把点代入，运用待定系数法即可求解； （3）过作交的延长线于点，作轴的平行线，交轴于点，过作轴的平行线，交于点，可证，，得，运用待定系数法得到的解析式，联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵以为边作正方形， ∴，， 如图所示，过点作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵将直线向下平移得到直线，则， ∴点到的距离等于点到的距离，且同底， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设， 又∵过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴， 设， 又∵过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：过作交的延长线于点，作轴的平行线，交轴于点，过作轴的平行线，交于点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 又∵过点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点的横坐标是． 5．(1)、、三点的坐标为，，； (2)①猜想这两个点是点和点，矩形的平移距离为，反比例函数的解析式为； ② 【分析】本题考查矩形的性质，反比例函数，平移，不等式的解集，解题的关键是正确理解函数图象中的信息和平移过程． （1）根据矩形的性质，结合已知，即可写出点的坐标； （2）由图即可猜得平移后落在反比例函数图象上的点，设平移距离，表示平移后的点的坐标，列方程求解即可得平移距离，从而可得，进而可得反比例函数的解析式；观察函数图象，结合点的坐标，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵平行于轴， ∴轴，轴，轴， ∵，，点的坐标为， ∴，，， 答：、、三点的坐标为，，． （2）解：由图可知，同时落在反比例函数图象上的两个点为点和点， 设矩形向下平移距离为，则点和点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 答：猜想这两个点是点和点，矩形的平移距离为，反比例函数的解析式为． 由可得，平移后点和点的对应点，点， ∴时，， 答：的的取值范围是． 6．(1)； (2)9 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数中的三角形面积问题，根据数形结合思想求解是解题的关键． （1）根据待定系数法求得反比例函数，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数； （2）根据一次函数求得的长度，根据，即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得，解得． 反比例函数的表达式为． 把代入，得， 解得：， 即点的坐标为． 把代入， 得， 解得：， 一次函数的表达式为． （2）解：将直线与轴的交点记为， 令，则，解得， 即点的坐标为． ． ． 7．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，轴对称以及相似三角形的判定与性质，正确作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键． （1）把代入，求得，得，把代入得，可得，设直线的解析式为，把，代入，求出的值即可； （2）运用分割法得，解得（舍去），，得，分别作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，根据两点之间线段最短得的最小值为，由两点间距离公式可求出和的长，从而可求出四边形周长的最小值； （3）设，运用待定系数法求出的解析式为，的解析式为，求出和的交点坐标为，由两点间距离公式 求出作于点，于点，得,得，列方程求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得， 所以，直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴，过点作轴，交于点,过点作于点， 设, ∵,, ∴，， ∴， ∴， 整理得，， 解得（舍去），， ∴， ∵， ∴； 分别作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点， 根据两点之间线段最短得的最小值为， ∴， ∴四边形周长的最小值为； （3） 设， 设直线的解析式为， 把,，代入得， 解得， ∴的解析式为， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴和的交点坐标， ∴ 作于点，于点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， 解得，或， ∴点的坐标为或． 8．(1) (2)E坐标为 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）把点代入得到反比例函数的表达式为； （2）解方程得到，设，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：把点代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立方程组， 解得，或， ∴， 在中，令，则，令，则， ∴， ∵点E为反比例函数上一点， ∴设， ∵轴， ∴， ∴， 当时，有， ∴， 解得（负值舍去）， ∴E坐标为． 9．(1)； (2)点坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． （）根据，表示出点坐标，根据反比例函数性质列出方程即可求出值，代入可求的值； （）把点代入得，解得，由（）得点坐标为，从而点坐标为，根据四边形的面积为8，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∴， ∴，点坐标为， ∵， ∴点坐标为， ∴，解得， ∴点， ∴， 解得； （2）解：把点代入得， 解得， 由（）得点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点坐标为， ∵四边形的面积，即， 解得， ∴点坐标为． 10．(1)， (2)15 【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键； （1）先求出点D的坐标，进而可得点C的坐标，代入一次函数解析式可求出，进而可得点A坐标，再代入反比例函数求出即可； （2）求出一次函数与反比例函数的另一个交点B的坐标，连接，作轴于点F，证明，从而求出点E的坐标，以为底，利用求解即可. 【详解】（1）解：对于一次函数，令，得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∴一次函数的解析式为； 把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数的解析式是； （2）解：解方程组，得或， ∴点B的坐标是， 如图，连接，作轴于点F， 则，，， 由题意可得， ∴， ∴， ∴， 作轴于N，于点M， 则， ∴, 即的面积是15． 11．(1) (2) (3)点的坐标或或，平行四边形面积的最大值为 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，反比例函数中平行四边形的存在性，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）将代入，求出，将代入，即可求解； （2）求出，利用，求出，可得，则，则，过点在轴下方作，过点作于点，则，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，取得最小值，最小值为如图，求解即可； （3）求出，直线的解析式为，由点为直线上一点，设，由点为第二、四象限的角平分线上一点，设， 分当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时，三种情况讨论，利用中点坐标列式即可求出坐标，再计算面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 将代入， 得：， ∴， 将代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， 则， ∵轴于点，交反比例函数图象于点， ∴， 即， 解得：， 当时，，得， 则， 当时，， 则， ∴， 如图，过点在轴下方作，过点作于点， ∴， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，取得最小值，最小值为如图的长，设交轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； （3）解：由第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，即直线与交第四象限的函数图象于点， ∴， 解得：（负值舍）， ∴， 由将直线向下平移8个单位得直线， ∴直线的解析式为， 由点为直线上一点， ∴设， 由点为第二、四象限的角平分线上一点， ∴设， 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 此时如图，过点作直线于点，过点作轴交直线于点， 则， 当时，得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 同理， ∴； 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 同理， ∴； 综上所述，点的坐标或或，平行四边形面积的最大值为． 12．(1)， (2) (3)或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，平行四边形的性质，学会构建方程组确定交点坐标，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）分别将点B和点A的坐标代入中可得，，即可得反比例函数的解析式； （2）如图1，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F，设点D的坐标为，利用面积和与差即可解答； （3）先根据平移可得函数的图象沿y轴向下平移4个单位得：，分三种情况：①如图2，四边形是平行四边形，则P，Q的纵坐标相等，②如图3，四边形是平行四边形，③如图4，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）如图1，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F， 设点D的坐标为， ∵， ∴， ， ， ，， 经检验均是方程的解， ∴点D的坐标为； （3）由题意得：函数的图象沿y轴向下平移4个单位得：， 当时，， ∴， 分三种情况： 如图2，四边形是平行四边形，则P，Q的纵坐标相等， ∴设，， ∵， ∴， 解得：（舍），， 经检验：是原方程的解， ∴； 如图3，四边形是平行四边形， 由①知，， ∴， ∴，（舍）， 经检验：是原方程的解， ∴点P的坐标为； ③如图4，四边形是平行四边形， ∵B，C关于原点对称， ∴P，Q关于原点对称， 设点Q的坐标为，则点P的坐标为， ∵点P在直线上， ∴， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 13．(1)，8 (2) (3)或 【分析】（1）将点代入直线解析式得到值，将点坐标代入求出的直线解析式得到值，将点坐标代入反比例函数解析式求出即可； （2）根据两个函数图象，直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，根据列出方程，求出值即可． 【详解】（1）解：（1）把代入得：， 解得：， 把代入得：． ． 把代入得：． 的值为，的值为8． （2）由图象可知：当时，的图象在的上方， 当时，的取值范围是：． 故答案为：． （3）当时，． ， 为轴上的一动点， ． ， ， ， ， 或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 14．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解； （2）连接，求出点C的坐标为，可得，设点D的坐标为，可得到，再由勾股定理求出m的值，即可求解； （3）设点E的坐标为，求出直线的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点为， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴点， 把点代入得：； （2）解：如图，连接， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点D的坐标为， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或． 15．(1)①2；② (2)相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形面积公式． （1）①根据，反比例函数的解析式为求出点N的纵坐标，即可求出的值； ②根据三角形面积公式进行求解即可； （2）连接、．求出，，说明，根据、有公共底边，说明点 P、Q到直线的距离相等． 【详解】（1）解：①∵， ∴点N的横坐标为， 把代入得：， ∴点N的坐标为， ∴； 故答案为：2 ② ． （2）解：相等，理由如下：     连接、． ， ， ， ， 又∵、有公共底边， ∴点 P、Q到直线的距离相等． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$