精品解析：江苏省扬州现代实验学校2024-2025学年上学期九年级期中测试数学试卷

2024—2025学年度第一学期九年级期中测试 数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 5（x﹣1）＝3x B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A．方程变形为，它的未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故此项不符合题意； B．方程不是整式方程，它不是一元二次方程，故此项不符合题意； C．方程符合一元二次方程的定义，它是一元二次方程，故此项符合题意； D．方程有两个未知数，它不是一元二次方程，故此项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数者都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别为，，，，这四个旅游团中年龄相近的旅游团是（　　） A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 丁团 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的意义可做出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：，，，， 最小， 这四个旅游团中年龄相近的旅游团是乙团； 故选：B． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 3. 如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】旋转阴影部分后，阴影部分是一个半圆，根据概率公式可求解 【详解】解：旋转阴影部分，如图， ∴该点取自阴影部分的概率是 故选：D 【点睛】本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 4. 将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据二次函数平移的规则“左加右减，上加下减”，逐步进行平移变换即可求解． 【详解】解：将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是， 故选：A． 5. 如图，点A在上，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 6. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故先：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根． 7. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x=-=1得到b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0；当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x=1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a＜0； ∵抛物线的对称轴为直线x=-=1， ∴b＞0； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误； 当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0， ∴b＞a+c，故②不正确； 当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴x=1时，y有最大值a+b+c， ∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， ∴a+b＞m（am+b），故④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 8. 如图，正方形的边长是2，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，直角三角形的性质，作点C关于直线的对称点G，过点G作交延长线于H，取的中点O，连接，由直角三角形的性质可得，由轴对称的性质可得，根据，可得当O、F、P、G四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，证明四边形是矩形，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，作点C关于直线的对称点G，过点G作交延长线于H，取的中点O，连接， ∵，O为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当O、F、P、G四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 故选：B． 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 方程 的解是____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可； 【详解】解：， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； 故答案为：， 10. 现有分别标有汉字“我”“爱”“附”“中”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，抽中卡片“爱”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．从四张卡片中，任意抽取一张卡片共有4种等可能的结果，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：因为把四张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片共有4种等可能的结果， 所以任意抽取一张卡片，抽中卡片“爱”的概率是， 故答案为：． 11. 抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 直接根据顶点式可求得答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线， 故答案为：． 12. 已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式：，其中是弧长，是扇形的半径，是扇形的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：设这个扇形的半径是， 则， 解得， 所以这个扇形的半径是2， 故答案为：2． 13. 已知一组数据1，5，2，4，x的平均数是3，则这组数据的方差为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据求平均数的公式可求出x的值，再由求方差的公式计算即可． 【详解】由题意有， 解得：． ∴这组数据为：1，5，2，4，3， ∴这组数据的方差． 故答案为：2． 【点睛】本题考查由平均数求未知数据的值，求方差．掌握求平均数的公式和求方差的公式是解题关键． 14. 如图，在中，弦于E点，C在圆上，，则的半径_____． 【答案】 【解析】 【分析】设圆的半径为，利用垂径定理可得，然后利用勾股定理列方程进行求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， ∵弦于E点，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 15. 如图，菱形的顶点、、在圆上，且，若点是圆周上任意一点且不与、、重合，则的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，分点P在优弧和劣弧上两种情况求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵菱形，， ∴， 情况一，点在优弧上，即的位置， ∴是圆心角，圆周角， ∴； 情况二，点在劣弧上，即的位置， ∴， 综上所述，的度数是或， 故答案是：或． 【点睛】本题主要考查圆心角与圆周角的关系，掌握菱形的性质，圆心角与圆周角的关系是解题的关键． 16. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：且． 17. 函数在有最大值6，则实数的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴为，再分，和三种情况，分别利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】二次函数的对称轴为， 由题意，分以下三种情况： （1）当时， 在内，y随x的增大而增大， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； （2）当时， 在内，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而 增大， 则当或时，y取得最大值， 因此有或， 解得或（均不符题设，舍去）； （3）当时， 在内，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； 综上，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键． 18. 已知二次函数与x轴有两个交点，把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线有三个不同的公共点，则m的值为______． 【答案】1或 【解析】 【分析】先运用根的判别式求得k的取值范围，进而确定k的值，得到抛物线的解析式，再根据折叠得到新图像的解析式，可求出函数图象与x轴的交点坐标，画出函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①过交点（-1，0），根据待定系数法可得m的值；②不过点（一1，0），与相切时，根据判别式解答即可． 【详解】解：∵函数与x轴有两个交点， ∴，解得， 当k取最小整数时，， ∴抛物线为， 将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为（或） ： ①因为为的，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过，把代入得所以， ②与相切时，图象有三个交点， ，，解得． 故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识点，掌握分类讨论和直线与抛物线相切时判别式等于零是解答本题的关键． 三、解答题（本大题有10小题，共96分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 19. 已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先由的长为2求出，进而可知原方程为，根据根与系数的关系求出、的和，即可求出平行四边形的周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，的长为2， ∴， 解得：， 即， ∴、的和， ∵平行四边形， ∴，， ∴平行四边形的周长． 20. 2月20日，北京冬奥会圆满落幕．在这届举世瞩目的冬奥会中，谷爱凌“一飞冲天”，苏翊鸣“一鸣惊人”，短道速滑梦之队“一往无前”…运动健儿们挑战极限、攀登顶峰的精神鼓舞着无数人．为弘扬奥运精神，培养学生对体育的热爱，某随机抽取20名学生，进行“奥运知识知多少”的测试，满分10分，并绘制如下统计图． （1）这20名学生成绩的中位数是_______，众数是_______，平均数是________； （2）若成绩在9分及以上为优秀，请估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有多少名？ 【答案】（1）8，9，8.2 （2）54名 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图以及中位数、众数、平均数的定义即可求解； （2）用9分和10分的人数之和的占比乘以120即可求解． 【小问1详解】 解：第10和第11名学生的成绩为8，8，则中位数为，9分的人数最多，则众数为9； 这名学生成绩的平均数为 故答案为：8，9，； 【小问2详解】 估计该校名学生中，成绩为优秀的学生人数为：（名）． 答：估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有54名 【点睛】本题考查了条形统计图，求中位数，众数，平均数，样本估计总体，从条形统计图获取信息是解题的关键． 21. 如图，在等腰中，，以为直径的分别与边，交于，两点，交于点．连接交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，， ， ，是直径， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得结论； （2）连接，．设．利用勾股定理，构建方程求出，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，．设． ， ， 是直径， ， ， ，， ， ， ， 或（舍去）， ， 半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 22. 已知二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，函数值的取值范围是_________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据函数解析式和二次函数的性质，可以求出时，函数值的取值范围． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 二次函数的解析式为，， 此二次函数的对称轴为：，开口向下， ，， 当时，，取得最大值，此时， 时取得最小值，此时， 即当时，函数值的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23. 一只不透明的袋子中装有6个小球，分别标有1，2，3，4，5，6这6个号码，这些球除号码外都相同． （1）直接写出事件“从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍”的概率； （2）用画树状图或列表格等方法，求事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）从袋中任意摸出一个球共有6种等可能的结果，其中，从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍的结果有2种，利用概率公式计算即可得； （2）先根据题意画出树状图，从而可得从袋中同时摸出两个球共有30种等可能的结果，其中，从袋中同时摸出两个球，号码之和为6的结果共有4种，再利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：因为从袋中任意摸出一个球共有6种等可能的结果，其中，从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍的结果有2种：即3和6， 所以事件“从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍”的概率． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从袋中同时摸出两个球共有30种等可能的结果，其中，从袋中同时摸出两个球，号码之和为6的结果共有4种， 所以事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率． 24. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，且． （1）求证：是的切线； （2）若半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，则可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，，并延长交于点，先根据圆周角定理可得，根据矩形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，则可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，，并延长交于点， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵半径为5， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键． 25. 国庆假期期间，某酒店有20个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为100元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，酒店需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价x元（）． （1）每天有游客居住的房间数为 　 　（用含有x的式子表示）； （2）当每间房价为多少时，酒店当天的利润为1870元，且总支出最少？ （3）当每间房价定为多少元，酒店的利润W（元）最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）这天每间房的定价是190元 （3）当每间房价定为160元，宾馆的利润W最大为1960元 【解析】 【分析】根据题意列方程即可求解； 根据利润=房间个数×每个房间的利润，即可求解； 根据第（2）问的式子化简求出最大值 【小问1详解】 解：根据题意知，每间房间定价x元时，每天有游客居住的房间数为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵该天利润为1870元， ∴， 解得：或， 要使总支出最少，游客居住的房间数要最少，即最小， ∵，的值随的增大而减小， ∴时，的值最小， 答：这天每间房的定价是190元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为1960元； 答：当每间房价定为160元，宾馆的利润W最大为1960元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的利润问题和二次函数利润问题，灵活运用所学知识是解题关键． 26. 已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （1）请求出抛物线对称轴及A、B两点坐标； （2）直接写出不等式时的解集； （3）已知线段的两个端点坐标、，当该抛物线与线段有交点时，求a的取值范围． 【答案】（1）；A（-1，0），B（3，0）； （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）将抛物线化为两根式求解即可． （2）根据抛物线经过定点A，B，结合函数图象求解即可； （3）根据抛物线经过定点A，B，通过抛物线与直线x=2交点坐标以及抛物线顶点坐标，列不等式组求解． 【小问1详解】 ∵y=ax2-2ax-3a=a（x2-2x-3）=a（x-3）（x+1）， ∴抛物线的对称轴为：； 令y=0，则a（x-3）（x+1）=0 ∵ ∴（x-3）（x+1）=0 ∴x=3或x=-1， ∵点A在点B左侧 ∴点A（-1，0），B（3，0）； 【小问2详解】 当时，抛物线开口向上，恒过点（-1，0）和（3，0）两点，如图， 结合图象可得：不等式时的解集为：或； 【小问3详解】 当时，抛物线开口向上，大致图象如图所示， 设直线x=2与抛物线的交点为点G，则点G的坐标为（2，-3a）， 要使抛物线与CD只有交点，则点G必在CD上方或与点D重合，顶点在CD的下方或CD上 ∴ ∴ 又 ∴ 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数的两根式解析式，通过数形结合的方法求解是解答本题的关键． 27. 如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标； （3）P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 【答案】（1） （2）或或或 （3）点时，的值最大为， 【解析】 【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设，设的解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，再求出点C的坐标，进而可得出，代入即可求出a的值，进而可求出点B的坐标，再当时，求的面积是否为15进而可得出点B 的另一个坐标． （3）做点O的对称点，连接交对称轴于点P，则，有，当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，利用待定系数法求得直线的直线方程为，当时求得，则点时，的值最大，并利用勾股定理求得即可． 【小问1详解】 解： 抛物线经过点， ∴设抛物线为： 抛物线过，且它的对称轴为． 解得： ∴抛物线为：； 【小问2详解】 解：设， 设的解析式为：， 则， 解得：， 则 的解析式为：， 当时，则， 解得：， 侧， ∴ ∵ ∴， 解得：或或或（舍去）， 此时点，或， 当时，则直线为，平行于x轴 此时， ，满足题意， 综上：则或或或． 【小问3详解】 解：做点O的对称点，连接交对称轴于点P，如图， 则， ∴， 当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值， 设直线的直线方程为， 则，解得， ∴直线的直线方程为， 当时，， 那么，点时，的值最大，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、等面积法、对称的性质、三角形三边关系和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉二次函数的性质和对称性． 28. 如图1，在矩形中，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒，是的外接圆． （1）当时，的半径是______cm，与直线的位置关系是______； （2）在点P从点A向点B运动过程中． ①圆心M的运动路径长是______cm； ②当与直线相切时，求t的值． （3）连接，交于点N，如图2，当时，求t的值． 【答案】（1），相离 （2）①5；② （3） 【解析】 【分析】（1）过M作于F，交于E，如图1，先根据圆周角定理得到求出为的直径，求解，，利用勾股定理求解即可得到的半径为；证明求得，进而求得，根据直线与圆的位置关系可得出结论； （2）首先得到圆心M的运动路径为，再根据勾股定理和矩形的性质即可求出的长，利用直线与圆相切的性质将和用含有t的式子表示出来，再通过即可求解出t的值； （3）过D作交延长线于G，连接，利用圆周角定理和角平分线的性质证得，进而可证明得到，然后由列方程求解即可．即可求解出t的值． 【小问1详解】 解：解：过M作于F，交于E，如图1， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵是的外接圆， ∴为的直径， 当时，，， 则，， ∴， ∴的半径为； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与直线的位置关系是相离， 故答案为：，相离； 【小问2详解】 ①如图， ∵P、Q运动的速度与的比相等， ∴圆心M在对角线上， 由图可知，P和Q两点在时在点B重合， 当时，直径为对角线是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：5； ②如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则，， 则， ∴， ∴， 中，， ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 过D作交延长线于G，连接，则 ∵，，， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得，（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形与圆的综合，涉及矩形的性质、圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识 的联系与运用，添加合适的辅助线和运用分类讨论思想求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期九年级期中测试 数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 5（x﹣1）＝3x B. C. D. 2. 甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数者都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别为，，，，这四个旅游团中年龄相近的旅游团是（　　） A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 丁团 3. 如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A在上，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，正方形的边长是2，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 方程 的解是____________． 10. 现有分别标有汉字“我”“爱”“附”“中”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，抽中卡片“爱”的概率是______． 11. 抛物线的对称轴是直线______． 12. 已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是______． 13. 已知一组数据1，5，2，4，x的平均数是3，则这组数据的方差为___________． 14. 如图，在中，弦于E点，C在圆上，，则的半径_____． 15. 如图，菱形的顶点、、在圆上，且，若点是圆周上任意一点且不与、、重合，则的度数为___________． 16. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 17. 函数在有最大值6，则实数的值是______． 18. 已知二次函数与x轴有两个交点，把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线有三个不同的公共点，则m的值为______． 三、解答题（本大题有10小题，共96分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 19. 已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 20. 2月20日，北京冬奥会圆满落幕．在这届举世瞩目的冬奥会中，谷爱凌“一飞冲天”，苏翊鸣“一鸣惊人”，短道速滑梦之队“一往无前”…运动健儿们挑战极限、攀登顶峰的精神鼓舞着无数人．为弘扬奥运精神，培养学生对体育的热爱，某随机抽取20名学生，进行“奥运知识知多少”的测试，满分10分，并绘制如下统计图． （1）这20名学生成绩的中位数是_______，众数是_______，平均数是________； （2）若成绩在9分及以上为优秀，请估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有多少名？ 21. 如图，在等腰中，，以为直径的分别与边，交于，两点，交于点．连接交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22. 已知二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，函数值的取值范围是_________． 23. 一只不透明的袋子中装有6个小球，分别标有1，2，3，4，5，6这6个号码，这些球除号码外都相同． （1）直接写出事件“从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍”的概率； （2）用画树状图或列表格等方法，求事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率． 24. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，且． （1）求证：是的切线； （2）若半径为5，，求的长． 25. 国庆假期期间，某酒店有20个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为100元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，酒店需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价x元（）． （1）每天有游客居住的房间数为 　 　（用含有x的式子表示）； （2）当每间房价为多少时，酒店当天的利润为1870元，且总支出最少？ （3）当每间房价定为多少元，酒店的利润W（元）最大，最大利润是多少？ 26. 已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （1）请求出抛物线对称轴及A、B两点坐标； （2）直接写出不等式时的解集； （3）已知线段的两个端点坐标、，当该抛物线与线段有交点时，求a的取值范围． 27. 如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标； （3）P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 28. 如图1，在矩形中，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒，是的外接圆． （1）当时，的半径是______cm，与直线的位置关系是______； （2）在点P从点A向点B运动过程中． ①圆心M的运动路径长是______cm； ②当与直线相切时，求t的值． （3）连接，交于点N，如图2，当时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $