数列：奇偶数列问题、插项问题、最值问题、数列新定义问题讲义-2026届高三数学一轮复习

数列：奇偶数列问题、插项问题、最值问题、数列新定义问题复习讲义 数列：奇偶数列问题、插项问题、最值问题、数列新定义问题复习讲义 考点一 奇偶数列问题 【知识点解析】 1.奇偶数列求和：已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为. 思路一：分类讨论 (1) (2)若为偶数，则 (3)若为奇数，则 思路二：并项求和 (1)记 (2) (3)若为偶数，则 (4)若为奇数，则 2.常见奇偶数列模型 (1)若，则，相减得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. (2)若，则，相除得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. (3)若，则直接按奇偶分开讨论. 【例题分析】 1．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）已知等差数列的，公差，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 2．（24-25高二下·江西上饶·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知满足：，，则（   ） A．4720 B．4722 C．4723 D．4725 3．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）数列，则（    ） A．44 B．143 C．165 D．502 4．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测·多选）已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北秦皇岛·一模·多选）已知数列满足，，则（   ） A． B．当是偶数时， C．数列是常数列 D． 7．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列满足：（为正整数），，当时，使得的最小n为 ；设为数列的前n项和，若，则所有可能的取值为 . 8．（24-25高二下·山东日照·期中）记首项为1的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 9．（24-25高二下·辽宁·期中）已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 10．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 11．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知正项等差数列的公差为2，的前n项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前10项和． 12．（2025·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和． 13．（24-25高二下·山东德州·期末）已知为等差数列，记分别为数列的前项和，． (1)求的通项公式； (2)对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列的前项和． 考点二 插项问题 【知识点解析】 1.数列插项问题 （1）插项的核心：插入的项数与插入的数据类型. （2）常见插项问题 ①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列， 记这个等差数列的公差为，则，整理的. ②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列， 记这个等比数列的公比为，则，整理的. ③在和之间插入个，组成新数列 求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和. 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏苏州·期末）在1和7之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为x，第m个为y，则的最小值是（   ） A． B．4 C．3 D． 2．（24-25高二下·云南昭通·期中）在数列的项和之间插入i个i（，2，3，…，）构成新数列，则（   ） A．19 B． C．20 D． 3．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习·多选）已知数列中，，.在和之间插入1个数，和之间插入2个数，…，和之间插入个数，，使得构成的新数列是等差数列，则（    ） A．的公差为6 B．和之间插入的2个数是19和25 C． D． 5．（24-25高二上·重庆北碚·期末·多选）已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项，之间插入个数，使到这个数构成第个等差数列，则（   ） A． B．第个等差数列的公差为 C．第8个等差数列的所有项的和为 D．是第15个等差数列中的第9项 6．（24-25高三上·天津南开·期中）在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是 ． 7．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 . 8．（24-25高二下·湖南·期中）已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入6个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列. (1)求数列的通项公式. (2)记数列前项的乘积为，试问：是否有最大值？如果有，请求出此时的值以及的最大值；若没有，请说明理由. 9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和. 10．（2024·湖北十堰·三模）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 11．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 12．（24-25高二上·山西·期末）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为，次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知数列. (1)求，，； (2)求，； (3)求数列的前项和. 13．（24-25高三下·天津·阶段练习）设数列是公差不为零的等差数列，满足，；数列的前n项和为，且满足． (1)求数列、的通项公式； (2)求值； (3)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；……；在和之间插入n个数，使，成等差数列． （ⅰ）求； （ⅱ）写出所有使成立的正整数对． 考点三 最值问题 【知识点解析】 1.求数列最值的方法 （1）二次函数法 （2）基本不等式法 （3）三角函数法 （4）判别式法 （5）分离常数法 （6）函数单调性法（求单调性的方法有导数法、作差法、作商法、换元法） 2.把数列视为函数，利用函数单调性法求函数最值时，需要注意定义域为正整数！ 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）已知数列的前项和为，且.若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 2．（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河北·期末）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围为 . 5．（2025·重庆·三模）对于数列，若存在常数，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，满足，若为有界数列，则实数的取值范围是 . 6．（24-25高二下·四川乐山·阶段练习）已知函数，数列满足 (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使不等式成立，求实数k的最大值． 7．（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)设，若集合中恰好有3个元素，求实数的取值范围. 8．（24-25高二下·山西·期中）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 9．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）数列各项均为正数，其前项和为，且满足 (1)求证：是等差数列，求及； (2)设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值. 10．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的前项和为，其中为常数，且． (1)求的值，并求； (2)，数列的前项和为，若，都有恒成立，求实数的最小值． 11．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 12．（24-25高二下·河北衡水·期末）已知数列为非零数列，设，是数列的前n项之积，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，且当时，，对于均有恒成立，求满足条件的正整数k． 考点四 数列新定义问题 【知识点解析】 1.新定义问题的方法和技巧： （1）解决新定义问题的基本方法 ①仔细阅读定义：逐字逐句理解题目给出的新定义，确保不遗漏任何细节 ②寻找熟悉元素：将新定义与已有知识建立联系，寻找相似结构 ③具体化理解：通过举例或特例来验证对新定义的理解是否正确 ④分步验证：按照定义的步骤逐步操作，确保每一步都符合要求 （2）实用技巧 ①符号标记法：用不同符号或颜色标记定义中的关键条件 ②类比思维：思考类似概念在传统知识中是如何处理的 ③逆向验证：从结论反推，检查是否符合新定义的要求 ④边界测试：考虑极端情况或边界条件是否满足定义 【例题分析】 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列1，2，4，7，11从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列1，2，3，4为等差数列，则称数列1，2，4，7，11为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为5，8，13，20，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列，则（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 2．（2025·河南信阳·模拟预测）对于数列，若存在实数，使得对一切正整数，恒有成立，则称数列为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南南阳·期末·多选）记无穷数列的前项和为.若对任意的正整数，总存在某一项，使得，则称是“S数列”.下列说法正确的是（   ） A．若，则是“S数列” B．若，则是“S数列” C．若，则是“S数列” D．若是首项，公差的等差数列，且是“S数列”，则 4．（24-25高二下·广东深圳·期末·多选）对于正整数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（    ） A． B．若p为质数，则数列为等比数列 C．数列的前5项和等于 D．，使得 5．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为 . 6．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则 . 7．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知为正整数且为非零实数，数列满足，且是公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，以此类推. (1)当时，求； (2)求的最小值（用含的代数式表示）； (3)记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含的代数式表示）. 8．（24-25高二下·江西吉安·期末）任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列具有性质.已知具有性质的数列共有项，且所有的项之和为. (1)若，且，求的所有可能值； (2)若，且恒成立，求； (3)若，证明：. 9．（24-25高二下·北京西城·期末）已知数列满足：①均为正整数且不全相等；②对任意正整数n，，，，． (1)若，，，，求； (2)是否存在正整数，使得，，，全为0？证明你的结论； (3)求证：存在正整数，使得，，，中有一个数的绝对值大于2025． 10．（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”．定义：若数列是“阶等差数列”，则称原数列为“阶等差数列”．例如：数列，它的后项与前项之差组成新数列，新数列是公差为的等差数列，则称数列为二阶等差数列． (1)若数列满足，，且，求证：数列为二阶等差数列； (2)若三阶等差数列的前项依次为，求的前项和； 11．（24-25高二下·北京平谷·期末）若数列满足，则称数列为Q增数列． (1)判断下面两个数列是否为Q增数列？并说明理由． ①     ② (2)若数列为Q增数列，且任意项，，，，求正整数k的最大值． 12．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知项数列，对任意，都有，记，的取值构成集合. (1)写出，； (2)求； (3)记，若，求的取值集合. 课后提升训练 1．（2025·甘肃·二模）在数列的项和之间插入个构成新数列，则（    ） A．13 B． C．14 D． 2．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 3．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（      ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知数列中，，则数列前2024项的和为（   ） A．0 B．1012 C．2024 D．4048 5．（24-25高二下·河南南阳·期末·多选）已知数列则下列说法错误的是（    ） A．数列为等差数列 B．是单调递减数列 C．数列的前20项和为-698860 D．若，则 6．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”､将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列，设第次“美好成长”后得到数列为，记，则数列的通项公式为 . 7．（24-25高二上·天津·期末）已知数列满足．设，则数列的前10项和为 ． 8．（2025·山西太原·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为 .扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3：进行构造，第1 次得到数列1，2，3；第2 次得到数列1， 2， 3；；依次构造，记第 次得到的数列的所有项之和为 Tn， 则 . 9．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知数列是递增的等比数列且 (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值. 10．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足． (1)求{}和{}的通项公式； (2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 11．（2025·河南·模拟预测）若对于任意的，为数列中小于的项的个数，则称数列是的“生成数列”. (1)分别写出数列1，0，3，4及，，2，的“生成数列”的前4项； (2)若数列满足，且的“生成数列”为，求； (3)若为等比数列，且，公比，的“生成数列”为，的“生成数列”为，求. 12．（24-25高二下·四川广元·期中）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设，数列的前项和为 ①求； ②若恒成立，求实数的最大值． 13．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知为等差数列，，，记. (1)求数列，的通项公式; (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， （i）求数列的前n项和 （ii）在数列中是否存在3项，，其中m，k，p成等差数列成等比数列?若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由. 14．（2025·山西临汾·三模）已知正项数列中，，满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足求数列的前项和． 15．（24-25高二上·广东阳江·期末）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列.已知数列. (1)求； (2)求； (3)求数列的前项和. 16．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列：其中且若数列：满足当时或则称数列：为数列的“调节数列”，例如，数列：的所有“调节数列”为或或或. (1)直接写出数列：的所有“调节数列”； (2)若数列满足通项，将数列的“调节数列”中的递增数列记为数列中的各项和为求所有的和； (3)已知数列满足：若数列的所有“调节数列”均为递增数列，求所有符合条件的数列的个数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列：奇偶数列问题、插项问题、最值问题、数列新定义问题复习讲义 数列：奇偶数列问题、插项问题、最值问题、数列新定义问题复习讲义 考点一 奇偶数列问题 【知识点解析】 1.奇偶数列求和：已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为. 思路一：分类讨论 (1) (2)若为偶数，则 (3)若为奇数，则 思路二：并项求和 (1)记 (2) (3)若为偶数，则 (4)若为奇数，则 2.常见奇偶数列模型 (1)若，则，相减得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. (2)若，则，相除得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. (3)若，则直接按奇偶分开讨论. 【例题分析】 1．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）已知等差数列的，公差，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【答案】D 【详解】因为， ， 所以，此时令， 而其前项和为， ，故D正确. 故选：D 2．（24-25高二下·江西上饶·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知满足：，，则（   ） A．4720 B．4722 C．4723 D．4725 【答案】D 【详解】由题意可得：, 可知数列是以3为周期的数列， 因为，所以， 故选：D. 3．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）数列，则（    ） A．44 B．143 C．165 D．502 【答案】C 【详解】易知. 故选：C 4．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列的通项公式为，其前n项和为， 所以， 则数列的前2025项和为 . 故选：D. 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测·多选）已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】已知， 因为，即， 所以，， 解得，故A正确； 由此可得，， ，， …… 所以当为奇数时，为偶数，为奇数， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 所以，所以， 所以，故B错误； 当为偶数时，为奇数，为偶数， 则，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 所以， 所以， 所以，故C错误； 对于D， = =，故D正确. 故选：AD. 6．（2025·河北秦皇岛·一模·多选）已知数列满足，，则（   ） A． B．当是偶数时， C．数列是常数列 D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，， 所以数列是常数列，故C正确； 对于D，，，， 从而把数列写出来就是 观察发现，，且后面两项都是， 其中是数列的前项和， 从而， 故D正确. 故选：ACD. 7．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列满足：（为正整数），，当时，使得的最小n为 ；设为数列的前n项和，若，则所有可能的取值为 . 【答案】 13 235，257，284 【详解】依题意，， ， 所以当时，使得的最小n为13； 由，得，则或， 若，则；若，则或， 当时，；当时，； 当时，， 由，得，因此数列从第6项起成周期性，周期为3， 于是，当时，； 当时，；当时，， 所以所有可能的取值为235，257，284. 故答案为：13；235，257，284 8．（24-25高二下·山东日照·期中）记首项为1的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）∵， ∴， 两式相减得：， 即， ∴，∴， ∴数列是以1为首项，以0为公差的等差数列， ∴，∴. 当时，满足上式，∴. （2）由（1）知， ∴， ∴， 又 即数列是以为首项，为公差的等差数列. ∴. 9．（24-25高二下·辽宁·期中）已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， 得，所以 解得， 所以，， （2）由（1）知，， 因此当为偶数时， 当为奇数时，， 所以 . 10．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 【答案】(1)证明见详见 (2) 【详解】（1）， ， 又 构成以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ， 又 构成以为首项，为公比的等比数列 ， ， ∴当为偶数时， 当为奇数时， 所以 11．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知正项等差数列的公差为2，的前n项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前10项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有，又因为，，成等比数列， 所以，即， 化简整理得，解得，所以； （2）由（1）有，所以， 所以 . 12．（2025·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）是等差数列，设公差为，是等比数列，设公比为，则， 因为，， 所以，解得或（舍去） 所以，； （2）， . 13．（24-25高二下·山东德州·期末）已知为等差数列，记分别为数列的前项和，． (1)求的通项公式； (2)对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 因为， 所以 因为， 所以， 整理得，解得， 所以的通项公式为． （2）对，若，则， 因此，， 故得， 于是 ． 考点二 插项问题 【知识点解析】 1.数列插项问题 （1）插项的核心：插入的项数与插入的数据类型. （2）常见插项问题 ①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列， 记这个等差数列的公差为，则，整理的. ②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列， 记这个等比数列的公比为，则，整理的. ③在和之间插入个，组成新数列 求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和. 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏苏州·期末）在1和7之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为x，第m个为y，则的最小值是（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【详解】由等差数列的性质得，且， 则=≥=， 当且仅当，即时取等号，即的最小值是 故选：A. 2．（24-25高二下·云南昭通·期中）在数列的项和之间插入i个i（，2，3，…，）构成新数列，则（   ） A．19 B． C．20 D． 【答案】A 【详解】在和之间插入个构成数列：， 则数列中不超过的数的个数为， 当时，，当时，， 所以. 故选：A 3．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 【答案】B 【详解】设第次构造后得的数列为1，，3，则， 则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，3， 于是，， 显然，而， 因此数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习·多选）已知数列中，，.在和之间插入1个数，和之间插入2个数，…，和之间插入个数，，使得构成的新数列是等差数列，则（    ） A．的公差为6 B．和之间插入的2个数是19和25 C． D． 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为， 对于A选项，由题意得，， ，，故A正确； 对于B选项，与之间插入的2个数分别为，， 又，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； 对于D选项，，， ， ，故D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高二上·重庆北碚·期末·多选）已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项，之间插入个数，使到这个数构成第个等差数列，则（   ） A． B．第个等差数列的公差为 C．第8个等差数列的所有项的和为 D．是第15个等差数列中的第9项 【答案】ABD 【详解】对于A，等比数列的首项，公比，故，故A正确， 对于B，第个等差数列为，之间插入个数得到的数列， 公差为，故B正确， 对于C，第8个等差数列为之间插入8个数得到的等差数列， 故所有项的和为，故C错误， 对于D，第15个等差数列为之间插入15个数得到的等差数列， 故第9项为，故D正确， 故选：ABD 6．（24-25高三上·天津南开·期中）在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题可知，， 所以有， 当且仅当，即时等号成立， 此时满足，，所以的最小值是3. 故答案为： 7．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设等差数列的首项为，公差为. 由，得： 由，得： 将代入上式：化简得： 因此，公差，通项公式为： 在与之间插入个数，构成项的等差数列，其公差为： 设，则 故，所以单调递增，最小值为. 数列的最小值：，当时，. 对任意，存在，使得.由于且，只需保证，即. 故答案为：. 8．（24-25高二下·湖南·期中）已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入6个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列. (1)求数列的通项公式. (2)记数列前项的乘积为，试问：是否有最大值？如果有，请求出此时的值以及的最大值；若没有，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，或6，最大值为 【详解】（1），公比，， 设新数列的公比为， 则，，由， 所以. （2）. 令， 当或6时，有最大值30. 所以的最大值为，此时或6. 9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①， 当时，②， 由①②，得，即， 又当时，，满足，所以. （2）由（1）知，所以，则， 所以③， ④， 由③④得： ， 所以. 10．（2024·湖北十堰·三模）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为①， 当时，②， ①②，得． 所以，当时，，满足上式， 所以的通项公式为． （2）由（1）知，得， 则③， ④， ③④得 ， 所以． 11．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 【答案】(1) (2) (3)12182 【详解】（1）由可得，又， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. （2）方法一：由已知得，所以， 所以，又， 等式两边同时相乘，可得， 得，该式对也成立. 故. 方法二：由可知是常数列， 所以， 即. （3）设在的前100项中，来自的有项. 若第100项来自，则应有， 整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自，则应有，整理可得. 易知在时单调递增， 当时，，不满足题意，当时，，满足题意， 故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自， 所以. 12．（24-25高二上·山西·期末）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为，次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知数列. (1)求，，； (2)求，； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)，， (2)， (3) 【详解】（1）因为，所以，，； ，，； ，，. （2）因为数列经每一次扩充后是在原数列的相邻两项中增加一项， 所以经第次扩充后增加的项数为， 所以，所以. 因为，所以是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，所以. 设第次扩充后数列的各项为，则. 因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以 ， 所以. 因为，，所以是首项为3，公比为3的等比数列，故. （3）因为， 所以 . 令，则， 两式相减得， 所以， 故. 13．（24-25高三下·天津·阶段练习）设数列是公差不为零的等差数列，满足，；数列的前n项和为，且满足． (1)求数列、的通项公式； (2)求值； (3)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；……；在和之间插入n个数，使，成等差数列． （ⅰ）求； （ⅱ）写出所有使成立的正整数对． 【答案】(1)，， (2) (3)（ⅰ）；（ⅱ）及 【详解】（1）设数列的公差为， 则由，得， ，， 将代入上式，得，， ． 由，① 故当时，，② ①-②，得， ， 又， 是首项为，公比为的等比数列， . （2）， ； （3）（ⅰ） 在和之间插入个数， 因为成等差数列，设公差为， ， 则， ， ，① 则，② ①-②，得， . （ⅱ）由题，， 当时，， 当时，， 当时，， 下证：当时，有，即证， 设，则， 在上单调递增， 故时，， ， 时，不是整数， 所有的正整数对为及. 考点三 最值问题 【知识点解析】 1.求数列最值的方法 （1）二次函数法 （2）基本不等式法 （3）三角函数法 （4）判别式法 （5）分离常数法 （6）函数单调性法（求单调性的方法有导数法、作差法、作商法、换元法） 2.把数列视为函数，利用函数单调性法求函数最值时，需要注意定义域为正整数！ 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）已知数列的前项和为，且.若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以当时，； 当时，， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列， 所以，若对任意的正整数恒成立， 则对任意的恒成立，所以， 令，则， 所以当时，， 所以，所以对任意正整数，， 又，所以. 所以实数的最小值为. 故选：B 2．（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意令，所以，对比，可得， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以， 对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 显然当增大时，减小，此时增大， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，所以，解得， 而， 从而，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以，解得， 所以， 若数列是递增数列，则当且仅当恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 4．（24-25高二下·河北·期末）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为为数列的前项和，且，，解得 ，当时，，化简得： ，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，可得， 若，即，所以， 因为若对任意正整数恒成立，所以， 令，因为，所以数列为递减数列，数列的最大值为，所以. 故答案为： 5．（2025·重庆·三模）对于数列，若存在常数，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，满足，若为有界数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为， 所以 ， 因为，故数列为递增数列，故，故， 因为为有界数列，则，故， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（24-25高二下·四川乐山·阶段练习）已知函数，数列满足 (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使不等式成立，求实数k的最大值． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【详解】（1）因为函数，所以， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则有，即， 故数列的通项公式为； （2）由（1）可知：， 所以 （3）由（2）可知：，所以化简为， 因为，所以由，得， 设，则， 由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，于是有时，， 所以，因此， 存在，使得成立， 则有，因此实数k的最大值． 7．（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)设，若集合中恰好有3个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由条件可知，， 当为偶数时，，所以数列的奇数项成公比为2的等比数列， 所以，所以为奇数时，， 当为偶数时，， 所以； （2）当为偶数时， ； 当为奇数时， ， ； ， 所以； （3）， 所以当为奇数时，数列单调递减，当为偶数时，数列单调递减， ，，，， 若集合中恰好有3个元素，则. 8．（24-25高二下·山西·期中）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)①；②. 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减得，整理得，于是， 而，即，则， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，； （2）①由（1）知，，， . ②由①知，，， ， 而数列单调递增，则， 因此，由存在，使得，得， 所以的取值范围是. 9．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）数列各项均为正数，其前项和为，且满足 (1)求证：是等差数列，求及； (2)设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值. 【答案】(1)证明见解析，， (2)，正整数的最大值为 【详解】（1），当时，， 整理得，，又， 数列为首项和公差都是的等差数列. ，又，， 时，， 又适合此式， 数列的通项公式为. （2）， ， 随着逐渐增大，逐渐增大， ，依题意有，，即，解得， 故所求最大正整数的值为. 10．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的前项和为，其中为常数，且． (1)求的值，并求； (2)，数列的前项和为，若，都有恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由已知，，， 所以，则，所以， ， （）， 且也成立， 所以． （2）由（1）可知，，则， 则， ， 两式作差得，， 则， ，， 所以数列为递增数列， 因，则，即， 又，都有恒成立，则，则实数的最小值为． 11．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)数列的通项公式为：. (2)数列的前n项和为：. (3)的取值范围为：. 【详解】（1）当时，. 当时，. 根据指数运算法则,,则. 当时，也满足. 故数列的通项公式为：. （2）已知，由（1）可知，则， ； 所以. 所以. 故数列的前n项和为：. （3）已知，由（1）可知，则 ①. 当时，，解得. 当时，②. ①②相减得：， 所以. 当时，也满足. 那么不等式可化为. 当n为偶数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为偶数时单调递增，当时取最小值，，所以时，不等式恒成立. 当n为奇数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为奇数时单调递减，当时取最大值，所以时，不等式恒成立. 故的取值范围为：. 12．（24-25高二下·河北衡水·期末）已知数列为非零数列，设，是数列的前n项之积，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，且当时，，对于均有恒成立，求满足条件的正整数k． 【答案】(1) (2)4和5 【详解】（1）由题意得： 当时，，解得． 当时，由 得： 两式相除得：，即 当时，也满足上式，所以 （2）由（1）可知，， 故当时， 当时，由，得 ， 解得，且，所以或 又，，，所以 故数列中最大项为和，即满足条件的正整数k的值为4和5. 考点四 数列新定义问题 【知识点解析】 1.新定义问题的方法和技巧： （1）解决新定义问题的基本方法 ①仔细阅读定义：逐字逐句理解题目给出的新定义，确保不遗漏任何细节 ②寻找熟悉元素：将新定义与已有知识建立联系，寻找相似结构 ③具体化理解：通过举例或特例来验证对新定义的理解是否正确 ④分步验证：按照定义的步骤逐步操作，确保每一步都符合要求 （2）实用技巧 ①符号标记法：用不同符号或颜色标记定义中的关键条件 ②类比思维：思考类似概念在传统知识中是如何处理的 ③逆向验证：从结论反推，检查是否符合新定义的要求 ④边界测试：考虑极端情况或边界条件是否满足定义 【例题分析】 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列1，2，4，7，11从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列1，2，3，4为等差数列，则称数列1，2，4，7，11为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为5，8，13，20，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列，则（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】B 【详解】新数列为3，5，7，9，11， 所以数列是以3为首项，为公差的等差数列， 所以，所以． 故选：B． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）对于数列，若存在实数，使得对一切正整数，恒有成立，则称数列为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，此时为等差数列，则，无界，故A错误； 对于B，，此时为等比数列，则，无界，故B错误； 对于C，，则， 所以恒成立，即有界，故C正确； 对于D，，则， 则， 故当时，明显无界，故D错误； 故选：C. 3．（24-25高二下·河南南阳·期末·多选）记无穷数列的前项和为.若对任意的正整数，总存在某一项，使得，则称是“S数列”.下列说法正确的是（   ） A．若，则是“S数列” B．若，则是“S数列” C．若，则是“S数列” D．若是首项，公差的等差数列，且是“S数列”，则 【答案】ABC 【详解】A选项，，故，故对任意的正整数，总存在某一项， 使得，故是“S数列”，A正确； B选项，，则，故此时为等差数列， ，由于， 故对任意的正整数，总存在当时，使得，B正确； C选项，若，当时，， 当时，， 显然不满足，故， 对任意的正整数，总存在，使得，C正确； D选项，是首项，公差的等差数列，故， ， 对任意的正整数，总存在某一项，使得， 即，整理得， 需要满足， 显然，故， 所以，D错误. 故选：ABC 4．（24-25高二下·广东深圳·期末·多选）对于正整数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（    ） A． B．若p为质数，则数列为等比数列 C．数列的前5项和等于 D．，使得 【答案】ABD 【详解】对于A选项，与20不互质的是2的倍数（10个）以及5的倍数（4个）， 减去重复计数的10的倍数（2个），总共12个，； 与25不互质的只有5的倍数（5个），所以， 所以，故A正确； 对于B选项，设为质数，则小于等于的正整数中与不互质的数只有的倍数， 所以互质的数的数目为， 故，所以为常数， 所以数列为等比数列，故B正确； 对于C选项，根据选项B可知，， 数列的前5项和为，故C错误； 对于D选项， ，， 4不是质数，， 即判断是否存在使得，观察得到时等式成立，故D正确． 故选：ABD. 5．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为 . 【答案】/0.2 【详解】依次抽取4个数构成一个数列，共有种情况， 依题意数列中仅连续三项等差，这三项可以为2，4，6（或6，4，2）； 4，6，8（或8，6，4）；6，8，10（或10，8，6）；2，6，10（或10，6，2）四类， 其中2，4，6（或6，4，2）有6种情况， 分别是8，2，4，6；10，2，4，6；2，4，6，10；6，4，2，8；6，4，2，10；10，6，4，2； 4，6，8（或8，6，4）有4种情况， 分别是10，4，6，8；4，6，8，2；8，6，4，10；2，8，6，4； 6，8，10（或10，8，6），有6种情况， 分别是2，6，8，10；6，8，10，2；6，8，10，4； 2，10，8，6；10，8，6，2；4，10，8，6； 2，6，10（或10，6，2）有8种情况， 分别为4，2，6，10；8，2，6，10；2，6，10，4；2，6，10，8； 4，10，6，2；8，10，6，2；10，6，2，4；10，6，2，8； 列举可得共有种情形. 则概率为. 故答案为： 6．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则 . 【答案】 【详解】根据题意，，则， 所以， ， 因为， 则， 所以，即， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则. 故答案为：. 7．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知为正整数且为非零实数，数列满足，且是公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，以此类推. (1)当时，求； (2)求的最小值（用含的代数式表示）； (3)记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含的代数式表示）. 【答案】(1)4 (2) (3) 【详解】（1）根据题设条件可知为公差为1的等差数列， 根据等差数列的通项公式可得， 又为公差为的等差数列， 根据等差数列通项公式的推广公式可得， 解得. （2）由题可知：为公差为1的等差数列， 根据等差数列的通项公式可得， 为公差为的等差数列， 故， 为公差的等差数列， 故， 又为正整数，故，即的最小值为. （3）记除以的整数部分为，余数为，则， 当时，是公差为的等差数列， 而， 依次类推得， 累加得， 当时，， 当，根据等比数列的求和公式可得， 也即 由题，，则 当时，，仍然满足上式， 综上，数列的通项公式为 8．（24-25高二下·江西吉安·期末）任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列具有性质.已知具有性质的数列共有项，且所有的项之和为. (1)若，且，求的所有可能值； (2)若，且恒成立，求； (3)若，证明：. 【答案】(1). (2)3 (3)证明见解析 【详解】（1）若，且满足具有性质的数列为： ，此时； ，此时； ，此时 故的所有可能值为4，10，16. （2）由题意可知对任意的，均有，因为恒成立， 故，即数列是以2025为首项，-3为公差的等差数列， 所以，即. （3）令，依题意可知， 因为， 所以 因为，所以为偶数， 所以也为偶数， 因为，故也必为偶数，即4整除， 所以. 9．（24-25高二下·北京西城·期末）已知数列满足：①均为正整数且不全相等；②对任意正整数n，，，，． (1)若，，，，求； (2)是否存在正整数，使得，，，全为0？证明你的结论； (3)求证：存在正整数，使得，，，中有一个数的绝对值大于2025． 【答案】(1)，，，，，，， (2)不存在，证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由已知得，，，， 同理可得，，，，． （2）若存在正整数，使得全为0，不妨设是最小的， 则，，，， 所以， 由题意，， 若，则这与条件①矛盾； 若， 则 ， 所以，这与的取法矛盾， 综上，不存在正整数，使得全为0． （3）由题可知当时，， 故时，， （ⅰ）若，则，时，， 所以， 故当时，， 也即中有一个数的绝对值大于2025； （ⅱ）若，则由得， 设，，，，因为x，y不同时为0，不妨设其中， 则，，，， ，，，， 归纳可知，，，，， 进而，， 所以， 综上，一定存在正整数，使得中有一个数的绝对值大于2025． 10．（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”．定义：若数列是“阶等差数列”，则称原数列为“阶等差数列”．例如：数列，它的后项与前项之差组成新数列，新数列是公差为的等差数列，则称数列为二阶等差数列． (1)若数列满足，，且，求证：数列为二阶等差数列； (2)若三阶等差数列的前项依次为，求的前项和； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以是首项为，公差为的等差数列， 则是一阶等差数列，数列为二阶等差数列 （2）因为是“三阶等差数列”，所以是“二阶等差数列”， 设，所以是“一阶等差数列”． 由题意得，，，所以， 所以是首项为，公差为的等差数列，根据累加法有： ， 满足上式，所以 ， 因为满足上式， . 11．（24-25高二下·北京平谷·期末）若数列满足，则称数列为Q增数列． (1)判断下面两个数列是否为Q增数列？并说明理由． ①     ② (2)若数列为Q增数列，且任意项，，，，求正整数k的最大值． 【答案】(1)①是，②不是，理由见解析 (2)64 【详解】（1）①数列是增数列. 因为，所以，. 所以， 所以，即. 所以该数列是增数列. ②数列不是增数列. 因为，所以，. 因为，根据对数的单调性可知. 即，所以该数列不是增数列. （2）因为数列是增数列，所以. 所以，设，则是递增数列. 因为，所以. 所以. 又. 所以，化简得. 解得，又且，所以的最大值为64. 12．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知项数列，对任意，都有，记，的取值构成集合. (1)写出，； (2)求； (3)记，若，求的取值集合. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）时，，所以， ，所以. （2）时，， 由（1）可知的值由前面的的决定，而， 设中有个取，则有个取， 所以， 即. （3）由（2）知，，或， 或时，中有个取，个取， 设， 所以， 所以. 课后提升训练 1．（2025·甘肃·二模）在数列的项和之间插入个构成新数列，则（    ） A．13 B． C．14 D． 【答案】A 【详解】在和之间插入个构成数列, ， 则数列中不超过的数的个数为， 当时，，当时，， 所以. 故选：A 2．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 【答案】B 【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 3．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数列满足，，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即， 因此，显然的周期为4， 则 ， 令，则有， 因为， 所以数列是等差数列， 所以数列的前100项和，即数列的前25项和为. 故选：B. 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知数列中，，则数列前2024项的和为（   ） A．0 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】C 【详解】由题意可得，，，，，… 则可得下表： 易知数列存在周期性，最小正周期为， 由，则. 故选：C. 5．（24-25高二下·河南南阳·期末·多选）已知数列则下列说法错误的是（    ） A．数列为等差数列 B．是单调递减数列 C．数列的前20项和为-698860 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A：，易得不是等差数列，A错误； 对于选项B：并非单调递减数列，B错误； 对于选项C：令， 是以1为首项，4为公差的等差数列， ， 是以-2为首项，4为公比的等比数列， ， ，C正确； 对于选项D：①若为奇数， 则， ②若为偶数，则， ，∴， 故，， ，D错误. 故选：ABD 6．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”､将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列，设第次“美好成长”后得到数列为，记，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】 由得，，所以数列是以首项为， 公比为3的等比数列，故 故答案为：. 7．（24-25高二上·天津·期末）已知数列满足．设，则数列的前10项和为 ． 【答案】/ 【详解】∵， ∴，即数列是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴， ∴， ∴数列的前10项和为： . 故答案为：. 8．（2025·山西太原·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为 .扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3：进行构造，第1 次得到数列1，2，3；第2 次得到数列1， 2， 3；；依次构造，记第 次得到的数列的所有项之和为 Tn， 则 . 【答案】514 【详解】设第次构造后得的数列为1，，3，则， 则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，3， 于是，， 显然，而， 因此数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 则，即， 所以. 故答案为：514. 9．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知数列是递增的等比数列且 (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为，依题意得：， 由，解得或，回代入方程组，可得或， 因数列是递增数列，故，则数列的通项公式为. （2）由（1）可得，， 则， 于是，， 因在上单调递增，故， 因不等式对任意的恒成立， 所以的最大值为. 10．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足． (1)求{}和{}的通项公式； (2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：等差数列{}中，设公差为d， 则 数列{}中的前n项和为，且① 当时， 当时，② ②－①得： 故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以. （2）解：数列{}中，. 则 所以 故 所以 ∵对恒成立． 当为奇数时，， 当为偶数时， 综上：实数的取值范围为． 11．（2025·河南·模拟预测）若对于任意的，为数列中小于的项的个数，则称数列是的“生成数列”. (1)分别写出数列1，0，3，4及，，2，的“生成数列”的前4项； (2)若数列满足，且的“生成数列”为，求； (3)若为等比数列，且，公比，的“生成数列”为，的“生成数列”为，求. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【详解】（1）由生成数列的定义可知：数列1，0，3，4的“生成数列”的前4项是1，2，2，3； 数列，，2，的“生成数列”的前4项是0，2，4，4； （2）为2，4，6，8，， 则中小于1的项的个数，小于2的项的个数， 小于3的项的个数，小于4的项的个数， 小于5的项的个数，小于6的项的个数，， 在中，当n为奇数时，设，， 则小于的偶数有个，所以 在中，当n为偶数时，设，， 则小于2k的偶数有个，所以， 所以； （3）因为为等比数列，且，公比，所以 下面我们来证明： 因为表示中小于k的项的个数，表示中小于的项的个数， 所以易得，即， 设，由，，可得，， 又因为，所以，所以 12．（24-25高二下·四川广元·期中）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设，数列的前项和为 ①求； ②若恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【详解】（1）由题知，， 即， 当时，， 所以， 所以数列是“平方递推数列”. （2）①由（1）知，数列是“平方递推数列”，且， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 两式相减得， ， 则， 当时，，符合上式， 当时，，符合上式， 所以. ②由①知，， 则， 所以恒成立， 可得恒成立， 即，即， 令，则， 所以， 当且仅当，即时，取等， 所以，即实数的最大值为. 13．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知为等差数列，，，记. (1)求数列，的通项公式; (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， （i）求数列的前n项和 （ii）在数列中是否存在3项，，其中m，k，p成等差数列成等比数列?若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，； (2)（i）；（ii）不存在，理由见解析 【详解】（1）依题意，等差数列的公差， ，， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）（i）依题意，，则，， 设，记前n项和， ，， 两式相减得： ， 因此，所以. （ii）假设数列中存在3项，（其中成等差数列）成等比数列，则， 于是，即， 由成等差数列，得，则， 化简得，因此，又，则与已知矛盾， 所以数列中不存在三项，，成等比数列. 14．（2025·山西临汾·三模）已知正项数列中，，满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 因为，所以，则， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以． （2）方法一： 由（1）知 方法二： 由（1）知 设，则可得， 所以是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以的前n项和， 设 所以的前n项和 所以． 15．（24-25高二上·广东阳江·期末）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列.已知数列. (1)求； (2)求； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）因为，所以； （2）因为数列经每一次扩充后是在原数列的相邻两项中增加一项， 所以经第次扩充后增加的项数为， 所以，所以. 因为，所以是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，所以. 设第次扩充后数列的各项为，则+2. 因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以， 所以. 因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列，故. （3）因为， 所以 令，则， 两式相减得， 所以， 故. 16．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列：其中且若数列：满足当时或则称数列：为数列的“调节数列”，例如，数列：的所有“调节数列”为或或或. (1)直接写出数列：的所有“调节数列”； (2)若数列满足通项，将数列的“调节数列”中的递增数列记为数列中的各项和为求所有的和； (3)已知数列满足：若数列的所有“调节数列”均为递增数列，求所有符合条件的数列的个数. 【答案】(1)；；；. (2). (3). 【详解】（1）根据题干定义可得，；；；. （2），，即由题意得共个数，而共有项，则“调节数列”共有种情况. 不妨设，则； ，则； 依此类推，则， 故 （3）依题意：数列满足：，数列的所有“调节数列”均为递增数列，对任意时，或，或，， 即同时满足  ①，  ②，  ③，  ④， 为递增数列，①、②恒成立， 又为整数数列，对于③，也恒成立， 对于④一方面由，得，即； 另一方面，，即从第2项到第项是连续的正整数， ，， 因此，故共有种不同取值，即所有符合条件的数列共有个. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$