13.1 三角形的概念 同步课堂讲义2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

13.1 三角形的概念 讲解目录 【知识点1】三角形的概念 1 【知识点2】等腰三角形的性质 3 【知识点3】等边三角形的性质 5 【题型1】三角形的概念相关问题 8 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 9 【题型3】三角形的个数问题 10 【题型4】三角形的分类问题 12 知识巩固 【知识点1】三角形的概念 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． · 即学即练 1.（2025春•龙岗区期中）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据钝角三角形的定义作答即可． 【解答】解：由三角形中有1个已知角为钝角， ∴这个三角形是钝角三角形； 故选：C． 2.（2024秋•鄞州区期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 3.（2025春•泌阳县月考）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【解答】解：以D为顶点的三角形有△ADE，△ADC，△BDE，△ADB共4个三角形， 故选：B． 4.（2025春•宝安区期中）在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：______． 【答案】三角形具有稳定性． 【分析】根据三角形具有稳定性即可求解． 【解答】解：这样做的依据是：三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【知识点2】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质      ①等腰三角形的两腰相等      ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】      ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． · 即学即练 1.（2024秋•昆明期末）如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB=QC=PQ，则∠BAC的度数为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得到其三个内角都为60°，PQ=AP=AQ，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠BAP=∠QAC=30°，然后利用三个角相加即可求出所求角的度数． 【解答】解：∵△APQ为等边三角形， ∴PQ=AP=AQ，∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°， ∵PB=QC=PQ， ∴BP=QC=PQ=AP=AQ， ∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ， ∵∠B+∠BAP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP， ∴∠BAP=∠QAC=30°， ∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°． 故选：A． 2.（2025•荔湾区校级二模）如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　） A．28cm B．25cm C．23cm D．21cm 【答案】C 【分析】根据平移的性质，对应点的距离等于平移距离求出AA′、BB′，然后求出BC′，再根据周长的定义解答即可． 【解答】解：∵平移距离是4个单位， ∴AA′=BB′=4， ∵等边△ABC的边长为5， ∴B′C′=BC=5， ∴BC′=BB′+B′C′=4+5=9， ∵四边形ABC′A′的周长=4+5+9+5=23（cm）． 故选：C． 3.（2025春•迎泽区校级月考）如图，点O是边长为3的等边△ABC一边BC上的一点，OE、OF分别与两边垂直，则BE+CF（　　） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 【答案】B 【分析】根据等边三角形性质得AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，进而得∠BOE=30°，∠COF=30°，则OB=2BE，OC=2CF，由此得2BE+2CF=3，据此可得BE+CF的长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为3， ∴AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°， ∵OE⊥AB，OF⊥AC， ∴在Rt△OBE中，∠BOE=90°-∠B=30°， ∴OB=2BE， 在Rt△OCF中，∠COF=90°-∠C=30°， ∴OC=2CF， ∵OB+OC=BC=3， ∴2BE+2CF=3， ∴BE+CF=1.5． 故选：B． 4.（2025•广西）如图，点A，D在BC同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD=，则AD=______． 【答案】-1． 【分析】延长AD交BC于E，由AB=CA，BD=CD可得AE⊥BC，BE=CE，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得AE=，DE=1，即可求解． 【解答】解：延长AD交BC于E， ∵AB=CA，BD=CD， ∴AE⊥BC，BE=CE， ∵AB=BC=CA=2， ∴BE=CE=1， ∴AE==，DE==1， ∴AD=AE-DE=-1． 故答案为：-1． 【知识点3】等边三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质      ①等腰三角形的两腰相等      ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】      ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． · 即学即练 1.（2024秋•昆明期末）如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB=QC=PQ，则∠BAC的度数为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得到其三个内角都为60°，PQ=AP=AQ，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠BAP=∠QAC=30°，然后利用三个角相加即可求出所求角的度数． 【解答】解：∵△APQ为等边三角形， ∴PQ=AP=AQ，∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°， ∵PB=QC=PQ， ∴BP=QC=PQ=AP=AQ， ∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ， ∵∠B+∠BAP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP， ∴∠BAP=∠QAC=30°， ∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°． 故选：A． 2.（2025•荔湾区校级二模）如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　） A．28cm B．25cm C．23cm D．21cm 【答案】C 【分析】根据平移的性质，对应点的距离等于平移距离求出AA′、BB′，然后求出BC′，再根据周长的定义解答即可． 【解答】解：∵平移距离是4个单位， ∴AA′=BB′=4， ∵等边△ABC的边长为5， ∴B′C′=BC=5， ∴BC′=BB′+B′C′=4+5=9， ∵四边形ABC′A′的周长=4+5+9+5=23（cm）． 故选：C． 3.（2025春•迎泽区校级月考）如图，点O是边长为3的等边△ABC一边BC上的一点，OE、OF分别与两边垂直，则BE+CF（　　） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 【答案】B 【分析】根据等边三角形性质得AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，进而得∠BOE=30°，∠COF=30°，则OB=2BE，OC=2CF，由此得2BE+2CF=3，据此可得BE+CF的长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为3， ∴AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°， ∵OE⊥AB，OF⊥AC， ∴在Rt△OBE中，∠BOE=90°-∠B=30°， ∴OB=2BE， 在Rt△OCF中，∠COF=90°-∠C=30°， ∴OC=2CF， ∵OB+OC=BC=3， ∴2BE+2CF=3， ∴BE+CF=1.5． 故选：B． 4.（2025•广西）如图，点A，D在BC同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD=，则AD=______． 【答案】-1． 【分析】延长AD交BC于E，由AB=CA，BD=CD可得AE⊥BC，BE=CE，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得AE=，DE=1，即可求解． 【解答】解：延长AD交BC于E， ∵AB=CA，BD=CD， ∴AE⊥BC，BE=CE， ∵AB=BC=CA=2， ∴BE=CE=1， ∴AE==，DE==1， ∴AD=AE-DE=-1． 故答案为：-1． 题型专练 【题型1】三角形的概念相关问题 【典型例题】下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 故选：C． 【举一反三1】如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是　   　；在△ACD中，∠C所对的边是　    　． 【答案】AB；AD 【解析】解：在△ABC中，∠C所对的边是AB；在△ACD中，∠C所对的边是AD， 故答案为：AB；AD． 【举一反三2】下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：首尾顺次相接得到三角形的是B选项． 【举一反三3】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形． 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 【典型例题】如图，小强用a，b，c表示△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，则正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：用a，b，c表示△ABC的∠A，∠B，∠C的对边正确的图是： ； 故选：A． 【举一反三1】如图，在中，的对边是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：在△中，的对边是． 【题型3】三角形的个数问题 【典型例题】在如图所示的图形中，三角形的个数为（　　） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【答案】C 【解析】解：图中的三角形有：△CBD，△CBE，△CBA，△CDE，△CDA，△CEA，共6个． 故选：C． 【举一反三1】如图，共有 　     　个三角形． 【答案】6 【解析】解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6个． 故答案为：6 【举一反三2】如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A 【解析】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 【举一反三3】如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A.10 B.15 C.21 D.28 【答案】C 【解析】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为3=1+2； 第③个图中三角形的个数为6=1+2+3； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑥个图形中三角形的个数为． 【举一反三4】图中有几个三角形?用符号表示这些三角形. 【答案】解：图中共有6个三角形，它们分别是 △ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC. 【题型4】三角形的分类问题 【典型例题】若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（　　） A.M表示等边三角形 B.M表示锐角三角形 C.P表示等腰三角形 D.N表示三边都不相等的三角形 【答案】C 【解析】三角形根据边分类如下： ， 由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形． 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠BAC＝87°，AD⊥BC，则图中一共有 　   　个三角形，其中锐角三角形有 　     个，直角三角形有 　   　个，钝角三角形有 　   　个． 【答案】6；2；3；1． 【解析】通过观察可知，图中一共有6个三角形，分别为：△ABC，△ABD，△ABE，△ADE，△ADC，△ACE，其中锐角三角形有2个，分别为：△ABE，△BAC，直角三角形有3个，分别为：△ABD，△ADE，△ADC，钝角三角形有1个，是△AEC． 故答案为：6；2；3；1． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD． （1）写出△ABE的三个内角； （2）在△ABD中，∠B的对边是 　   　；在△ABC中，∠B的对边是 　  　． （3）图中共有几个三角形？把它们分别写出来．这些三角形中，哪些是直角三角形？哪些是锐角三角形？哪些是钝角三角形？ （4）∠ADC是哪几个三角形的公共角？ 【答案】解：（1）△ABE的三个内角是：∠BAE，∠B，∠AEB； （2）在△ABD中，∠B的对边是AD；在△ABC中，∠B的对边是AC． 故答案为：AD；AC； （3）图中共有6个三角形，分别是：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC． 这些三角形中，直角三角形是：△ABE，△ADE，△AEC；锐角三角形是：△ABC，△ADC；钝角三角形是：△ABD． 故答案为：6； （4）∠ADC是△ADE，△ADC的公共角． 【举一反三3】如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】A 【解析】解：依题意，三角形露出的部分为钝角， ∴我们可以判定此三角形的类型为钝角三角形． 【举一反三4】三角形按边分类用如图来表示，图中小圆里的表示（    ）    A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【答案】D 【解析】解： 图中小圆里的表示等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1 三角形的概念 讲解目录 【知识点1】三角形的概念 1 【知识点2】等腰三角形的性质 2 【知识点3】等边三角形的性质 3 【题型1】三角形的概念相关问题 4 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 5 【题型3】三角形的个数问题 6 【题型4】三角形的分类问题 6 知识巩固 【知识点1】三角形的概念 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． · 即学即练 1.（2025春•龙岗区期中）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2.（2024秋•鄞州区期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 3.（2025春•泌阳县月考）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4.（2025春•宝安区期中）在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：______． 【知识点2】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质      ①等腰三角形的两腰相等      ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】      ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． · 即学即练 1.（2025春•莲湖区期末）已知等腰三角形的一边长为5，且其有一个内角的度数为60°，则该等腰三角形的周长是（　　） A．10 B．15 C．18 D．20 2.（2025春•金水区期末）在△ABC中，∠B=70°，AD，AE分别为△ABC的角平分线和高线，若AB=AD，则∠C的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 3.（2025春•博山区期末）如图：在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD=BC，则∠A等于（　　） A．30° B．36° C．40° D．42° 4.（2025春•浦东新区期末）如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是30°，那么这个等腰三角形的顶角等于______度． 【知识点3】等边三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质      ①等腰三角形的两腰相等      ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】      ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． · 即学即练 1.（2024秋•昆明期末）如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB=QC=PQ，则∠BAC的度数为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 2.（2025•荔湾区校级二模）如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　） A．28cm B．25cm C．23cm D．21cm 3.（2025春•迎泽区校级月考）如图，点O是边长为3的等边△ABC一边BC上的一点，OE、OF分别与两边垂直，则BE+CF（　　） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 4.（2025•广西）如图，点A，D在BC同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD=，则AD=______． 题型专练 【题型1】三角形的概念相关问题 【典型例题】下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是　   　；在△ACD中，∠C所对的边是　    　． 【举一反三2】下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 【典型例题】如图，小强用a，b，c表示△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，则正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在中，的对边是（   ） A. B. C. D. 【题型3】三角形的个数问题 【典型例题】在如图所示的图形中，三角形的个数为（　　） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【举一反三1】如图，共有 　     　个三角形． 【举一反三2】如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【举一反三3】如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A.10 B.15 C.21 D.28 【举一反三4】图中有几个三角形?用符号表示这些三角形. 【题型4】三角形的分类问题 【典型例题】若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（　　） A.M表示等边三角形 B.M表示锐角三角形 C.P表示等腰三角形 D.N表示三边都不相等的三角形 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠BAC＝87°，AD⊥BC，则图中一共有 　   　个三角形，其中锐角三角形有 　     个，直角三角形有 　   　个，钝角三角形有 　   　个． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD． （1）写出△ABE的三个内角； （2）在△ABD中，∠B的对边是 　   　；在△ABC中，∠B的对边是 　  　． （3）图中共有几个三角形？把它们分别写出来．这些三角形中，哪些是直角三角形？哪些是锐角三角形？哪些是钝角三角形？ （4）∠ADC是哪几个三角形的公共角？ 【举一反三3】如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【举一反三4】三角形按边分类用如图来表示，图中小圆里的表示（    ）    A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 学科网（北京）股份有限公司 $$