4.2.4 随机变量的数字特征-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 已知离散型随机变量 X 的分布列如右表 ， 则数学期望 E （ X ） = （ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 1 D. 2 2. 设 0<a<1 ， 且随机变量 X 的分布列为 则当 a 在 （ 0 ， 1 ） 内增大时 （ ） A. D （ X ） 增大 B. D （ X ） 减小 C. D （ X ） 先增大后减小 D. D （ X ） 先减小后增大 3. 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 这组数据中 ， 随机取出三个不同的数 ， 用 X 表示取出的数字的最小 数 ， 则随机变量 X 的数学期望 E （ X ） = （ ） A. 3 2 B. 5 3 C. 7 4 D. 9 5 4. 已知数据 x 1 ， x 2 ， x 3 ， …， x n 的平均数为 4 ， 方差为 2 ， 则数据 2x 1 +3 ， 2x 2 +3 ， 2x 3 +3 ， …， 2x n +3 的平均数与方差的和为 （ ） A. 6 B. 15 C. 19 D. 22 5. 已知离散型随机变量 X 的所有可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 且 P （ X≥1 ） = 2 3 ， P （ X=3 ） = 1 6 ， 若 X 的数学期望 E （ X ） = 5 4 ， 则 D （ 4X-3 ） = （ ） A. 19 B. 16 C. 19 4 D. 7 4 6. （ 多选题 ） 一个袋中装有除颜色外其余完全相同的 6 个黑球和 4 个白球 ， 现从中任取 4 个小球 ， 设取出的 4 个小球中白球的个数为 X ， 则 （ ） A. 随机变量 X 服从二项分布 B. 随机变量 X 服从超几何分布 C. P （ X=2 ） = 3 7 D. E （ X ） = 8 5 7. （ 多选题 ） 设离散型随机变量 X 的分布列如下表 ： 4.2.4 随机变量的数字特征 夯实 · 基础 X 1 2 3 P 1 3 1 3 1 3 X 0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 能力 · 提升 14 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 若离散型随机变量 Y=-3X+1 ， 且 E （ X ） =3 ， 则 （ ） A. m=0.1 B. n=0.1 C. E （ Y ） =-8 D. D （ Y ） =-7.8 8. 设 X 为随机变量 ， X~B （ 6 ， p ）， 若随机变量 X 的期望为 4 ， 则 P （ X≥1 ） = . 9. 甲 、 乙两名乒乓球运动员进行乒乓球比赛 ， 如果每局比赛甲胜的概率为 0.6 ， 乙胜的 概率为 0.4 ， 且每局比赛胜负相互独立 . （ 1 ） 若甲 、 乙两名运动员共进行 5 局比赛 ， 用随机变量 X 表示甲胜利的局数 ， 求 X 的分 布列及 E （ X ） . （ 2 ） 现有 “ 3 局 2 胜制 ” 和 “ 5 局 3 胜制 ” 两种赛制 ， 若你作为甲运动员 ， 你希望选择 哪种赛制 ？ 请说明理由 . 10. 为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情 ， 某校举办了 “ 我爱古诗词 ” 对 抗赛 . 在每轮对抗赛中 ， 高二年级胜高三年级的概率为 2 5 ， 高一年级胜高三年级的概率为 1 3 ， 且每轮对抗赛的成绩互不影响 . （ 1 ） 若高二年级与高三年级进行 4 轮对抗赛 ， 求高三年级在对抗赛中至少有 3 轮胜出的 概率 ； （ 2 ） 若高一年级与高三年级进行对抗 ， 高一年级胜 2 轮就停止 ， 否则开始新一轮对抗 ， 但对抗不超过 5 轮 ， 求对抗赛轮数 X 的分布列与数学期望 . X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.2 n 0.3 拓展 · 探究 15 暑 假 作 业 新课程 4.2.4 随机变量的数字特征 1. D 2. D 3. A 4. C 5. A 6. BCD 7. BC 8. 728 729 9. 解 ： （ 1 ） 由题意知 ， 随机变量 X~B （ 5 ， 0.6 ）， P （ X=0 ） =C 0 5 ×0.6 0 × （ 1-0.6 ） 5 = 32 3 125 ， P （ X=1 ） =C 1 5 ×0.6 1 × （ 1-0.6 ） 4 = 240 3 125 ， P （ X=2 ） =C 2 5 ×0.6 2 × （ 1-0.6 ） 3 = 720 3 125 ， P （ X=3 ） =C 3 5 ×0.6 3 × （ 1-0.6 ） 2 = 1 080 3 125 ， P （ X=4 ） =C 4 5 ×0.6 4 × （ 1-0.6 ） 1 = 810 3 125 ， P （ X=5 ） =C 5 5 ×0.6 5 × （ 1-0.6 ） 0 = 243 3 125 ， ∴X 的分布列为 E （ X ） =np=5×0.6=3. （ 2 ） 希望采用 “ 5 局 3 胜制 ”， 理由如下 ： 采用 “ 3 局 2 胜制 ” 时 ， 甲获胜的概率为 P 1 =C 1 2 ×0.6×0.4×0.6+C 2 2 ×0.6×0.6=0.648 ， 采用 “ 5 局 3 胜制 ” 时 ， 甲获胜的概率为 P 2 =C 2 4 ×0.6 2 ×0.4 2 ×0.6+C 2 3 ×0.6 2 ×0.4×0.6+C 3 3 ×0.6 3 =0.682 56 ， 故 P 1 <P 2 . ∴ 对于甲 （ 我 ） 而言 ， 显然 “ 5 局 3 胜制 ” 更有利 . 10. 解 ： （ 1 ） 由题意知 ， 高三年级胜高二年级的概率为 3 5 . 设高三年级在 4 轮对抗赛中有 x 轮胜出 ， “ 至少有 3 轮胜出 ” 的概率为 P ， 则 P=P （ x=3 ） +P （ x=4 ） =C 3 4 × 3 5 5 " 3 × 2 5 + 3 5 5 " 4 = 297 625 . （ 2 ） 由题意知 ， X 的所有可能取值为 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 则 P （ X=2 ） = 1 3 5 " 2 = 1 9 ， P （ X=3 ） =C 1 2 × 1 3 × 1- 1 3 5 " × 1 3 = 4 27 ， P （ X= 4 ） =C 1 3 × 1 3 × 1- 1 3 5 " 2 × 1 3 = 4 27 ， P （ X=5 ） =C 1 4 × 1 3 × 1- 1 3 5 " 3 ×1+ 1- 1 3 5 " 4 = 16 27 ， 故 X 的分布列为 ∴E （ X ） =2× 1 9 +3× 4 27 +4× 4 27 +5× 16 27 = 38 9 . 4.2.5 正态分布 1. C 2. B 3. B 4. B 5. BC 6. ABC 7. －2 8. 0.09 9. （ 1 ） X=69 ， s 2 =119 （ 2 ） ①P （ 47.2<X<79.9 ） =0.818 5 ②0.13 4.3 统计模型 4.3.1 一元线性回归模型 1. A 2. B 3. C 4. ABC 5. ②④ 6. （ 1 ） ②y=c+dx 2 更适宜 （ 2 ） y 赞 =6.5+2.5x 2 （ 3 ） 96.5 万 X 0 1 2 5 P 32 3 125 240 3 125 720 3 125 243 3 125 3 1 080 3 125 4 810 3 125 X 2 3 4 5 P 1 9 4 27 4 27 16 27 68