精品解析：海南省琼海市嘉积中学2025年九年级中考模拟预测数学试题

海南省琼海市嘉积中学2025年九年级中考模拟预测 数学科试题 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣60元表示（　　） A. 收入60元 B. 收入20元 C. 支出60元 D. 支出20元 2. 若代数式的值为6，则x等于（ ） A. 3 B. C. 9 D. 3. 据网络平台数据，截至2025年3月5日18时25分，电影《哪吒之魔童闹海》观影人次突破300000000，成为中国影史首部观影人次突破300000000的电影．将300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 分式方程的解是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 如图，有张分别印有版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（　　） A. 55° B. 45° C. 35° D. 25 9. 如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于(　　) A. 68° B. 58° C. 72° D. 56° 11. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高1.6米的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行6米到达B处，再延斜坡步行6.5米至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（ ）（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） A. 17.3米 B. 18.9米 C. 65.0米 D. 66.6米 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 因式分解：x2﹣3x=_____． 14. 一次函数的图象不经过第________象限 15. 某学校举行了家长开放日活动，在以“纸片的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．根据以上的操作，若，，则线段的长是________；线段的长是________． 三、解答题（本大题满分75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 17. 学校为了支持体育活动，鼓励同学们加强锻炼，准备购买一些羽毛球拍和乒乓球拍作为运动会奖品．根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格； 18. 如图，菱形中，作，分别交的延长线于点E、F． （1）求证：； （2）若点E恰好是的中点，，求的值． 19. 2025年是海南自贸港封关运作、扩大开放之年，某校开展了以“海南自贸港政策知识”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩x A B C D E （1）本次调查采用的调查方式为________（填写“抽样调查”或“普查”）； （2）本次调查一共随机抽取了________名学生的成绩，频数分布直方图中________； （3）所抽取学生成绩的中位数落在________等级； （4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在范围内的扇形圆心角的大小为________度； （5）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有________人？ 20. 问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1： 这个图形的面积可以表示成： （a+b）2或　a2+2ab+b2 ∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 这就验证了两数和的完全平方公式． 类比解决： （1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程） 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？ 如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13 B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形． 由此可得：13+23＝（1+2）2＝32 尝试解决： （2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝　 　．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）． （3）问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝　 　．（直接写出结论即可，不必写出解题过程） 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求当时，y的最大值与最小值的差； （3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是a和b，且，求m的取值范围． 22. （1）证明推断：如图1，在正方形中，点分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）类比探究：如图2，在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省琼海市嘉积中学2025年九年级中考模拟预测 数学科试题 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣60元表示（　　） A. 收入60元 B. 收入20元 C. 支出60元 D. 支出20元 【答案】C 【解析】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】根据题意，若收入80元记作+80元，则-60元表示支出60元． 故选C． 【点睛】考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 2. 若代数式的值为6，则x等于（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键．根据题意得，然后解一元一次方程即可求出的值． 【详解】∵代数式的值为6 ∴ 解得． 故选：A． 3. 据网络平台数据，截至2025年3月5日18时25分，电影《哪吒之魔童闹海》观影人次突破300000000，成为中国影史首部观影人次突破300000000的电影．将300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差；据此即可求解． 【详解】解：； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项等运算法则，掌握这些运算法则是关键． 根据幂的运算法则进行即可判断． 【详解】A、，故计算错误； B、与不是同类项，不能合并，故错误； C、，故计算错误； D、 ，故计算正确； 故选：D． 5. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图的识别，主视图即为从正面看到的图形，由此判断即可． 【详解】解：A的主视图为正方形、B的主视图为矩形，C的主视图为圆形，D的主视图为三角形， 故选：D． 6. 分式方程的解是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．先去分母化分式方程为整式方程，求出方程的解后再检验即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 当时，， ∴是原方程的解． 故选D 7. 如图，有张分别印有版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键． 【详解】解：画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为， ∴两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为， 故选：． 8. 以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（　　） A. 55° B. 45° C. 35° D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP∥BC，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果． 【详解】∵AB是⊙O的切线，∴∠OPB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴OP∥BC，∴∠CBD＝∠POB＝35°，故选C． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键． 9. 如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质． 设电流与电阻之间的函数关系为，求出电流与电阻之间的函数关系为，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流与电阻之间的函数关系为， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴电流与电阻之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故B选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴，故C选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 10. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于(　　) A. 68° B. 58° C. 72° D. 56° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题． 【详解】∵∠ADC=34°，∴∠AOC=2∠ADC=68°． ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（180°﹣68°）=56°． 故选D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如下图，根据作图可得AE与BF相互垂直平分，在Rt△ABO中，利用勾股定理可求得AO的长，从而得出AE的长． 【详解】如下图，AE与BF交于点O，连接EF 由作图可知，AE与BF相互垂直平分 ∵BF=6，∴BO=3 ∵AB=5 ∴在Rt△ABO中，AO=4 ∴AE=8 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的画法和勾股定理，解题关键是根据作图，判断出AE与BF相互垂直平分． 12. 5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高1.6米的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行6米到达B处，再延斜坡步行6.5米至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（ ）（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） A. 17.3米 B. 18.9米 C. 65.0米 D. 66.6米 【答案】B 【解析】 【分析】如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作FL⊥MN于L，过点E作EI⊥MN于I，延长MN交AB的延长线于H，设，，利用三角形函数构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作FL⊥MN于L，过点E作EI⊥MN于I，延长MN交AB的延长线于H， 设，， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，则， 在中，， ∵， ， ∴，则， ∴， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 因式分解：x2﹣3x=_____． 【答案】x（x﹣3） 【解析】 【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）． 考点：因式分解. 14. 一次函数的图象不经过第________象限 【答案】四##4 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质；一次函数的图像经过第几象限取决于k和b； 当时，函数图像经过一、二、三象限；当时，函数图象经过一，三，四象限．当， 这时此函数的图象经过一，二，四象限． 当， 这时此函数的图象经过二，三，四象限，据此即可得出答案． 【详解】解：因为一次函数，，； 所以一次函数经过一、二、三象限， 所以不经过第四象限． 故答案为：四． 15. 某学校举行了家长开放日活动，在以“纸片的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．根据以上的操作，若，，则线段的长是________；线段的长是________． 【答案】 ①. 2 ②. 1 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质及勾股定理，根据折叠性质表示出的长是解题关键．设，由矩形的性质得出，根据正方形的性质和折叠性质可得，利用勾股定理列方程求出的值即可得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ， ∵四边形是正方形， ， ，， ∵将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕， ， 在中，， ， 解得：，即． 故答案为：2；1． 三、解答题（本大题满分75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，算术平方根和零指数幂，解不等式组，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）根据算术平方根定义，零整数指数幂运算法则，进行计算即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 17. 学校为了支持体育活动，鼓励同学们加强锻炼，准备购买一些羽毛球拍和乒乓球拍作为运动会奖品．根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格； 【答案】每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为70元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组． 设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，根据图片中的信息列出方程组求解即可 【详解】解：设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为70元． 18. 如图，菱形中，作，分别交的延长线于点E、F． （1）求证：； （2）若点E恰好是的中点，，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由线段垂直平分线的性质可得，证明出是等边三角形，然后得到，求出．然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵E是中点，且 ∴直线为的垂直平分线 ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含30度角直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 19. 2025年是海南自贸港封关运作、扩大开放之年，某校开展了以“海南自贸港政策知识”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩x A B C D E （1）本次调查采用的调查方式为________（填写“抽样调查”或“普查”）； （2）本次调查一共随机抽取了________名学生的成绩，频数分布直方图中________； （3）所抽取学生成绩的中位数落在________等级； （4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在范围内的扇形圆心角的大小为________度； （5）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有________人？ 【答案】（1）抽样调查 （2）200，16 （3）C （4）126 （5）940人 【解析】 【分析】（1）根据竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计判断即可； （2）根据频率=频数÷总数进行计算即可求出调查人数及m的值； （3）先求出C等级的人数，然后根据中位数的定义判断即可； （4）用乘以D等级占的百分比，计算即可； （5）求出样本中“优秀”所占的百分比即可． 【小问1详解】 ∵竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计， ∴本次调查采用的调查方式为抽样调查． 故答案为：抽样调查； 【小问2详解】 解：（人）， （人）， 故答案为：200，16； 【小问3详解】 人， 人， ∴从小到大排列后第100和101位的成绩在C等级． 故答案为：C； 【小问4详解】 解：， 故答案为：126； 【小问5详解】 解：（人）， 答：学校初中部2000名学生中成绩优秀的大约有940人． 【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20. 问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1： 这个图形的面积可以表示成： （a+b）2或　a2+2ab+b2 ∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 这就验证了两数和的完全平方公式． 类比解决： （1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程） 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？ 如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13 B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形． 由此可得：13+23＝（1+2）2＝32 尝试解决： （2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝　 　．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）． （3）问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝　 　．（直接写出结论即可，不必写出解题过程） 【答案】（1）∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2， 右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 这就验证了平方差公式； （2）62，推证过程如下： 如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13； B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形， 因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23； G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3＝33； 而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形， 由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62； （3）[n（n+1）]2 【解析】 【分析】（1）类比解决：如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成2个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式； （2）尝试解决：如图，A表示一个1×1的正方形，B、C、D表示2个2×2的正方形，E、F、G表示3个3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13+23+33＝62； （3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，进一步化简即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2， 又∵1+2+3+…+n＝n（n+1）， ∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2． 故答案为：[n（n+1）]2． 【点睛】此题考查完全平方公式的几何背景，利用用几何直观推导13+23+33+…+n3的计算过程，通过几何图形之间的数量关系做出几何解释，得出规律，然后应用解决问题是解题关键． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求当时，y的最大值与最小值的差； （3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是a和b，且，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． （1）利用待定系数法将点代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出，根据根与系数的关系可得出的值，然后根据，整理得出m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵的图象过点， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得，二次函数对称轴为，开口向上， ∴当时，的最大值为， y的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为； 【小问3详解】 解：由题意及（1）得， 整理得， 即， ∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和， ， 化简得， 即， 解得， ∴为方程的两个解， 又∵， ， 即， ， 综上所述，m的取值范围为． 22. （1）证明推断：如图1，在正方形中，点分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）类比探究：如图2，在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长． 【答案】（1） （2）结论：． 理由：如图2中，作于M． ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ， ∴． （3）． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得所以，又知，所以，于是，可得．证明四边形是平行四边形即可解决问题； （2）结论：．如图2中，作于M．然后证明即可解决问题； （3）如图2中，作交的延长线于M．利用相似三角形的性质求出，CM即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． （2）略 （3）如图2中，作交的延长线于M． 由，可以假设， ∵ ，， ∴， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了特殊的平行四边形正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $