数列通项（Sn-Sn-1法、累加法、累乘法、构造法、倒数法）讲义-2026届高三数学一轮复习

数列：数列通项（法、累加法、累乘法、构造法、倒数法）复习讲义 数列：数列通项（法、累加法、累乘法、构造法、倒数法）复习讲义 考点一 法 【知识点解析】 1.法 （1）因为① ② 所以（）. （2）注意事项 ①. ②因为当时，才有意义，所以需检验通项公式当时是否成立.若不成立，需写成分段数列的形式. ③不一定每次都能得到的具体表达式，有可能需要进一步化简. ④若题目求或出现二项式，需要将题目所给条件中的反向化为，对进行探索. ⑤代表数列的前项和. 【例题分析】 1．（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知是数列的前n项和，． (1)求的通项公式. (2)已知是等差数列的前n项和，且数列也是等差数列. （i）求的公差； （ii）数列满足，，，证明：． 【答案】(1) (2)（i）1；（ii）证明见解析 【详解】（1）设. 当时，. 当时，， 化简得：，故. 验证时，，符合条件. 因此，通项公式为. （2）（i）设等差数列的首项为，公差为，则前项和. 数列为等差数列，其通项为： 等差数列的通项应为关于的一次函数，故二次项系数必须为零： （ii）， 由于，则，则， 故， 因此， 由于，则， 裂项求和得： 因此，， 因为，故，则. 故原命题得证. 2．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知是数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 当时，． 当时，可得， 两式相减得，所以， 当时也符合，所以． （2）， 所以 ． 3．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)若，数列的前项和为， （i）求； （ii）若，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）5 【详解】（1）由数列满足， 当时，， 两式相减可得，即，                               因为，所以，所以是首项为1，公差为-1的等差数列， 可得 所以数列的通项公式为. （2）（i）由（1）知，可得， 由，可得， 两式相減得 ， 可得，所以数列的前项和为； （ii）因为，所以数列是递减数列，                   又因为，所以的最大值为5. 4．（24-25高二下·江西·期末）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，当时有：， 即， 因为，所以解得， 当时，由 ①， 得： ②， ①②得：， 即， 即， 即， 因为，所以， 所以，即， 所以数列以首项为1，公差为1的等差数列， 所以，当时满足表达式， 所以数列的通项公式为：. （2）由（1）知，又， 所以， 即， 所以  ③ ④ ③④得：， 即， 所以， 所以数列的前项和. 5．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布·伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当日仅当或时等号成立． （i）证明：数列为递增数列； （ii）证明：时，． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）因为， 当时，， 则，又，符合上式， 所以； （2）（i）令， 则 因，则， 则， 则，所以数列为递增数列； （ii）因数列为递增数列， 则当时，， 则，即， 则， 即，则. 6．（24-25高二下·四川达州·期末）已知数列的前项和为，，等比数列满足：，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和为. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 当时，，所以； 设的公比为，则， 解得，； （2）由（1），， ， ， 两式相减得 ， 所以. 7．（24-25高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为在区间（）中的项的个数，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意的，所以是首项为1，公差为的等差数列， 所以，则， 当时，， 作差得， 化简得，即， 可得， 当时，，符合题意， 所以； （2）当时，在中有整数个，所以， 当时，在中有整数个，所以， 则，， 化简得， 根据错位相消法得 作差得，解得. 8．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知：数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前2025项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)4971 【详解】（1）由，可得，则， 即，，所以是首项为2，公差为1的等差数列. （2）由（1），，所以，， 当时，，即， 所以，则，，， 当且时，不是整数， 所以当时，，时，，当时，， 当时，， 所以. 9．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）由得，，时，，两式相减得， 即，又，所以数列为公比为2的等比数列， 所以； （2）①由（1）得，， 在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即，则，所以， 则，， 两式相减可得 ，所以； ②因为都有不等式成立， 所以恒成立， ， 当时，，即， 当时，，即， 所以，所以. 10．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)数列的通项公式为：. (2)数列的前n项和为：. (3)的取值范围为：. 【详解】（1）当时，. 当时，. 根据指数运算法则,,则. 当时，也满足. 故数列的通项公式为：. （2）已知，由（1）可知，则， ； 所以. 所以. 故数列的前n项和为：. （3）已知，由（1）可知，则 ①. 当时，，解得. 当时，②. ①②相减得：， 所以. 当时，也满足. 那么不等式可化为. 当n为偶数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为偶数时单调递增，当时取最小值，，所以时，不等式恒成立. 当n为奇数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为奇数时单调递减，当时取最大值，所以时，不等式恒成立. 故的取值范围为：. 考点二 累加法 【知识点解析】 1.累加法：已知或 （1）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得. （2）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得. （3）可以是等差数列，也可以是等比数列或者可裂项的数列. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南·期末）在数列中，，且，则（   ） A．1026 B．1029 C．1032 D．1035 【答案】A 【详解】由题意可得：，，，，， 各式相加可得， 因为，所以. 故选：A 2．（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得， 将上述个等式相加，整理得 又因为，所以 故选： 3．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）若数列满足，，则（   ） A．512 B．511 C．255 D．256 【答案】C 【详解】数列满足，，即， 故 ， 故选：C 4．（24-25高二下·北京西城·期中）已知数列满足，，则 ．当 时，取得最小值． 【答案】 8 【详解】数列满足，由，得； 当时， ， 所以当时，取得最小值. 故答案为：；8 5．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，，则其通项公式为 . 【答案】 【详解】不妨设，则， 由 ， 经检验当时满足，故，解得， 即数列的通项公式为. 故答案为：. 6．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，当时，， 相加得 所以 时，符合上式，所以 （2） 7．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列和满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）① 当时，，当时，② ①－②，可得，所以 又满足，故. 对于数列 法一 由数列，同除得 ， 即， 又 故数列是首项为2的常数列，故通项公式为. 法二 ， 累加得：，又所以 当时，符合上式.所以 （2）令， 所以 因为，故 8．（24-25高三下·湖南株洲·期中）已知数列满足，且，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明为等差数列； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时， ， ， 所以数列的通项公式为； （2）因为， 所以， 所以为首项为，公差为1的等差数列. 9．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，，又由有， 则有 ， 所以． 又因为数列的各项均为正数，所以． （2）由 ， 知 ． 考点三 累乘法 【知识点解析】 1.累乘法：已知或 （1）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得. （2）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得. （3）如论是或，均需注意最后求和的项数. 【例题分析】 1．（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 当时， ， 显然，对于时也成立， 所以， 则的前6项和为. 故选：C. 2．（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【答案】D 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 3．（24-25高二下·广东·阶段练习）记为首项为1的数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得，故， 化简得，即， 由知，故， 累乘可得， 即，故， 当时，也符合上式，故，故. 故选：C. 4．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，令得， 因为， 所以， 两式相减得， 即． 所以， 所以， 即， 所以当时，， 又，所以． （2）由（1）可得， 所以. 5．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知数列的前项和为，且为等差数列． (1)证明：为等差数列； (2)若，数列满足，且，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）因为为等差数列，设其公差为，所以， 又因为，所以． 当时，， 又因为适合上式，所以． 所以，所以为等差数列． （2）因为，由（1）知，得，所以． 所以， 当时，， 因为满足上式，所以． 所以． 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，则， 化简可得，由，则，所以； 由，则（），两式相减可得， 所以（），当时，， 可得，则（），显然可使上式成立， 所以. （2）由题意可得， 则， 两式相减可得， 则， 所以. 7．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知等比数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由已知可得，解得， 所以； （2）由（1）知， 所以， 所以 ， 所以 . 8．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 考点四 构造法 【知识点解析】 1.构造法 （1）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （2）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得和. （3）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （4）若已知，则构造数列为公差为的等比数列. （5）若题干已给出构造目标，则根据定义法代入构造目标进行证明. 【例题分析】 1．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）已知数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D．是等差数列 【答案】C 【详解】数列中，，由，得，解得. 因为，所以， 因为，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以，故. 对于A，，A错误； 对于B，，故，B错误； 对于C，是等比数列，C正确； 对于D，，而不成等比数列， 所以不是等差数列，D错误. 故选：C. 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，所以， 而，故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C 3．（24-25高二下·浙江·期中）设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列的前项和为，， 当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，整理可得， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 故，所以， 故，，故，A错B对； 由题意可得， 所以，CD都错. 故选：B. 4．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 5．（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ． 【答案】 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则， 所以. 故答案为： 6．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，所以数列的前n项和. 7．（24-25高三上·重庆·期中）已知数列满足：，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由可得， 又，所以， 则， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以， 所以 . 8．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列满足，. (1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【详解】（1）由，则，又，则， 所以是首项、公比都为4的等比数列，则，故； （2）由（1）及已知有， 所以， 所以. 9．（2025·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，可得， 则，所以， 又， 所以是首项为，公比为的等比数列. 所以，则， 当时，， 当时，，时也适合， 所以. （2）因为， 所以①， 则②， 所以①②得， 则， 所以. 因为，所以. 10．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）因为， 取可得，又， 所以，解得， 当时，用替换可得， 所以， 即， 所以，又， 即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即． （2）因为， 所以，① ，② ①－②得 所以， 所以． 11．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）已知， 则. 又，，所以. 那么（常数）. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，等式两边同时除以得：. 设，则，且. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 因为，所以. （3）已知，则. . 所以. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以得：. 因为，，所以，， 则是的倍数，除以余，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 12．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)设，求数列的前项和为. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以， 又，则，故， 所以是首项与公比都为的等比数列. （2）依题意，， 当时，， 两式相减，得 整理得，即，则， 又，所以， 所以是各项为的常数列， 所以，即. （3）由（1）得，即， 所以， 则， 所以， 两式相减，得 . 所以. 13．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列满足，，． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，是否存在实数，，使得是等差数列，若存在，求，的值，若不存在，说明理由； (3)记，,求． 【答案】(1) (2)存在，， (3) 【详解】（1）因为，两边同除于，则， 所以，，，， 累加可得， 所以， 则当时，， 又当；当也适合上式， 故，则. （2）由（1）可知，，，所以 则的前n项和为 要使得是等差数列，所以 要使得为一个常数， 令，则对任意恒成立， 则，解得. 所以存在存在实数，，使得是等差数列，且. （3）由（1）知,， 则. 当时，， 则； 则， 则， 故. . 考点五 倒数法 【知识点解析】 1.倒数法：已知 (1)取倒数得 (2)若，则数列是以为首项，为公差的等差数列. (3)若，则进行二次构造等比数列. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【答案】 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）数列满足，.正项等比数列满足，. (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由题意得，，即，且， 所以是以2为首项，为公差的等差数列， ，. （2）设的公比为，，， 则，解得或（舍去）， ，. ，① ，② ①-②，得 ， 所以. 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 故， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故. （2）由（1）得， 所以 . 课后提升训练 1．（24-25高二下·四川内江·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列其分母为，分子为奇数， 故此数列的一个通项为． 故选：D. 2．（24-25高二下·山东德州·期末）已知数列的前项和为，若，则的前10项和为（   ） A．32 B．41 C．52 D．65 【答案】C 【详解】因为， 当时，； 当时，， 经检验也适合上式， 所以. 故数列的前10项为：， 则的前10项和为. 故选：C. 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 4．（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【详解】数列中，，则，解得， ，即，于是， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，， 所以（）. 故答案为： 5．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知数列满足，则 ． 【答案】 【详解】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立， 故，即． 故答案为：. 6．（24-25高二下·江西景德镇·期末）已知数列的前项和，且满足，则 ． 【答案】 【详解】令，得到，解得， 因为，所以， 当时，， 则， 得到，即， 故，设， 则，即， 得到，解得，故， 而，则是公比为的等比数列，且首项为， 可得，故. 故答案为： 7．（24-25高三下·山西大同·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得， 两式相减得，则； （2）由（1）可知，则， 所以 . 8．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），即， 当时，，解得， 当时，， 即， 又数列单调递增，所以，即， 则，，时也符合， 所以. （2）， ， ， , 解得. 9．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前12项和. 【答案】(1) (2)4095 【详解】（1）数列的前n项和为，，， 当时，，所以， 当时，由，可得， 两式相减得，得到， 又，又， 满足，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，所以. （2）由（1）知，所以数列前12项和. 10．（24-25高二下·山西·期末）已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，记数列的前项和为，证明:. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 所以. （2）证明:由题意知， 所以当时，， 累加得， 所以，所以， 所以， 当时，上式也成立，故. ， 因为，所以，，， 所以. 11．（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知是正项递增等比数列的前项和，，，记是正项递增数列的前项和，且. (1)求和的通项公式； (2)设的前项和为，若实数恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，得公比，解得故. ，， 故当时，， ，，， 当时，，解得（负值已舍去）， 是以为首项，公差为1的等差数列， . （2）令， ， ， 得，，. ，. ，当且仅当时，等号成立，故. 所以的取值范围为. 12．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为①，当时可得，即． 当时，②， 由①②得，即， 即是以为首项，为公比的等比数列，所以． （2）因为，， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列：数列通项（法、累加法、累乘法、构造法、倒数法）复习讲义 数列：数列通项（法、累加法、累乘法、构造法、倒数法）复习讲义 考点一 法 【知识点解析】 1.法 （1）因为① ② 所以（）. （2）注意事项 ①. ②因为当时，才有意义，所以需检验通项公式当时是否成立.若不成立，需写成分段数列的形式. ③不一定每次都能得到的具体表达式，有可能需要进一步化简. ④若题目求或出现二项式，需要将题目所给条件中的反向化为，对进行探索. ⑤代表数列的前项和. 【例题分析】 1．（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知是数列的前n项和，． (1)求的通项公式. (2)已知是等差数列的前n项和，且数列也是等差数列. （i）求的公差； （ii）数列满足，，，证明：． 2．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知是数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 3．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)若，数列的前项和为， （i）求； （ii）若，求的最大值. 4．（24-25高二下·江西·期末）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 5．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布·伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当日仅当或时等号成立． （i）证明：数列为递增数列； （ii）证明：时，． 6．（24-25高二下·四川达州·期末）已知数列的前项和为，，等比数列满足：，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和为. 7．（24-25高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为在区间（）中的项的个数，求数列的前项和． 8．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知：数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前2025项和. 9．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 10．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 考点二 累加法 【知识点解析】 1.累加法：已知或 （1）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得. （2）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得. （3）可以是等差数列，也可以是等比数列或者可裂项的数列. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南·期末）在数列中，，且，则（   ） A．1026 B．1029 C．1032 D．1035 2．（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）若数列满足，，则（   ） A．512 B．511 C．255 D．256 4．（24-25高二下·北京西城·期中）已知数列满足，，则 ．当 时，取得最小值． 5．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，，则其通项公式为 . 6．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 7．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列和满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. 8．（24-25高三下·湖南株洲·期中）已知数列满足，且，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明为等差数列； 9．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 考点三 累乘法 【知识点解析】 1.累乘法：已知或 （1）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得. （2）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得. （3）如论是或，均需注意最后求和的项数. 【例题分析】 1．（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 3．（24-25高二下·广东·阶段练习）记为首项为1的数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 5．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知数列的前项和为，且为等差数列． (1)证明：为等差数列； (2)若，数列满足，且，求数列的前项和． 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 7．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知等比数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且，求的前项和． 8．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 考点四 构造法 【知识点解析】 1.构造法 （1）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （2）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得和. （3）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （4）若已知，则构造数列为公差为的等比数列. （5）若题干已给出构造目标，则根据定义法代入构造目标进行证明. 【例题分析】 1．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）已知数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D．是等差数列 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·浙江·期中）设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 5．（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ． 6．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 7．（24-25高三上·重庆·期中）已知数列满足：，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 8．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列满足，. (1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 9．（2025·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 10．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 11．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 12．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)设，求数列的前项和为. 13．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列满足，，． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，是否存在实数，，使得是等差数列，若存在，求，的值，若不存在，说明理由； (3)记，,求． 考点五 倒数法 【知识点解析】 1.倒数法：已知 (1)取倒数得 (2)若，则数列是以为首项，为公差的等差数列. (3)若，则进行二次构造等比数列. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）数列满足，.正项等比数列满足，. (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 课后提升训练 1．（24-25高二下·四川内江·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东德州·期末）已知数列的前项和为，若，则的前10项和为（   ） A．32 B．41 C．52 D．65 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列的前n项和为，若，则 ． 5．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知数列满足，则 ． 6．（24-25高二下·江西景德镇·期末）已知数列的前项和，且满足，则 ． 7．（24-25高三下·山西大同·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 8．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 9．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前12项和. 10．（24-25高二下·山西·期末）已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，记数列的前项和为，证明:. 11．（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知是正项递增等比数列的前项和，，，记是正项递增数列的前项和，且. (1)求和的通项公式； (2)设的前项和为，若实数恒成立，求的取值范围. 12．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$