精品解析：山西省大同市2026届高三第一次学情调研教学质量监测（高二期末）数学试题

2026届高三年级第一次学情调研教学质量监测试题（卷） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数a的取值是（ ） A. 或 B. 2或 C. 2或或0 D. 或或0 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 6种 D. 12种 4. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据上述信息，如下判断正确的是（ ） 价格 2 需求量 12 10 7 A. 商品的价格和需求量存在正相关关系 B. 与不具有线性相关关系 C. D. 价格定为万元，预测需求量大约为 5. 已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，（ ） A. B. 1 C. D. 7. 若是奇函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知抛物线，，O为坐标原点，过点A直线l与C交于M，N不同的两点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 在区间上单调递减 C. 的最小正周期为 D. 的图象关于点对称 10. 化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（ ） A. B. 乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C. D. 11. 设正实数m、n满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 最小值为 C. mn的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知，若边上的高为，则________． 13. 如图，正方体棱长为，点P在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是________． 14. 已知函数对任意的实数x，y都有，且当时，，，则当时，的值域为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式： （2）若，，求． 16. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，且． （1）证明：平面； （2）若，，．求平面与平面夹角的余弦值． 17. 某市为发展旅游业，市旅游局提出“历史从未远去，它一直在我们身边”“一砖一瓦皆故事，一饭一蔬皆成诗”的文化创意主题，围绕这一主题开展了一系列丰富多彩的文艺活动．为了了解人们对活动的喜爱程度，现随机抽取400人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 180 240 女性 50 合计 400 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对该活动的喜爱程度是否与性别有关联； （2）为宣传历史文化知识，当地文化局组织了历史知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；乙只能正确完成其中的6道题． ①求甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量X表示乙可以正确完成题的个数，求变量X的分布列及数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值； （2）讨论函数单调性； （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高三年级第一次学情调研教学质量监测试题（卷） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数a的取值是（ ） A. 或 B. 2或 C. 2或或0 D. 或或0 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得，根据交集的结果及集合的描述求参数值，即可得. 【详解】解方程，得或，所以， 又，所以集合B是集合A的子集． 集合A的子集有，，，，显然集合最多有一个元素， 所以a的可能取值有、、0． 故选：D 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的性质即可求解. 【详解】由题设，则. 故选：C. 3. 在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 6种 D. 12种 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论A小区安排的人数，应用分步分类及排列组合数求不同的安排方法数即可. 【详解】①A小区安排一人，有种， ②A小区安排两人，有种， 所以共24种． 故选：A 4. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据上述信息，如下判断正确的是（ ） 价格 2 需求量 12 10 7 A. 商品价格和需求量存在正相关关系 B. 与不具有线性相关关系 C. D. 价格定为万元，预测需求量大约为 【答案】D 【解析】 【分析】由散点图判断A，根据回归直线方程判断B，求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，令求出，即可判断D. 【详解】由散点图可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A错误； 由经验回归方程为，可知与具有线性相关关系，故A错误； 又，， 又经验回归直线方程必过样本中心点， 则，解得，故C错误； 当时，， 所以价格定为万元，预测需求量大约为，故D正确． 故选：D． 5. 已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构建合适的直角坐标系，根据已知得，，设并结合数量积的坐标表示列方程求向量坐标，进而求模长. 【详解】由题意，得，设向量、的夹角为θ， 因为，所以，故． 以O为原点，以方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， 使的起点与O重合，终点在第一象限，则，， 设，则，故， 所以，故． 故选：B 6. 已知，，（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数关系求得，，再由二倍角正弦公式求目标式的值. 【详解】因为且，所以，， 所以. 故选：A 7. 若是奇函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的定义域区间对称性求参数，再由求参数，进而验证即可得. 【详解】若，则的定义域为，不关于原点对称，所以． 若奇函数有意义，则且，所以且． 因为奇函数的定义域关于原点对称，由，解得． 由，得，所以． 所以，经验证满足题设. 故选：B 8. 已知抛物线，，O为坐标原点，过点A的直线l与C交于M，N不同的两点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线方程为，，，，，联立抛物线并应用韦达定理得，，结合已知向量线性关系有，进而求出M，N的纵坐标，应用三角形面积公式求面积. 【详解】由题意，直线l的斜率不为0，可设直线方程为， 设，，，， 联立可得，消去x可得，， 由韦达定律得，， 由，， 又，则， 由，则，解得，， 所以． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 在区间上单调递减 C. 的最小正周期为 D. 的图象关于点对称 【答案】AB 【解析】 【分析】根据奇偶性判断A，然后作出函数的图象，结合图象判断BCD． 【详解】的定义域为R，因为， 所以为偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确； 当时，，作出函数在y轴右侧的图象，再把图象关于y轴对称到左侧，得到的函数图象， 由函数图象可知，函数在区间上单调递减，不具有周期性，不关于点对称， 所以B正确，C错误，D错误． 故选：AB． 10. 化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（ ） A. B. 乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由正态分布密度函数曲线的图象及性质可判断A，B；利用正态分布密度函数曲线的对称性以及原则即可判断C，D. 【详解】由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大，反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小. 对于两个小组的误差，甲组的标准差，乙组的标准差 显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据相对乙组更集中，故A正确，B错误； 故C正确; 而对于任何正态分布都有 故，故D错误. 故选：AC. 11. 设正实数m、n满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. mn的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题设得，结合指数函数性质判断A；应用三角换元、辅助角公式及正弦型函数性质求的范围判断B；应用基本不等式求最值判断C、D. 【详解】对于A，因为正实数m，n满足，则，，故，正确； 对于B，设，，，满足正实数m，n的关系式， 所以， 由于，所以，所以，错误； 对于C，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，正确； 对于D，因为，可得，当且仅当时等号成立，正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知，若边上的高为，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】设角所对的边为c，由题设用表示出，再应用余弦定理求. 【详解】设角所对的边为c，依题意得边上的高，而， 所以，，在中，， 中，； 在中，． 故答案为： 13. 如图，正方体的棱长为，点P在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，先确定点P的轨迹是平面内以点A为圆心，圆心角为且半径为1的圆弧及其内部，连接交于点O，进而求出点P到的最小距离，最后应用棱锥的体积公式求最小体积. 【详解】连接，因为平面，平面，所以， 所以，， 所以，点P的轨迹是平面内以点A为圆心，圆心角为且半径为1的圆弧及其内部， 连接交于点O， 因为四边形为正方形，所以O为的中点，且， 因为正方形的边长为，则，所以， 设点P到的距离为d，则， 所以，面积的最小值为， 故，即三棱锥体积的最小值为． 故答案为： 14. 已知函数对任意的实数x，y都有，且当时，，，则当时，的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得出函数为增函数，且为奇函数，而函数是连续的，故只需求出端点函数值即可得解. 【详解】设任意的，则，所以． 又， 所以函数为增函数． 令，得； 令，则，而的定义域为关于原点对称，故为奇函数． 所以，， 所以在上的值域为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式： （2）若，，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用关系求通项公式即可； （2）应用裂项相消法求. 【小问1详解】 由，得， 两式相减得，则； 【小问2详解】 由（1）可知，则， 所以 . 16. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱中点，且． （1）证明：平面； （2）若，，．求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点F，连接，，利用平行四边形的性质证明，再用线面平行的判定定理证明目标结论即可． （2）以A为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，里用空间向量法求解平面与平面的夹角余弦值即可． 【小问1详解】 如图，取的中点F，连接，， 由中位线定理得，，又，， 得到，且，即四边形为平行四边形， 则，又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，，所以， 又因为，，且，平面， 所以平面； 由，，可知，所以． 故，，两两垂直， 以A为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得，，故， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，，故， 设面与面夹角为θ， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 某市为发展旅游业，市旅游局提出“历史从未远去，它一直在我们身边”“一砖一瓦皆故事，一饭一蔬皆成诗”的文化创意主题，围绕这一主题开展了一系列丰富多彩的文艺活动．为了了解人们对活动的喜爱程度，现随机抽取400人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 180 240 女性 50 合计 400 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对该活动的喜爱程度是否与性别有关联； （2）为宣传历史文化知识，当地文化局组织了历史知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；乙只能正确完成其中的6道题． ①求甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量X表示乙可以正确完成题的个数，求变量X的分布列及数学期望． 附：，其中． α 0.1 005 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，认为人们对该活动的喜爱程度与性别无关； （2）①；②分布列见解析，3. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验基本思想即可得结论； （2）①应用独立重复试验的概率求法及互斥事件加法求概率；②由题意X的所有可能取值为2，3，4，依次求出对应概率即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 补全的列联表如下 不喜爱 喜爱 合计 男性 60 180 240 女性 50 110 160 合计 110 290 400 零假设为：人们对该活动的喜爱程度与性别无关， 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此我们可以认为成立，即认为人们对该活动的喜爱程度与性别无关． 【小问2详解】 ①记“甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则； ②X的所有可能取值为2，3，4， ，， X的分布列为 X 2 3 4 P X的数学期望． 18. 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②存在，. 【解析】 【分析】（1）由离心率及椭圆的定义，基本不等式求椭圆参数，即可得方程； （2）①设，，联立直线与椭圆，应用中点公式及中点在直线上得到关于的方程，求参数值； ②设直线的方程为，分别求出的纵坐标，结合韦达公式得，确定的中点坐标，再由平行四边形的性质求坐标，即可得结论. 【小问1详解】 因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 故，所以，所以，故椭圆C的方程为. 【小问2详解】 ①设，， 由，得， 由，得，，， 设中点坐标为，则， 因为在直线上，所以，即 所以，解得； ②存在点使得四边形为平行四边形， 因为在椭圆上，所以易知，， 设直线的方程为， 令，得，同理， 又由①知， 所以 所以线段的中点坐标为， 连接，则线段的中点坐标也为， 由于，可得，所以点H的坐标为. 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若，求证：． 【答案】（1）1； （2）答案见解析； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义及已知平行关系有，求参数值即可； （2）由（1）令，讨论、、，结合二次函数的性质确定的符号，进而确定的单调性； （3）由题设得，令，得，将问题化为证明，结合（2）即可证. 【小问1详解】 的定义域为，，所以， 依题意有，即，解得，此时， 所以曲线在点处的切线方程为，与平行． 所以实数a的值为1． 【小问2详解】 令，方程的判别式． 若，即，恒成立， 即对任意，，所以在上单调递增； 若，即或， 当时，在上恒成立， 即对任意，，所以在上单调递增； 当时，令，得或； 令，得． 在上，；在上，． 所以在，上单调递增，在上单调递减． 综上， 当时，在定义域上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间，上单调递增． 【小问3详解】 由整理可得， 因为，，所以，因此， 因为，所以， 令，则，所以，， 所以， 要证，需证，即证，即， 由（2）知时，在上单调递增，所以时，， 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$