3.1.2椭圆的简单几何性质课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质 第一课时 复习回顾 椭圆的定义: 椭圆的标准方程: 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse). 焦点在x轴上: 焦点在y轴上: 其中 伸缩变换 ? 圆 椭圆 形状、大小、范围、对称性、特殊点 椭圆的标准方程 范围 问题 观察椭圆的形状,你能从图中看出它的范围吗? 椭圆上的点都在一个特定的矩形内 同理 范围 问题 观察椭圆的形状,你能从图中看出它的范围吗? 椭圆位于直线x= a和y= b围成的矩形框里 对称性 问题 观察椭圆的形状,你能从图中看出它具有怎样的对称性? 椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形 点P(x,y)在椭圆上 点P1(x, y) 关于x轴对称 椭圆关于x轴对称 在椭圆上 对称性 问题 观察椭圆的形状,你能从图中看出它具有怎样的对称性? 椭圆关于x轴对称 椭圆关于y轴对称 椭圆关于原点对称 坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 顶点 问题 观察椭圆的形状,你能从图中看出椭圆上有哪些点比较特殊?为什么?如何得到这些点的坐标? x=0 B1(0,-b),B2(0,b) y=0 A1(-a,0),B2(a,0) 椭圆与对称轴的交点 椭圆的顶点 顶点 问题 观察椭圆的形状,你能从图中看出椭圆上有哪些点比较特殊?为什么?如何得到这些点的坐标? 椭圆与对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点 线段A1A2叫做椭圆的长轴,它的长等于2a 线段B1B2叫做椭圆的短轴,它的长等于2b a叫做椭圆的长半轴长 b叫做椭圆的短半轴长 离心率 问题 观察下图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同.扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗? 离心率 问题 观察下图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同.扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗? a不变,c越接近a,椭圆越扁平. ,椭圆越扁平. 即e=. 我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率,用e表示 . 离心率 问题 观察下图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同.扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗? 范围: 0<e<1 椭圆的离心率 e=. e越接近1,c越接近a,越小,因此椭圆越扁平; 当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为 e越接近0,c越接近0,越大,因此椭圆越接近于圆; 典型例题 例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解:把 , 于是,,. 则椭圆的长轴长, 离心率,两个焦点坐标分别是和, 四个顶点坐标分别是,,和. 课堂小结 椭圆的性质 观察与猜想 方程验证 数形结合 对称性 长轴长、短轴长 离心率 顶点 焦点 范围 与坐标无关 与坐标有关 目标检测 1.求下列椭圆的焦点坐标: (1);(2). 目标检测 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1); (2)在y轴上,. 课后作业 1.求下列椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标,并画出图形: (1); (2). 2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过,两点; (2)长轴长是短轴长的3倍,且经过点; (3)焦距是8,离心率等于0.8. 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第二课时 复习回顾 椭圆的定义: 椭圆的标准方程: 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse). 焦点在x轴上: 焦点在y轴上: 其中 椭圆的性质: 对称性 长轴长、短轴长 离心率 顶点 焦点 范围 典型例题 例1 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知,,.试建立适当的平面直角坐标系,求截口BAC所在椭圆的方程. 实际问题 数学问题(模型) 数学模型的解 推 论 理 证 数学抽象 实际问题的解 解释说明 典型例题 例1 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知,,.试建立适当的平面直角坐标系,求截口BAC所在椭圆的方程. 椭圆的方程 求a,b 建立关于a,b的方程 典型例题 例1 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知,,.试建立适当的平面直角坐标系,求截口BAC所在椭圆的方程. 解:建立如图所示的平面直角坐标系,设所求椭圆方程为 . 解得 所以,所求的椭圆方程为 由题,2c=4.5,c=2.25. . 有 方程思想 典型例题 例1 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知,,.试建立适当的平面直角坐标系,求截口BAC所在椭圆的方程. 解:建立如图所示的平面直角坐标系,设所求椭圆方程为 . 在中, 由椭圆性质知,. 所以,所求的椭圆方程为 由题,2c=4.5,c=2.25. . 典型例题 例2 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x的距离的比是常数,求动点M的轨迹. 轨迹方程 轨迹上任意的点 M 的坐标(x , y)所满足的条件 点M所满足的条件 点M与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x的距离的比是常数 变化中的不变性 两点间距离和点到直线的距离 转化 典型例题 例2 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x的距离的比是常数,求动点M的轨迹. 解: 由题, , 从而, 化简得, , 即M的轨迹方程为 点M的轨迹是是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆. 典型例题 例2 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x的距离的比是常数,求动点M的轨迹. M的轨迹方程为. 平面内到一个定点F(c,0)的距离和到一条定直线l:x= 的距离之比为一个常数e(0<e<1)的点P的轨迹是椭圆. e 准线 目标检测 1.点与定点的距离和它到定直线的距离的比是,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形. 解: 由题, , 从而, 化简得, , 即M的轨迹方程为 点M的轨迹是是长轴、短轴长分别为8, 的椭圆. 典型例题 例2 一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线? 动圆与圆外切 圆心距等于两圆半径之和 外切 M O1 动圆与圆切 圆心距等于两圆半径之差 内切 M O1 典型例题 例2 一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线? 圆 圆心(3,0),半径r1=2 圆 圆心(3,0),半径r2=10 设动圆圆心为M,半径为R 典型例题 例2 一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线? 圆 圆心(3,0),半径r1=2 圆 圆心(3,0),半径r2=10 设动圆圆心为M,半径为R 典型例题 例2 一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线? 解:由圆知圆心为半径r1=2. 由圆知圆心(3,0),半径r2=10. 设动圆圆心为M,半径为R. 由题,当动圆与圆相外切时,有 …① 当动圆与圆相内切时,有…② 将①②两式相加,得, 所以点的轨迹是焦点为点、,长轴长等于的椭圆. ∴, ∴ ∴ ∴动圆圆心轨迹方程为,轨迹为椭圆. 定义法 课堂小结 椭圆 定义法 椭圆的标准方程 动点满足的条件 变化中的不变性 直接法 实际问题 数学问题(模型) 数学模型的解 推 论 理 证 数学抽象 实际问题的解 解释说明 3.1.2椭圆的简单几何性质 第三课时 典型例题 例1 如图,已知直线和椭圆.m为何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个公共点?(2)有且只有一个公共点?(3)没有公共点? 联立 方程组解的个数 公共点个数 x y O 典型例题 例1 如图,已知直线和椭圆.m为何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个公共点?(2)有且只有一个公共点?(3)没有公共点? 解: 由 得 由 (1)由,得.此时方程①有两个不相等的实数根,直线l与椭圆C有两个不同的公共点. x y O 典型例题 例1 如图,已知直线和椭圆.m为何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个公共点?(2)有且只有一个公共点?(3)没有公共点? 解: 由 得 由 (2)由,得,.此时方程①有两个相等的实数根,直线l与椭圆C有且只有一个公共点. x y O 典型例题 例1 如图,已知直线和椭圆.m为何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个公共点?(2)有且只有一个公共点?(3)没有公共点? 解: 由 得 由 (3)由,得,或.此时方程①没有实数根,直线l与椭圆C没有公共点. x y O 典型例题 变式1 如图,已知直线与椭圆相交于M,N两个点,求线段MN的长. 解: 由 得 解得 将其带入,得 所以直线 l 与椭C 的两个交点为 于是 x y O N M 典型例题 变式1 如图,已知直线与椭圆相交于M,N两个点,求线段MN的长. 解: 由 得 设直线 l 与椭C 的两个交点为 则 于是 设而不求 x y O N M 典型案例 变式2 已知椭圆,直线.椭圆上是否存在一点,使得: (1)它到直线l的距离最小?最小距离是多少? (2)它到直线l的距离最大?最大距离是多少? x y O x y O 解: 由题,直线与椭圆不相交. 设与直线平行的直线.则当直线m与椭圆相切时,直线m与椭圆的公共点到直线l的距离最大或最小. 得 由 得,. 典型案例 变式2 已知椭圆,直线.椭圆上是否存在一点,使得: (1)它到直线l的距离最小?最小距离是多少? (2)它到直线l的距离最大?最大距离是多少? x y O x y O 得,. 由图可知,当时,直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近,此时直线m的方程为 当时,直线m与椭圆的交点到直线l的距离最远,此时直线m的方程为 为 课堂小结 直线与椭圆的位置关系:相交、相切、相离 联立 关于x(或y)的一元二次方程 公共点个数 直线与椭圆相交于M,N 弦长|MN|= 设而不求 目标检测 1.求下列直线与椭圆的交点坐标: (1),;(2),. 解:(1)由,得,即,代入得,所以与的交点坐标为; (2)由得,即, 代入得, 所以与的交点坐标为,. 目标检测 2.经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60 的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,求AB的长. 解: 椭圆方程为知焦点为 , 直线过左焦点倾斜角为, 直线的方程为, 由,得 设,,,,可得 , 课后作业 1.已知椭圆,一组平行直线的斜率是. (1)这组直线何时与椭圆相交? (2)当它们与椭圆相交时,证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上. Lavf58.20.100 解:(1)因为椭圆方程为,焦点在轴,所以,,因为, 即, 所以椭圆的焦点坐标为和 (2)因为,所以,焦点在轴,所以,, 因为, 即, 所以椭圆的焦点坐标为和 解:(1)因为椭圆方程为,焦点在轴,所以,,因为, 即, 所以椭圆的焦点坐标为和 (2)因为,所以,焦点在轴,所以,, 因为, 即, 所以椭圆的焦点坐标为和 $$