13.2 与三角形有关的线段 同步课堂讲义2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

13.2 与三角形有关的线段 讲解目录 【知识点1】三角形的稳定性 1 【知识点2】三角形三边关系 3 【知识点3】三角形的角平分线、中线和高 4 【知识点4】三角形的重心 5 【题型1】三角形的概念 7 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 7 【题型3】三角形的个数 8 【题型4】三角形的分类 9 【题型5】三角形中线的定义 10 【题型6】利用三角形的中线求长度 11 【题型7】利用三角形的中线求面积 12 【题型8】三角形的重心 13 【题型9】三角形的角平分线 15 【题型10】三角形的垂心 15 【题型11】三角形的中线、角平分线、高的综合 16 【题型12】利用网格求三角形的面积 17 知识巩固 【知识点1】三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． · 即学即练 1.（2024秋•乐陵市期末）小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请在下列选项中选择一个最好的加固方案（　　） A． B． C． D． 2.（2024秋•宜州区期末）2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形两边之和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 3.（2024秋•北流市期末）如图，木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 4.（2025•松原模拟）如图，高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是 ______． 5.（2025春•鼓楼区校级期末）如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是三角形具有 ______． 【知识点2】三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． · 即学即练 1.（2024秋•江山市期末）已知三角形的两边长分别为3，6，则第三边的长不可能是（　　） A．4 B．6 C．8.5 D．10 2.（2024秋•贵池区期末）△ABC中，AB=6，BC=2，若边AC的长为偶数，则△ABC的周长为（　　） A．12 B．14 C．15 D．16 3.（2025•河北模拟）如图，x的值可能是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 5.（2025春•金山区期中）如果△ABC的两边长分别为5和7，那么第三边x的取值范围是 ______． 【知识点3】三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． · 即学即练 1.（2025春•西山区校级期末）下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 2.（2024秋•延庆区期末）如图，在△ABC中，AB边上的高线是（　　） A．线段AD B．线段AF C．线段BG D．线段CE 3.（2025春•惠来县期末）如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．BA=2BF B．∠ACE=∠ACB C．AE=BE D．CD⊥AB 4.（2024秋•肇庆期中）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm,AB比AC长6cm,则△ACD的周长为______cm. 5.（2024秋•东莞市校级期中）如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若BE=3，则BC=______． 【知识点4】三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）． · 即学即练 1.（2024秋•广阳区期末）已知：如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，则下列命题中正确的是（　　） A．AD是∠BAC的平分线 B．AD是BC边上的高 C．AD是BC边上的中线 D．AD是BC边上的中垂线 2.（2025•许昌一模）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE交于点G．若BG=6，则EG=（　　） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 3.（2024秋•九台区期末）如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长线段BG、CG，交边AC、AB于点E，D．若BE=15，则BG的长是（　　） A．5 B．7.5 C．9 D．10 4.（2024秋•威县期末）如图，点O是△ABC的重心，则BD ______CD．（填“＞”“=”或“＜”） 5.（2024秋•阜宁县月考）如图，AD为△ABC的中线，G为△ABC的重心，若AG=6，则AD= ______． 题型专练 【题型1】三角形的概念 【典型例题】下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是　   　；在△ACD中，∠C所对的边是　    　． 【举一反三2】下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 【典型例题】如图，小强用a，b，c表示△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，则正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在中，的对边是（   ） A. B. C. D. 【题型3】三角形的个数 【典型例题】在如图所示的图形中，三角形的个数为（　　） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【举一反三1】如图，共有 　     　个三角形． 【举一反三2】如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【举一反三3】如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A.10 B.15 C.21 D.28 【举一反三4】图中有几个三角形?用符号表示这些三角形. 【题型4】三角形的分类 【典型例题】若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（　　） A.M表示等边三角形 B.M表示锐角三角形 C.P表示等腰三角形 D.N表示三边都不相等的三角形 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠BAC＝87°，AD⊥BC，则图中一共有 　   　个三角形，其中锐角三角形有 　     个，直角三角形有 　   　个，钝角三角形有 　   　个． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD． （1）写出△ABE的三个内角； （2）在△ABD中，∠B的对边是 　   　；在△ABC中，∠B的对边是 　  　． （3）图中共有几个三角形？把它们分别写出来．这些三角形中，哪些是直角三角形？哪些是锐角三角形？哪些是钝角三角形？ （4）∠ADC是哪几个三角形的公共角？ 【举一反三3】如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【举一反三4】三角形按边分类用如图来表示，图中小圆里的表示（    ）    A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【题型5】三角形中线的定义 【典型例题】如图，AD⊥BC于点D，则以AD为高的三角形有________个． 【举一反三1】如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若DC＝6，则AE的长度为（　　） A.3 B.6 C.9 D.12 【举一反三2】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，下列四条线段中，是△ABC的中线的是（　　） A.线段DE B.线段BE C.线段EF D.线段FG 【举一反三3】如图，下面是某同学的折纸示意图，则是的（   ） A.高线 B.角平分线 C.中线 D.垂直平分线 【举一反三4】如图，是的三条中线，若的周长是．则的长为        cm．    【题型6】利用三角形的中线求长度 【典型例题】如图，在中，，是边上的中线，若的周长为35，则的周长是（　　） A.20 B.29 C.26 D.28 【举一反三1】如图，已知是的边上的中线，若，，的周长比的周长多2，则的长为（    ）    A.14 B.12 C.10 D.8 【举一反三2】如图，点D是的重心，连接并延长交于点E，，的周长比的周长大2，则的大小为      ． 【举一反三3】如图，已知为的中线，，的周长为，则的周长为         cm． 【举一反三4】如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为     cm． 【题型7】利用三角形的中线求面积 【典型例题】如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三1】如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，面积为，，，则的面积等于（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，把的各边延长2倍至，，，那么的面积是的面积的（   ） A.4倍 B.7倍 C.19倍 D.20倍 【举一反三4】如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为        ． 【题型8】三角形的重心 【典型例题】如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为        【举一反三1】如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（    ）    A.①②③⑤ B.①②③④ C.②③⑥ D.①②⑤⑥ 【举一反三2】如图，在中，交边．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（    ） A.平分 B. C. D.的周长等于的周长 【举一反三3】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则的重心是（     ） A.点D B.点E C.点F D.点G 【举一反三4】如图，是的重心，连接并延长交，连接并延长交．若的面积是，则四边形的面积是      ． 【题型9】三角形的角平分线 【典型例题】如图，AD，CE是△ABC的角平分线．若∠BAD＝28°，则∠ACE=30°，则∠BAC+∠BCA＝　　　　　　　． 【举一反三1】如图，是的角平分线，则平分           ，                      ，且点在边上． 【题型10】三角形的垂心 【典型例题】如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A.锐角三角形　　　 B.钝角三角形　　　 C.直角三角形　　　 D.不能确定 【举一反三1】如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（　　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【举一反三2】如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交若，，，则（  ）    A. B. C. D. 【举一反三3】在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（    ） A.是锐角 B.是直角 C.是钝角 D.是锐角或钝角 【题型11】三角形的中线、角平分线、高的综合 【典型例题】如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（　　） ①CH是△ACD边AD上的高； ②BE是△ABD边AD上的中线； ③AD是△ABE的角平分线； ④AH是△ACF的角平分线和高． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】在△ABC中，BD是△ABC的高线，CE平分∠ACB，交BD于点E，BE＝6，DC＝3，则△BCE的面积等于（　　） A.3 B.5 C.9 D.12 【举一反三2】如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A.是的中线 B.是的角平分线 C. D.是的高 【举一反三3】如图，的中线，角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A.是的角平分线 B.是的角平分线 C.是的中线 D.是的角平分线 【题型12】利用网格求三角形的面积 【典型例题】如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于   ． 【举一反三1】如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A. B. C. D.无法比较 【举一反三3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三4】如图所示的正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为       ．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2 与三角形有关的线段 讲解目录 【知识点1】三角形的稳定性 1 【知识点2】三角形三边关系 4 【知识点3】三角形的角平分线、中线和高 6 【知识点4】三角形的重心 9 【题型1】三角形的概念 11 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 12 【题型3】三角形的个数 13 【题型4】三角形的分类 15 【题型5】三角形中线的定义 17 【题型6】利用三角形的中线求长度 19 【题型7】利用三角形的中线求面积 22 【题型8】三角形的重心 25 【题型9】三角形的角平分线 27 【题型10】三角形的垂心 28 【题型11】三角形的中线、角平分线、高的综合 30 【题型12】利用网格求三角形的面积 33 知识巩固 【知识点1】三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． · 即学即练 1.（2024秋•乐陵市期末）小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请在下列选项中选择一个最好的加固方案（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形具有稳定性，即可判断． 【解答】解：A、C、D中长方形框架的加固方案具有四边形结构，四边形具有不稳定性，框架很容易变形，故A、C、D不符合题意； B、长方形框架的加固方案具有三角形结构，三角形具有稳定性，框架不容易变形，故B符合题意． 故选：B． 2.（2024秋•宜州区期末）2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形两边之和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【解答】解：自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：C． 3.（2024秋•北流市期末）如图，木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【解答】解：木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的几何原理是三角形的稳定性， 故选：C． 4.（2025•松原模拟）如图，高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是 ______． 【答案】三角形的稳定性． 【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【解答】解：高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是：三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 5.（2025春•鼓楼区校级期末）如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是三角形具有 ______． 【答案】稳定性． 【分析】由三角形具有稳定性，即可得到答案 【解答】解：港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是三角形具有稳定性． 故答案为：稳定性． 【知识点2】三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． · 即学即练 1.（2024秋•江山市期末）已知三角形的两边长分别为3，6，则第三边的长不可能是（　　） A．4 B．6 C．8.5 D．10 【答案】D 【分析】设三角形第三边的长是x,由三角形三边关系定理得到3＜x＜9，即可得到答案． 【解答】解：设三角形第三边的长是x, ∴6-3＜x＜3+6， ∴3＜x＜9， ∴第三边的长不可能是10． 故选：D． 2.（2024秋•贵池区期末）△ABC中，AB=6，BC=2，若边AC的长为偶数，则△ABC的周长为（　　） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长． 【解答】解：∵AB=6，BC=2， ∴6-2＜AC＜6+2， 即4＜AC＜8， ∵AC为偶数， ∴AC=6， ∴△ABC的周长为：6+2+6=14， 故选：B． 3.（2025•河北模拟）如图，x的值可能是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】在两个三角形中分别利用三角形的三边关系求解即可求得x的取值范围，继而求得答案． 【解答】解：∵两边长分别为8，9， ∴此时1＜x＜17， 又∵两边长分别为5，18， ∴此时13＜x＜23， ∵x的取值范围为：13＜x＜17． ∴x的值可能是14． 故选：D． 4.（2025春•崇明区期末）有4条线段的长度分别是4cm,7cm,8cm和11cm,选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 ______个不同的三角形． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形三边关系，边两边之和大于第三，可解题． 【解答】解：（1）当取4cm、7cm,8cm三条线段时，∵4+7=11＞8，8-4=4＜8，故能构成三角形； （2）当取4cm、7cm、11cm三条线段时，∵4+7=11=11，故不能构成三角形； （3）当取4cm、8cm、11cm三条线段时，∵4+8=12＞11，11-4=7＜8，故能构成三角形； （4）当取7cm、8cm、11cm三条线段时，∵7+8=15＞11，11-7=4＜8，故能构成三角形． 故答案为：3． 5.（2025春•金山区期中）如果△ABC的两边长分别为5和7，那么第三边x的取值范围是 ______． 【答案】2＜x＜12． 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：7-5＜x＜7+5， ∴2＜x＜12． 故答案为：2＜x＜12． 【知识点3】三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． · 即学即练 1.（2025春•西山区校级期末）下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形高的定义，过A点作BC的垂线，垂线段为BC边的高，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：△ABC的边BC上的高为AE，如图， ． 故选：B． 2.（2024秋•延庆区期末）如图，在△ABC中，AB边上的高线是（　　） A．线段AD B．线段AF C．线段BG D．线段CE 【答案】D 【分析】直接利用高线的概念（从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高）得出答案． 【解答】解：如图，∵CE⊥BA延长线于E， ∴△ABC中AB边上的高线是线段CE． 故选：D． 3.（2025春•惠来县期末）如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．BA=2BF B．∠ACE=∠ACB C．AE=BE D．CD⊥AB 【答案】C 【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解． 【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线， ∴CD⊥AB，∠ACE=∠ACB，AB=2BF，无法确定AE=BE． 故选：C． 4.（2024秋•肇庆期中）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm,AB比AC长6cm,则△ACD的周长为______cm. 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， ∴△ABD和△ACD周长的差=（AB+BD+AD）-（AC+AD+CD）=AB-AC， ∵△ABD的周长为25cm,AB比AC长6cm, ∴△ACD周长为：25-6=19cm. 故答案为19． 5.（2024秋•东莞市校级期中）如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若BE=3，则BC=______． 【答案】12． 【分析】根据三角形中线的定义得出BD=2BE=6，BC=2BD=12，即可求解． 【解答】解：∵AE是△ABD的中线，BE=3， ∴BD=2BE=6， ∵AD是△ABC的中线， ∴BC=2BD=12 故答案为：12． 【知识点4】三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）． · 即学即练 1.（2024秋•广阳区期末）已知：如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，则下列命题中正确的是（　　） A．AD是∠BAC的平分线 B．AD是BC边上的高 C．AD是BC边上的中线 D．AD是BC边上的中垂线 【答案】C 【分析】根据三角形的重心的性质，是三角形各边中点连线即可求解． 【解答】解：∵点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D， ∴AD是BC边上的中线． 故选：C． 2.（2025•许昌一模）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE交于点G．若BG=6，则EG=（　　） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】直接根据三角形重心的性质解决问题． 【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE交于点G． ∴G点为△ABC的重心， ∴GE=BG=×6=3． 故选：D． 3.（2024秋•九台区期末）如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长线段BG、CG，交边AC、AB于点E，D．若BE=15，则BG的长是（　　） A．5 B．7.5 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据三角形重心的性质求解即可． 【解答】解：∵点G是△ABC的重心， ∴BG=2GE， ∵BE=BG+GE=15， ∴BG=10， 故选：D． 4.（2024秋•威县期末）如图，点O是△ABC的重心，则BD ______CD．（填“＞”“=”或“＜”） 【答案】见试题解答内容 【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，由此即可得到答案． 【解答】解：根据重心是三角形三条中线的交点，得到BD=CD， 故答案为：=． 5.（2024秋•阜宁县月考）如图，AD为△ABC的中线，G为△ABC的重心，若AG=6，则AD= ______． 【答案】9． 【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【解答】解：由条件可知， ∴AD=AG+DG=6+3=9， 故答案为：9． 题型专练 【题型1】三角形的概念 【典型例题】下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 故选：C． 【举一反三1】如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是　   　；在△ACD中，∠C所对的边是　    　． 【答案】AB；AD 【解析】解：在△ABC中，∠C所对的边是AB；在△ACD中，∠C所对的边是AD， 故答案为：AB；AD． 【举一反三2】下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：首尾顺次相接得到三角形的是B选项． 【举一反三3】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形． 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 【典型例题】如图，小强用a，b，c表示△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，则正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：用a，b，c表示△ABC的∠A，∠B，∠C的对边正确的图是： ； 故选：A． 【举一反三1】如图，在中，的对边是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：在△中，的对边是． 【题型3】三角形的个数 【典型例题】在如图所示的图形中，三角形的个数为（　　） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【答案】C 【解析】解：图中的三角形有：△CBD，△CBE，△CBA，△CDE，△CDA，△CEA，共6个． 故选：C． 【举一反三1】如图，共有 　     　个三角形． 【答案】6 【解析】解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6个． 故答案为：6 【举一反三2】如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A 【解析】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 【举一反三3】如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A.10 B.15 C.21 D.28 【答案】C 【解析】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为3=1+2； 第③个图中三角形的个数为6=1+2+3； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑥个图形中三角形的个数为． 【举一反三4】图中有几个三角形?用符号表示这些三角形. 【答案】解：图中共有6个三角形，它们分别是 △ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC. 【题型4】三角形的分类 【典型例题】若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（　　） A.M表示等边三角形 B.M表示锐角三角形 C.P表示等腰三角形 D.N表示三边都不相等的三角形 【答案】C 【解析】三角形根据边分类如下： ， 由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形． 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠BAC＝87°，AD⊥BC，则图中一共有 　   　个三角形，其中锐角三角形有 　     个，直角三角形有 　   　个，钝角三角形有 　   　个． 【答案】6；2；3；1． 【解析】通过观察可知，图中一共有6个三角形，分别为：△ABC，△ABD，△ABE，△ADE，△ADC，△ACE，其中锐角三角形有2个，分别为：△ABE，△BAC，直角三角形有3个，分别为：△ABD，△ADE，△ADC，钝角三角形有1个，是△AEC． 故答案为：6；2；3；1． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD． （1）写出△ABE的三个内角； （2）在△ABD中，∠B的对边是 　   　；在△ABC中，∠B的对边是 　  　． （3）图中共有几个三角形？把它们分别写出来．这些三角形中，哪些是直角三角形？哪些是锐角三角形？哪些是钝角三角形？ （4）∠ADC是哪几个三角形的公共角？ 【答案】解：（1）△ABE的三个内角是：∠BAE，∠B，∠AEB； （2）在△ABD中，∠B的对边是AD；在△ABC中，∠B的对边是AC． 故答案为：AD；AC； （3）图中共有6个三角形，分别是：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC． 这些三角形中，直角三角形是：△ABE，△ADE，△AEC；锐角三角形是：△ABC，△ADC；钝角三角形是：△ABD． 故答案为：6； （4）∠ADC是△ADE，△ADC的公共角． 【举一反三3】如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】A 【解析】解：依题意，三角形露出的部分为钝角， ∴我们可以判定此三角形的类型为钝角三角形． 【举一反三4】三角形按边分类用如图来表示，图中小圆里的表示（    ）    A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【答案】D 【解析】解： 图中小圆里的表示等边三角形． 【题型5】三角形中线的定义 【典型例题】如图，AD⊥BC于点D，则以AD为高的三角形有________个． 【答案】6 【解析】解：∵AD⊥BC，∴以AD为高的三角形有△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△ACE，共6个． 【举一反三1】如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若DC＝6，则AE的长度为（　　） A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】A 【解析】解：∵BD是△ABC的中线， ∴CD＝AD， ∵DC＝6， ∴AD＝6， ∵BE是△ABD的中线， ∴AE＝ED＝AD＝3， 故选：A． 【举一反三2】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，下列四条线段中，是△ABC的中线的是（　　） A.线段DE B.线段BE C.线段EF D.线段FG 【答案】B 【解析】解：△ABC的中线一定过该三角形的一顶点，观察图形，点E是AC的中点，边AC所对顶点为B，则BE是△ABC的中线． 故选：B． 【举一反三3】如图，下面是某同学的折纸示意图，则是的（   ） A.高线 B.角平分线 C.中线 D.垂直平分线 【答案】C 【解析】根据折叠的性质得， 是的中线． 【举一反三4】如图，是的三条中线，若的周长是．则的长为        cm．    【答案】5 【解析】∵是的三条中线， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴． 【题型6】利用三角形的中线求长度 【典型例题】如图，在中，，是边上的中线，若的周长为35，则的周长是（　　） A.20 B.29 C.26 D.28 【答案】B 【解析】∵是边上的中线， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∵的周长为35， ∴的周长为． 【举一反三1】如图，已知是的边上的中线，若，，的周长比的周长多2，则的长为（    ）    A.14 B.12 C.10 D.8 【答案】C 【解析】∵是的边 上的中线， 又 ∵的周长比的周长多2， 即 ， ． 【举一反三2】如图，点D是的重心，连接并延长交于点E，，的周长比的周长大2，则的大小为      ． 【答案】3 【解析】∵点D是的重心， ∴是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∴， ∵， ∴． 【举一反三3】如图，已知为的中线，，的周长为，则的周长为         cm． 【答案】21 【解析】∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴. 【举一反三4】如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为     cm． 【答案】 【解析】∵是的中线， ∴， ∵的周长为，的周长，且的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴． 【题型7】利用三角形的中线求面积 【典型例题】如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8， ∴S△ABD＝S△ABC＝4， ∵E是AB的中点， ∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2， 故选：A． 【举一反三1】如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 即为． 【举一反三2】如图，面积为，，，则的面积等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设的面积为，则的面积为， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴的面积为，的面积为， ∴． 【举一反三3】如图，把的各边延长2倍至，，，那么的面积是的面积的（   ） A.4倍 B.7倍 C.19倍 D.20倍 【答案】C 【解析】如图，连接，，， ∵的各边延长2倍至，，， ∴，，，，，， ∴ ． 【举一反三4】如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为        ． 【答案】3 【解析】∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴． 【题型8】三角形的重心 【典型例题】如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为        【答案】 【解析】解：由题可知，点O是的重心， ∴， 如图所示，过点B作交AD的延长线与点G， ∴， 故答案为：． 【举一反三1】如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（    ）    A.①②③⑤ B.①②③④ C.②③⑥ D.①②⑤⑥ 【答案】B 【解析】解：∵和是的中线， ∴，分别为，的中点， ∴，，故①正确； ∵和是的中线， ∴点是的重心，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵点是的重心， ∴过的直线平分线段，故④正确； 根据已知条件无法判定，，故⑤，⑥错误． 故选：B． 【举一反三2】如图，在中，交边．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（    ） A.平分 B. C. D.的周长等于的周长 【答案】C 【解析】因为的重心为，点在线段上， 所以，故C符合题意； 不一定平分，不一定垂直，只有当时的周长等于的周长， 所以A，B，D都不符合题意． 【举一反三3】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则的重心是（     ） A.点D B.点E C.点F D.点G 【答案】A 【解析】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点， ∴点是的重心． 【举一反三4】如图，是的重心，连接并延长交，连接并延长交．若的面积是，则四边形的面积是      ． 【答案】 【解析】 是的重心， 是的中线， ， 四边形的面积． 【题型9】三角形的角平分线 【典型例题】如图，AD，CE是△ABC的角平分线．若∠BAD＝28°，则∠ACE=30°，则∠BAC+∠BCA＝　　　　　　　． 【答案】116° 【解析】解：由AD ，CE是△ABC的角平分线，可得∠BAC+∠BCA＝2∠BAD+2∠ACE=116°， 故答案为：116°． 【举一反三1】如图，是的角平分线，则平分           ，                      ，且点在边上． 【答案】 【题型10】三角形的垂心 【典型例题】如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A.锐角三角形　　　 B.钝角三角形　　　 C.直角三角形　　　 D.不能确定 【答案】C 【解析】解：A.锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误； B.钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误； C.直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确； D.能确定C正确，故错误． 【举一反三1】如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（　　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【答案】C 【解析】解：钝角三角形的三条高线交于三角形的外部， 故选：C． 【举一反三2】如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交若，，，则（  ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点）， ∵， ，，， ∴， ∴． 【举一反三3】在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（    ） A.是锐角 B.是直角 C.是钝角 D.是锐角或钝角 【答案】D 【解析】∵三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部， ∴是钝角三角形， ∵， ∴与一个锐角一个钝角，具体谁是钝角无法确定， ∴是锐角或钝角. 【题型11】三角形的中线、角平分线、高的综合 【典型例题】如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（　　） ①CH是△ACD边AD上的高； ②BE是△ABD边AD上的中线； ③AD是△ABE的角平分线； ④AH是△ACF的角平分线和高． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】解：①∵CF⊥AD于H， ∴CH是△ACD边AD上的高，本小题判断正确； ②∵G为AD的中点， ∴BG是△ABD边AD上的中线，故本选项判断错误； ③∵∠1＝∠2， ∴AG是△ABE的角平分线；故本选项判断错误； ④∵CF⊥AD，∠1＝∠2， ∴AH是△ACF的角平分线和高，本小题判断正确； 故选：B． 【举一反三1】在△ABC中，BD是△ABC的高线，CE平分∠ACB，交BD于点E，BE＝6，DC＝3，则△BCE的面积等于（　　） A.3 B.5 C.9 D.12 【答案】C 【解析】解：∵CD⊥BD ∴线段CD是△BCE中BE边上的高 ∴， 故选：C． 【举一反三2】如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A.是的中线 B.是的角平分线 C. D.是的高 【答案】C 【解析】∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 【举一反三3】如图，的中线，角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A.是的角平分线 B.是的角平分线 C.是的中线 D.是的角平分线 【答案】D 【解析】A项，∵的中线，角平分线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B项，∵不一定等于，∴不一定是的角平分线，B错误； C项，在中，，∴不一定是的中线，C错误； D项，∵， ∴是的角平分线，D正确． 【题型12】利用网格求三角形的面积 【典型例题】如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于   ． 【答案】4.5 【解析】解：由图可知：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4.5． 【举一反三1】如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】． 【举一反三2】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A. B. C. D.无法比较 【答案】B 【解析】， ， ． 【举一反三3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵的面积为4， ∴边上的高为， ∴点C的位置如图所示，共有3个． 【举一反三4】如图所示的正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为       ．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$