5.1.1 数列的概念-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 已知数列 {a n } 的通项公式是 a n = 3n 4n+2 ， 那么这个数列是 （ ） A. 摆动数列 B. 递减数列 C. 递增数列 D. 常数列 2. 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n ＝-2n 2 +21n ， 则该数列中数值最大的项是 （ ） A. 第 5 项 B. 第 6 项 C. 第 4 项或第 5 项 D. 第 5 项或第 6 项 3. 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n = n （ n+1 ） 3 n-1 ， 前 n 项和为 S n ， 若对任意的正整数 n ， 不等 式 S n > （ -1 ） n c 恒成立 ， 则实数 c 的取值范围是 （ ） A. （ -1 ， 4 ） B. （ -2 ， 4 ） C. -1 ， 27 4 4" D. -2 ， 27 4 4" 4. 已知数列 {a n } 满足 a 1 = 1 3 ， a n = 2n-3 2n+1 a n-1 （ n≥2 ， n∈N * ）， 则数列 {a n } 的通项 a n = （ ） A. 1 4n 2 -1 B. 1 2n 2 +1 C. 1 （ 2n-1 ）（ 2n+3 ） D. 1 （ n+1 ）（ n+3 ） 5. 数列 {a n } 的前 n 项和 S n =2 n +2 ， 数列 {log 2 a n } 的前 n 项和为 T n ， 则 T 20 ＝ （ ） A. 190 B. 192 C. 180 D. 182 6. 设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和 ， S n = （ -1 ） n a n - 1 2 n ， n∈N * ， 则 S 1 +S 2 + … +S 100 = （ ） A. 1 3 1 2 " 2 100 - - 4 1 B. 1 3 1 2 " 2 98 - - 4 1 C. 1 3 1 2 " 2 50 - - 4 1 D. 1 3 1 2 " 2 49 - - 4 1 7. （ 多选题 ） 下列可作为数列 1 ， 0 ， 1 ， 0 ， 1 ， 0 ， … 的通项公式的有 （ ） A. a n = 1- （ -1 ） n 2 B. a n =sin 2 nπ 2 C. a n = 1-cosnπ 2 D. a n =｜sinnπ｜ 8. 在数列 {a n } 中 ， a 1 =-2 ， a n+1 =1- 1 a n ， 则 a 2 018 的值为 . 第五章 数 列 5.1 数列基础 夯实 · 基础 5.1.1 数列的概念 能力 · 提升 30 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 9. 数列 {a n } 的通项公式是 a n =n 2 -7n+6 （ n∈N * ， n≥1 ）， 这个数列从第 项起各项 均为正数 . 10. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n = n-4 2n-25 ， 则 S n 取得最大值时 n 的值为 ， a 11 + a 12 +a 13 +a 14 +a 15 ＝ . 11. 数列 {a n } 的通项公式是 a n =n 2 -7n+6. （ 1 ） 这个数列的第 4 项是多少 ？ （ 2 ） 150 是不是这个数列的项 ？ 若是这个数列的项 ， 它是第几项 ？ 12. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 求数列 {a n } 的通项公式 . （ 1 ） S n =2 n -1 ， n∈N * ； （ 2 ） S n =2n 2 +n+3 ， n∈N * . 13. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 公比为 q （ q>0 ） 的等比数列 {b n } 的前 n 项和为 T n ， 并满足 2 S n+1 （ 1+T n ） =2 S n （ n∈N * ）， 且 a 1 =0 ， a 2 =-1 ， T 3 =7. （ 1 ） 求 a n 与 b n ； （ 2 ） 若不等式 t （ T n +1 ） +S n +S n+1 >0 对任意的正整数 n 恒成立 ， 求实数 t 的取值范围 . 拓展 · 探究 31 暑 假 作 业 新课程 人所得分数相同的概率为 1 3 × 1 4 + 2 5 × 1 2 + 1 5 × 1 6 + 1 15 × 1 12 = 29 90 . （ 2 ） X 可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 则 P （ X=0 ） = 1 15 × 1 12 = 1 180 ， P （ X=1 ） = 1 15 × 1 6 + 1 5 × 1 12 = 1 36 ， P （ X=2 ） = 1 15 × 1 2 + 1 5 × 1 6 + 2 5 × 1 12 = 1 10 ， P （ X=3 ） = 1 15 × 1 4 + 1 5 × 1 2 + 2 5 × 1 6 + 1 3 × 1 12 = 19 90 ， P （ X=4 ） = 1 5 × 1 4 + 2 5 × 1 2 + 1 3 × 1 6 = 11 36 ， P （ X=5 ） = 2 5 × 1 4 + 1 3 × 1 2 = 4 15 ， P （ X=6 ） = 1 3 × 1 4 = 1 12 ， ∴ 随机变量 X 的分布列为 ∴E （ X ） =0× 1 180 +１× 1 36 +２× 1 10 +３× 19 90 +４× 11 36 +５× 4 15 +６× 1 12 = 47 12 . 21. 解 ： （ 1 ） 应该选择模型 ②. 由题意可知 ， R 2 2 >R 1 2 ， 则模型 ② 中样本数据的残差平方和 n i=1 移 （ y i -y 赞 ） 2 比模型 ① 中样 本数据的残差平方和小 ， 即模型 ② 拟合效果好 . （ 2 ） 由已知 t= 1 x ， 成本费 y 与 t 可用线性回归来拟合 ， 有 y 赞 =d 赞 t+c 赞 . 由已知可得 ， d 赞 = 20 i=1 移 （ y i -y）（t i -t ） 20 i=1 移 （ t i -t ） 2 = 4 0.04 =100 ， ∴ c 赞 =y-d 赞 t=10-100×0.08=2 ， 则 y 关于 t 的线性回归方程为 y 赞 =100t+2 ， ∴ 成本费 y 与同批次产品生产数量 x 的回归方程为 y 赞 = 100 x +2. 当 x=25 t 时 ， y 赞 = 100 25 +2=6 （ 万元 /t ）， ∴ 同批次产品生产数量为 25 t 时 y 的预报值为 6 万元 /t. 22. 解 ： （ 1 ） 设甲获得的奖金为 X 元 ， 则 X 可能的取值为 0 ， 200 ， 700. P （ X=200 ） =0.7×0.5×0.5×0.8=0.14 ， P （ X=700 ） =0.7×0.5×0.5×0.2=0.035 ， P （ X=0 ） =1-0.14-0.035=0.825 ， ∴ 甲获得的奖 金的概率分布列为 ∴E （ X ） =0.825×0+0.14×200+0.035×700=52.5. （ 2 ） 设事件 A= “ 甲和乙最后所得奖金之和为 900 元 ”， 设事件 B= “ 甲选手获得一等奖 ” . 由 （ 1 ） 知获得二等奖的概率为 0.14 ， 获得一等奖的概率为 0.035 ， ∴P （ A ） =0.14×0.035×2=0.009 8 ， P （ AB ） =0.14×0.035=0.004 9 ， ∴ 所求的概率 P （ B|A ） = P （ AB ） P （ A ） = 0.035×0.14 0.035×0.14×2 = 1 2 . 第五章 数 列 ５.１ 数列基础 5.1.1 数列的概念 1. C 2. A 3. B 4. A 5. B 6. A 7. ABC 8. 3 2 9. 7 10. 13 17 5 11. （ 1 ） -6 （ 2 ） 是 ， 第 16 项 X 0 1 6 P 1 180 1 36 1 12 2 1 10 5 4 15 4 11 36 3 19 90 X 700 P 0.035 0 0.825 200 0.14 70 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 12. （ 1 ） a n =2 n-1 （ n∈N * ） （ 2 ） a n = 6 （ n=1 ）， 4n-1 （ n≥2 ， n∈N * * ） 13. 解 ： （ 1 ） 在 2 S n+1 （ 1+T n ） =2 S n （ n∈N * ） 中令 n=1 ， 得 2 S 2 （ 1+T 1 ） =2 S 1 圯2 S 2 -S 1 （ 1+T 1 ） =1圯2 a 2 （ 1+T 1 ） =1圯b 1 =1 ， T 3 =b 1 （ 1+q+q 2 ） =7圯q=2 ， 因此 b n =2 n-1 ， T n =2 n -1. 2 S n+1 （ 1+T n ） =2 S n 圯2 a n+1 =2 -n 圯a n+1 =-n圯a n =-n+1 （ n≥2 ）， a 1 =0 也满足上式 ， ∴a n =-n+1. （ 2 ） S n =- n （ n-1 ） 2 ， T n =2 n -1 ， 代入可得 t · 2 n - n （ n-1 ） 2 - n （ n+1 ） 2 >0 ， 即 t> n 2 2 n n & max . 令 c n = n 2 2 n ， 令 c n+1 -c n = （ n+1 ） 2 2 n+1 - n 2 2 n = -n 2 +2n+1 2 n+1 >0圯n≤2 ， ∴n≤2 时 c n+1 >c n ； n≥3 时 c n+1 <c n . 因此 ， （ c n ） max =c 3 = 9 8 圯t> 9 8 . 5.1.2 数列中的递推 1. B 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D 7. BCD 8. 16 3 9. ①③④ 10. 3 n -2 11. 1 0 12. （ 1 ） a 1 =1 ， a 2 = 1 3 ， a 3 = 1 5 ， a 4 = 1 7 ， a 5 = 1 9 （ 2 ） a n = 1 2n-1 13. （ 1 ） 解 ： 由题意 a 1 +2a 2 +3a 3 + … +na n = （ n-1 ） 2 n+1 +2 ① ， 当 n≥2 时 ， a 1 +2a 2 +3a 3 + … + （ n-1 ） a n-1 = （ n-2 ） 2 n +2 ②. ①－② 得 na n = （ n-1 ） 2 n+1 - （ n-2 ） 2 n ， 即 a n =2 n . 当 n=1 时 ， a 1 =2 满足上式 ， ∴a n =2 n . （ 2 ） 证明 ： ∵log 2 a n =log 2 2 n =n ， ∴ 1 log 2 a n · log 2 a n+2 = 1 n （ n+2 ） = 1 2 1 n - 1 n+2 n & ， ∴T n = 1 2 × 1- 1 3 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 5 + … + 1 n-1 - 1 n+1 + 1 n - 1 n+2 n & = 1 2 × 1+ 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 n & = 3 4 - 2n+3 2 （ n+1 ）（ n+2 ） . 又 ∵ 2n+3 2 （ n+1 ）（ n+2 ） >0 ， ∴T n < 3 4 . 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 1. B 2. B 3. A 4. D 5. C 6. C 7. C 8. AC 9. BCD 10. n · 2 n-1 11. 4 043 2 12. 0 13. （ 1 ） a n =2n-6 （ 2 ） 7 14. （ 1 ） 证明 ： ∵a 1 =-7 ， a 2 =-6 ， a n+1 =ka n +1 ， 则 a 2 =ka 1 +1 ， 即 -6=-7k+1 ， 解得 k=1 ， ∴a n+1 =a n +1 ， 即 a n+1 -a n =1 ， ∴ 数列 {a n } 是以 -7 为首项 ， 以 1 为公差的等差数列 ， 故 a n =-7+n-1=n-8. （ 2 ） 解 ： |a n |=|n-8|= 8-n ， n≤8 ， n-8 ， n≥9 * ， ∴T 20 =|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+ … +|a 20 |= 8× （ 7+0 ） 2 + 12× （ 1+12 ） 2 =28+78=106. 5.2.2 等差数列的前 n 项和 1. A 2. A 3. C 4. A 5. D 6. D 7. A 8. BC 9. AD 10. 1 11. 57 12. n-5 （ 答案不唯一 ） 13. （ 1 ） a n =2n-13 （ 2 ） S n =n 2 -12n ， n=6 时 ， S n 的最小值为 -36. 14. 解 ： （ 1 ） ∵a n =S n -S n-1 （ n≥2 ）， ∴a n = （ S n 姨 - S n-1 姨 ）（ S n 姨 + S n-1 姨 ） （ n≥2 ） . 又 ∵a n = S n 姨 + S n-1 姨 （n∈N * 且 n≥ 2 ）， a n >0 ， ∴ S n 姨 - S n-1 姨 =1 （ n≥2 ）， ∴ 数列 { S n 姨 } 是以 S 1 姨 = a 1 姨 = 1 姨 =1 为首项 ， 1 为公差的等差数列 ， ∴ S n 姨 = 1+ （ n-1 ） =n ， ∴S n =n 2 . 当 n≥2 时 ， a n =S n -S n-1 =n 2 - （ n-1 ） 2 =2n-1 ， 当 n=1 时 ， a 1 =1 满足上式 ， ∴ 数列 {a n } 的通项公式为 a n =2n-1. （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ， a n =2n -1 ， T n = 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 + 1 a 3 a 4 + … + 1 a n a n+1 = 1 1×3 + 1 ３×５ + 1 ５×７ + … + 1 （ 2n-1 ）（ 2n+1 ） = 1 2 × 71