精品解析：广东省东莞市万江区翰林实验学校2024-2025学年下学期中考数学模拟试卷（一）

广东省东莞市万江区翰林实验学校2024-2025学年度 第二学期九年级中考数学模拟试卷（一） 试卷满分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数0，1，，，3中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2. 在以下的天气符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，两点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 小逸同学依据漏刻如图的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，实验发现水位单位：是关于时间单位：的一次函数，下表是小逸记录的数据，其中有一个h的值记录错误，则h的值记录错误的是(    ) A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，以为边作菱形，且，连接对角线，点是上一点，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：__________． 12. 三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位，将“580亿元”用科学记数法表示为______元． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为______ 14. 如图，在扇形中，，P为的中点，过点P作，，垂足分别为M，N，若，则图中阴影部分的面积为______. 15. 如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，则的长为______． 三、解答题一：本题共3小题，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）化简： 17. 某学校为了满足生物实验教学的需求，决定购买一批显微镜和光照培养箱.经市场调查，显微镜的价格为880元/台，光照培养箱的价格为600元/台.学校准备采购这两种器材共15台，且总费用不超过11000元，则最多可购买多少台显微镜？ 18. 为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区n户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图． （1）求n并补全条形统计图； （2）估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月用水量的家庭户数； （3）从月用水量为和的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户中月用水量为和恰好各有一户家庭的概率． 四、解答题二：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 某公司经销某种高度可调节的学生桌椅，公司购买50张桌子和60把椅子共需5200元，购买80张桌子和100把椅子共需8400元，在销售过程中，根据市场探查，每套桌椅以120元出售时，每天可售出60套；每套桌椅单价每降低1元，每天可多售出4套．为支持学校，公司决定在成本不变的情况下降价销售（成套销售），降价后每套桌椅的利润不低于15元，且利润率不高于18%，设每套桌椅降价x元（x为整数），每天的利润为y元． （1）求购买一套桌椅需多少钱？ （2）求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；销售桌椅一天的利润能不能达到1250元，请说明理由； （3）如果公司销售桌椅某天获得1216元的利润，公司应降价多少元？ 20. 数学兴趣小组利用无人机测量某建筑大楼的高度，如图，这是测量的示意图，在地面的点B处架设测角仪，测角仪的高度米，测得该建筑大楼的最高点D的仰角为，利用无人机在点B的正上方60米的点C处测得点D的俯角为，求该建筑大楼的高度．（结果精确到米，参考数据：，，，） 21. 如图，已知是等边三角形，边长为8，将绕点O顺时针旋转． （1）用尺规作出旋转后的三角形； （2）求点C的对应点的坐标； （3）求线段扫过的面积． 五、解答题三：本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 足球训练中，球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式， （2）已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为米，通过计算判断球是否会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素） （3）已知为上一点，米，米，现规定在球门上方点到点之间的区域（含点和点）为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过计算判断球是否能射进“死角区”． 23. 综合与探究 问题情境 已知矩形与矩形是大小完全相同的纸片．数学实践小组将矩形与矩形按如图所示的方式摆放，其中点与点重合，点落在边上，边与边的交点为 猜想证明 （1）请判断四边形的形状． 深入探究 （2）实践小组的同学在图的基础上，将矩形绕点顺时针旋转已知， ①如图，当点落在边上时，边与边的交点为，求两个矩形重叠部分四边形的面积； ②当点落在矩形的对角线所在的直线上时，直线与直线交于点，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省东莞市万江区翰林实验学校2024-2025学年度 第二学期九年级中考数学模拟试卷（一） 试卷满分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数0，1，，，3中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，根据负数小于0，0小于正数，两个负数绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：B． 2. 在以下的天气符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、积的乘方法则逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方等知识点，熟练掌握乘法公式、幂的运算法则及整式的运算法则是解题的关键． 4. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图），熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．画出题中“月壤砖”的俯视图，与各选项中的视图进行对比即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为 故选：． 5. 月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质的应用（根据平行线的性质求角的度数），熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，画出图形，由平行线的性质得到，进而求出的度数即可． 【详解】解：将太阳光板绕支点P顺时针旋转到位置时，太阳光，， ， ， ， ， ， 故选：． 6. 已知，两点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数函数值的比较，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，函数增减性是解题的关键． 根据题意可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，由此即可求解． 【详解】解：由条件可知二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 离对称轴直线越远，函数值越小， ，， ， 故选：B． 7. 如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据正弦的定义求出，进而求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，求角的正弦值，根据特殊角三角函数值求角的度数，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8. 不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．根据题意，列出表格，可得一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 红 白1 白2 红 （红，红） （白1，红） （白2，红） 白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1） 白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2） 一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种， 所以两次都摸出白球的概率是． 故选：C 9. 小逸同学依据漏刻如图的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，实验发现水位单位：是关于时间单位：的一次函数，下表是小逸记录的数据，其中有一个h的值记录错误，则h的值记录错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．设水位单位：关于时间单位：的函数解析式为，然后把，代入解析式求出函数解析式，再将和代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题． 【详解】解：设水位单位：关于时间单位：的函数解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， ， 当时，， 当时，； 点不在该函数图象上，与题目中有一个h的值记录错误相符合， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，以为边作菱形，且，连接对角线，点是上一点，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，作出点P，D，过点作交轴于点，过点作轴，垂足为，首先得到，求出，，然后得到，，然后利用三角函数求出，设，则，勾股定理求出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图，作出点P，D，过点作交轴于点，过点作轴，垂足为， 四边形是菱形， ，， ∴， ，， ， 由旋转得，， ，即， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，可得， 解得， ，， ∴点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了坐标与图形综合，旋转的性质，菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键；先计算二次根式的乘法，化简二次根式，再计算加减即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位，将“580亿元”用科学记数法表示为______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：580亿元， 故答案为：． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为______ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，结合点在函数图象上，利用待定系数法求出这个反比例函数的解析式；再令，求出对应的I的值即可． 【详解】解：设反比例函数式， 把代入反比例函数式， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 14. 如图，在扇形中，，P为的中点，过点P作，，垂足分别为M，N，若，则图中阴影部分的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据已知条件证明四边形是矩形，再根据P为的中点，证明，进而证明四边形是正方形，然后根据勾股定理求出，最后根据“阴影部分的面积扇形的面积正方形的面积”列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， 为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理得： ， 阴影部分的面积扇形的面积正方形的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，求扇形面积，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定，弧弦圆心角的关系等知识点，根据已知条件证明四边形是正方形是解题的关键． 15. 如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，先证明得，，再在中利用正切的定义得到，设，，则，，，接着证明得到，然后在中利用正切的定义得到，解得，然后在中利用勾股定理可计算出． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵在中，， 设，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， 在中，， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理定理，平行线的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理，构建是解题的关键． 三、解答题一：本题共3小题，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）化简： 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先去绝对值，计算乘方和括号内的式子，再算乘法，然后算加减法即可； （2）先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分即可． 本题考查有理数的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 17. 某学校为了满足生物实验教学的需求，决定购买一批显微镜和光照培养箱.经市场调查，显微镜的价格为880元/台，光照培养箱的价格为600元/台.学校准备采购这两种器材共15台，且总费用不超过11000元，则最多可购买多少台显微镜？ 【答案】最多可购买7台显微镜． 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求出购买显微镜数量的取值范围，从而可以得到最多可购买多少台显微镜． 【详解】解：设购买x台显微镜，则购买了台光照培养箱， 由题意可得：， 解得：， 为整数， 的最大值为7， 答：最多可购买7台显微镜． 18. 为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区n户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图． （1）求n并补全条形统计图； （2）估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月用水量的家庭户数； （3）从月用水量为和的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户中月用水量为和恰好各有一户家庭的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如图所示． （2）231户 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解题关键． （1）用条形统计图中月用水量和的家庭户数除以扇形统计图中月用水量和家庭户数占比可得n的值；分别求出月用水量的家庭户数和月用水量的家庭户数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用420乘以月用水量，，的家庭户数所占的百分比之和，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及选出的两户中月用水量为和恰好各有一户家庭的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：， 由题意得，月用水量和的家庭户数为（户）， 月用水量和的家庭户数为（户）， 月用水量的家庭户数为户，月用水量的家庭户数为（户） 【小问2详解】 解：（户） 估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月用水量的家庭户数约231户． 【小问3详解】 解：将月用水量为的2户家庭分别记为A、B，月用水量为的2户家庭分别记为C、D， 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中选出的两户中月用水量为和恰好各有一户家庭的结果有：，，，，，，，，共8种， 选出的两户中月用水量为和恰好各有一户家庭的概率为 ． 四、解答题二：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 某公司经销某种高度可调节的学生桌椅，公司购买50张桌子和60把椅子共需5200元，购买80张桌子和100把椅子共需8400元，在销售过程中，根据市场探查，每套桌椅以120元出售时，每天可售出60套；每套桌椅单价每降低1元，每天可多售出4套．为支持学校，公司决定在成本不变的情况下降价销售（成套销售），降价后每套桌椅的利润不低于15元，且利润率不高于18%，设每套桌椅降价x元（x为整数），每天的利润为y元． （1）求购买一套桌椅需多少钱？ （2）求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；销售桌椅一天的利润能不能达到1250元，请说明理由； （3）如果公司销售桌椅某天获得1216元的利润，公司应降价多少元？ 【答案】（1）购买一套桌椅需要100元 （2） 不能达到，理由如下： ． 自变量的取值范围是， 解得（为整数）， 由题意得． ，此方程无解， 销售桌椅一天的利润不能达到1250元； （3）降价4元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）设购买一张学生桌子需要m元，购买一把椅子需要n元，根据题意列二元一次方程组，求解即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，由，得到关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）令，得到关于x的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设购买一张学生桌子需要m元，购买一把椅子需要n元． 依题意可得， 解得， ， 答：购买一套桌椅需要100元； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得， ，． ， ， 即降价4元． 20. 数学兴趣小组利用无人机测量某建筑大楼的高度，如图，这是测量的示意图，在地面的点B处架设测角仪，测角仪的高度米，测得该建筑大楼的最高点D的仰角为，利用无人机在点B的正上方60米的点C处测得点D的俯角为，求该建筑大楼的高度．（结果精确到米，参考数据：，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角、俯角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 过点D作，垂足为点M，设的长为米，则米，由锐角三角函数的定义可得，再根据列出方程，解方程即可求出和的长，然后根据即可求出该建筑大楼的高度． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为点M， ， ， 由题意得： ，，米， 设的长为米， 在中，米， 在中，， ， ， ， 解得：， 米， 该建筑大楼的高度约为米． 21. 如图，已知是等边三角形，边长为8，将绕点O顺时针旋转． （1）用尺规作出旋转后的三角形； （2）求点C的对应点的坐标； （3）求线段扫过的面积． 【答案】（1） 如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转前后图形是全等形的性质，且将绕点O顺时针旋转的条件，进行作图即可； （2）根据等边三角形的性质以及勾股定理，分别得出，结合点所在的象限，作进一步的分析，即可作答． （3）运用扇形面积公式代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如上图所示： 点C的对应点的坐标是点， ∵是等边三角形，边长为8， ∴ ∴ ∵点在第三象限 ∴； 【小问3详解】 解：∵是等边三角形，边长为8，将绕点O顺时针旋转 ∴ 五、解答题三：本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 足球训练中，球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式， （2）已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为米，通过计算判断球是否会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素） （3）已知为上一点，米，米，现规定在球门上方点到点之间的区域（含点和点）为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过计算判断球是否能射进“死角区”． 【答案】（1） （2）球会被守门员扑到 （3）球不能射进“死角区” 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式，二次函数图象平移规律． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，根据，即可得出结论； （3）根据抛物线的平移规律，求得设抛物线为，再当时，，比较大小，即可得出结论. 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把代入，得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴球会被守门员扑到． 【小问3详解】 解：∵射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时， ∴抛物线的顶点坐标为，即， ∴则抛物线为， 当时，， ∵， ∴球不能射进“死角区”． 23. 综合与探究 问题情境 已知矩形与矩形是大小完全相同的纸片．数学实践小组将矩形与矩形按如图所示的方式摆放，其中点与点重合，点落在边上，边与边的交点为 猜想证明 （1）请判断四边形的形状． 深入探究 （2）实践小组的同学在图的基础上，将矩形绕点顺时针旋转已知， ①如图，当点落在边上时，边与边的交点为，求两个矩形重叠部分四边形的面积； ②当点落在矩形的对角线所在的直线上时，直线与直线交于点，请直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形是正方形 （2）①； ②CQ的长为 【解析】 【分析】本题考查的是四边形综合题，涉及到三角形相似、面积的计算，正确作图和分类求解是解题的关键． （1）四边形和四边形是大小完全相同的矩形，，，则四边形是平行四边形，即可求解； （2）①证明，则，即可求解； ②当点在线段上时，由，得到，即，即可求解；当点在线段的延长线上时，同理可解． 【详解】解：（1）∵四边形A和四边形是大小完全相同的矩形， ，，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形； （2）①在中，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②的长为，理由： 如题干图，当点在线段上时， ， ， ， ， ， ， ，即， 则； 当点在线段的延长线上时， 则， ，， ， ：：，即， 解得：， 综上，的长为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $