精品解析：上海外国语大学附校东校2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试卷

上外附校东校2024－2025学年七年级下学期5月月考数学试卷 一．填空题（共15小题） 1. 等腰三角形一边长，另一边长，则该等腰三角形的周长是______． 2. 若三角形三个内角的关系满足，则该三角形按角分类为________三角形． 3. 如图，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F．若∠F＝60°，则∠A＝__． 4. 在△ABC中，∠C＝40°，把△ABC沿BC边上的高AH所在直线翻折，点C落在射线CB上的点C'处，如果∠BAC'＝20°，那么∠BAC＝_____度． 5. 如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则_____． 6. 如图，______． 7. 如图，，比大，平分，于E，于F，则_______． 8. 如图，，的顶点C在直线m上，若，，，则_______． 9. 如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 10. 已知是等腰一腰上的高，且，则三内角度数为_______． 11. 设O是等边三角形内一点，已知，，求以线段、、为边构成的三角形的各角的度数分布为_______． 12. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 13. 如图所示， 已知在中，、分别平分它的两个外角，并分别与两条边、的延长线交于点，若，则_______ 14. 如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 15. 在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于_______． 16. 已知是等腰三角形一腰上的高，且，求的顶角度数为_______． 二．选择题（共4小题） 17. 若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 上述三种情形都有可能 18. 已知两个三角形有一个角及这个角的一条邻边对应相等，若再增加以下某个条件，则不能判断这两个三角形全等的是（ ） A. 这条边上的高对应相等 B. 这条边上的中线对应相等 C. 这个角的角平分线对应相等 D. 这个角的另一条邻边对应相等 19. 给出下列说法： ①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②一个三角形中至少有两个角为锐角； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④不相交的两条直线叫做平行线； ⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ⑥若与互补，则与互余．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 20. 如图，已知和都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论，①；②；③；④是等边三角形；⑤；⑥平分；⑦平分；⑧．其中错误的有（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三．解答题（共4小题） 21. 已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：． 22. 如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． （1）求证：； （2）线段与有什么样的数量关系？请说明理由． 23. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN. (1)求证：MN＝BM＋NC； (2)求△AMN的周长． 24. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上外附校东校2024－2025学年七年级下学期5月月考数学试卷 一．填空题（共15小题） 1. 等腰三角形一边长，另一边长，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，掌握三角形三边数量关系，等腰三角形的定义是关键． 根据等腰三角形的定义，分类讨论即可． 【详解】解：当腰长为，底边长为， ∵，即，符合题意， ∴这个等腰三角形的周长为； 当腰长为，底边长为， ∵，不符合题意； 综上所述，该等腰三角形的周长是 故答案为： ． 2. 若三角形三个内角的关系满足，则该三角形按角分类为________三角形． 【答案】钝角 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理可得∠A+∠B+∠C=180°，再由∠C<2∠B，可得∠A+3∠B>180°．然后根据∠A>3∠B，可得2∠A>180°，即可求解． 【详解】解：因为∠A+∠B+∠C=180°， 又因为∠C<2∠B， 所以∠A+∠B+2∠B>180°，即∠A+3∠B>180°． 又因为∠A>3∠B， 所以2∠A>180°，即∠A>90°， 所以这个三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，不等式的性质，三角形的分类，熟练掌握三角形的内角和定理，不等式的性质，三角形的分类是解题的关键． 3. 如图，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F．若∠F＝60°，则∠A＝__． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线的定义及三角形的内角和定理可得，进而利用平角定义和三角形的内角和定理求解． 【详解】解：∵BF平分∠DBC，CF平分∠ECB， ∴∠ECB＝2∠BCF，∠DBC＝2∠CBF， ∵∠F＝60°， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练应用外角和内角的关系． 4. 在△ABC中，∠C＝40°，把△ABC沿BC边上的高AH所在直线翻折，点C落在射线CB上的点C'处，如果∠BAC'＝20°，那么∠BAC＝_____度． 【答案】80或120 【解析】 【分析】利用翻折变换的性质求出∠C′＝40°，分点B在线段CC′上和点B在CC′的延长线上两种情况，利用三角形内角和定理及外角性质求解． 【详解】解：如图，当点B在线段CC′上时． 由翻折的旋转可知，∠C′＝∠C＝40°， ∴∠ABC′＝180°﹣∠C′﹣∠BAC′＝180°﹣40°﹣20°＝120°， ∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣60°＝80°； 当点B在CC′的延长线上时， 由翻折的旋转可知，∠AC′C＝∠C＝40°， ∴∠B＝∠AC′C﹣∠BAC′＝40°﹣20°＝20°， ∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣40°﹣20°＝120°． 故答案为：80或120． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是注意分类讨论，属于中考常考题型． 5. 如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用证明，根据全等三角形的性质得到，，即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 6. 如图，______． 【答案】180 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行求解，即可得到答案． 【详解】解：如图， ，，，， 又， ， 即， 故答案为：180． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，灵活运用三角形的外角是解题关键． 7. 如图，，比大，平分，于E，于F，则_______． 【答案】80 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义等，先设，则，根据三角形的内角和定理得，进而根据角平分线的定义得，然后根据得，据此可得，最后再根据可得出的度数． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：80． 8. 如图，，的顶点C在直线m上，若，，，则_______． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，作，由平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，求出，由平行线的性质得出即可． 【详解】解：作，如图， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：50． 9. 如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 10. 已知是等腰一腰上的高，且，则三内角度数为_______． 【答案】、、或、、或、、 【解析】 【分析】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余求出，再分点A是顶角顶点，点A是底角或顶角顶点3种情况求解． 【详解】解：∵，是等腰腰上的高， ∴， ①如图1，点A是顶角顶点时，顶角为，是，两底角为； ②如图2，点A是底角顶点时，两底角是，顶角； ③如图3，点A是顶角顶点时，顶角，两底角是； 综上所述，等腰三内角度数为、、或、、或、、． 故答案为：、、或、、或、、． 11. 设O是等边三角形内一点，已知，，求以线段、、为边构成的三角形的各角的度数分布为_______． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质， 可通过旋转将旋转至，则可得是等边三角形，再根据旋转的性质得出线段三边构成的三角形为，进而求出各个角的大小即可． 【详解】解：将逆时针旋转，得到， ∴，， ∴是等边三角形． ∴ 又∵ ∴， 故以线段三边构成的三角形为 ∴ 故答案为：，， 12. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点C，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：11． 13. 如图所示， 已知在中，、分别平分它的两个外角，并分别与两条边、的延长线交于点，若，则_______ 【答案】##12度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，由三角形外角的定义和性质得出，，由等边对等角可得出，，等量代换可得出，再由三角形外角的定义和性质得出，即可得出，由三角形外角的定义和性质得出，由三角形内角和定理可得出，代入到计算即可得出． 【详解】解：∵、分别平分的两个外角 ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 14. 如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积．根据，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于_______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质；线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．分两种情况：为锐角，为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：分以下两种情况： 如图1，为锐角， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（此时点E和点C重合）； 如图2，为钝角， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 16. 已知是等腰三角形一腰上的高，且，求的顶角度数为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余求出，再分点A是顶角顶点（为锐角三角形、为钝角三角形），点A是底角顶点，分情况求解即可． 【详解】解：∵，是等腰腰上的高， ∴； ①如图1，点A是顶角顶点，为锐角三角形时，顶角为，是； ②如图2，点A是底角顶点时，两底角是，顶角； ③如图3，点A是顶角顶点，是钝角三角形时，顶角； 综上所述，等腰顶角度数为或或． 故答案为：或或． 二．选择题（共4小题） 17. 若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 上述三种情形都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断． 【详解】解：因为三角形是轴对称图形， 则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定方法，此题比较简单，易于掌握． 18. 已知两个三角形有一个角及这个角的一条邻边对应相等，若再增加以下某个条件，则不能判断这两个三角形全等的是（ ） A. 这条边上的高对应相等 B. 这条边上的中线对应相等 C. 这个角的角平分线对应相等 D. 这个角的另一条邻边对应相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据各选项提供的条件，分别画出图形，结合全等三角形的判定与性质逐一分析即可． 【详解】解：如图，由题意得：，， 增加：高高， ∴， ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； 增加：角平分线， 由角平分线的性质可得：，而， ∴， ∴，而，， ∴，故C不符合题意； 增加：， 显然：，故D不符合题意； 增加：中线， 无法证明全等，无法证明全等， ∴得不到全等，故B符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法与性质是解本题的关键． 19. 给出下列说法： ①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②一个三角形中至少有两个角为锐角； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④不相交的两条直线叫做平行线； ⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ⑥若与互补，则与互余．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查了相交线与平行线的一些基本概念以及三角形内角和定理、余角与补角的定义，根据垂线的性质，三角形内角和定理，点到直线的距离，平行线的定义与性质，余角与补角的定义进行判断即可． 【详解】解：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ②根据三角形内角和为度可知：在直角三角形和钝角三角形中都只有2个锐角，而锐角三角形的三个内角都是锐角．故一个三角形中至少有两个角为锐角，正确； ③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故③错误； ④平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故④错误； ⑤两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故⑤错误； ⑥若与互补，即 ∴ 则与互余，故⑥正确． 故说法正确的有3个． 故选：B． 20. 如图，已知和都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论，①；②；③；④是等边三角形；⑤；⑥平分；⑦平分；⑧．其中错误的有（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是 正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．由题中条件可得，得出，，，，求出，得出，进而得出，，从而证明是等边三角形，根据等边三角形的性质证明，得出，过B作于M，于N，得出，根据角平分线的判定得出平分，求出，，根据直角三角形的性质得出，，证明，得出，进而证明，从而证明；根据已知条件，不能证明平分，从而得出答案． 【详解】解：∵与为等边三角形， ∴，，， ∴，即，，， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故①②③④⑤正确； 过B作于M，于N，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴平分，⑦正确； ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即，故⑧错误； 根据已知条件，不能证明平分，故⑥错误； 综上分析可知：错误的有2个． 故选：C． 三．解答题（共4小题） 21. 已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据垂直的定义和余角的性质得到，再根据证明． 【详解】略 22. 如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． （1）求证：； （2）线段与有什么样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 过P作的平行线至于F， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴； （2） 结论：，理由： ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题综合考查等边三角形的性质、三线合一以及三角形全等的判定与性质等知识点．正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过P作的平行线至于F，易证是等边三角形，再证明与全等，得出结论； （2）利用是等边三角形，，得出，再由，得出，由此得出与的关系解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN. (1)求证：MN＝BM＋NC； (2)求△AMN的周长． 【答案】 (1)∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°. ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°， ∴∠DBA＝∠DCA＝90°， 延长AB至F，使BF＝CN，连接DF， 由SAS可证△BDF≌△CDN， ∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN， ∵∠MDN＝60°，∴∠FDM＝∠BDM＋∠CDN＝60°， 由SAS可证△DMN≌△DMF， ∴MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN （2）6. 【解析】 【分析】（1）先证明△BDF≌△CDN，得出∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，同时再证明△DMN≌△DMF，得出MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN. （2）根据MN＝MB＋CN，得出△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋AN＋CN＝AB＋AC＝6. 【详解】解：略 (1) (2)由(1)知MN＝MB＋CN， ∴△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋AN＋CN＝AB＋AC＝6 【点睛】本题属于开放性应用题，适当的构建三角形是解题的关键.题中构建辅助线的方法是“延长AB至F，使BF＝CN，连接DF”，这是本题的重点. 24. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． 【答案】（1），30 （2） ，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，再分两种情况说明或即可． 【小问1详解】 解：如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：，30． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴； 当F点在线段上时， 同法可证得：， ， ， ， ； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $