4.2 提取公因式法 暑假分层练习2024-2025学年浙教版（2024）数学七年级下册

浙教版（2024）七年级下册 4.2 提取公因式法 暑假分层练习 一、公因式的概念 1.多项式3x2y3﹣12x2y4﹣6x2y2的公因式是（　　） A.x2y3 B.3x2y3 C.3x2y2 D.3xy 2.多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（　　） A.4a2 B.4abc C.2a2 D.4ab 3.多项式8x2y5﹣12x4y3的公因式是（　　） A.x2y3 B.x4y5 C.4x4y5 D.4x2y3 4.单项式2ab2与ab的公因式是__________． 5.多项式3a2y﹣3ay+6y的公因式是__________． 6.写出下列多项式各项的公因式： （1）xy﹣x； （2）7x2+21xy； （3）4y4+20y3； （4）a2b﹣2b2． 7.说出下列多项式各项的公因式： （1）2ax+4ay； （2）3x2+6x； （3）4a2﹣6a； （4）4x2y﹣12xy； （5）﹣5a2x+15ax2； （6）﹣x3+2x2﹣3x． 二、用提取公因式法分解因式 1.将a3b3﹣a2b3﹣ab分解因式得（　　） A.ab（a2b2﹣ab2﹣1） B.ab（a2b2﹣ab2） C.a（a2b3﹣ab3﹣b） D.b（a3b2﹣a2b2﹣a） 2.将多项式（m﹣n）3﹣m（m﹣n）2﹣n（n﹣m）2因式分解，结果为（　　） A.2（m﹣n）3 B.2m（m﹣n）2 C.﹣2n（m﹣n）2 D.2（n﹣m）3 3.把3an+2+15an+1﹣45an分解因式是（　　） A.3an（a2+5a﹣15） B.3an（a2+5a﹣1﹣15） C. D.3an+1（a+5﹣15a） 4.计算：（﹣2）2023+（﹣2）2024＝________________．（用2的乘方表示） 5.分解因式：﹣12xy2（x+y）+18x2y（x+y）＝________________． 6.把下列各式分解因式： （1）24a2b﹣18ab2； （2）m（a﹣3）+2m2（3﹣a）． 7.因式分解：（x﹣1）2+3（x﹣1）． 三、所添括号前面的系数是“ 1”或“-1” 1.在等式1-a2+2ab-b2=1-(　　)中，括号里应填(　　) A. a2-2ab+b2   B. a2-2ab-b2 C. -a2-2ab+b2 D. -a2+2ab-b2 2.把多项式-3x2-2x+y-xy+y2一次项结合起来，放在前面带有“+”号的括号里，二次项结合起来，放在前面带有“-”号的括号里，等于(　　) A. (-2x+y-xy)-(3x2-y2) B. (2x+y)-(3x2-xy+y2) C. (-2x+y)-(-3x2-xy+y2) D. (-2x+y)-(3x2+xy-y2) 3.将代数式(a-b+c-d)(a+b-c-d)写成(M+N)(M-N)的形式正确的是(　　) A. [a-(b+c-d)][a+(b-c-d)] B. [(a-b+d)+c][(a+b-d)-c] C. [(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)] D. [(a-b)+(c-d)][(a+b)-(c-d)] 4.在横线上填入“+”或“-”号，使等式成立． (1)a-b=______(b-a)； (2)a+b=______(b+a)； (3)(a-b)2=______(b-a)2； (4)(a+b)2=______(b+a)2； (5)(a-b)3=_______(b-a)3； (6)(-a-b)3=_______(b+a)3． 5.a-b-c+d=a-b-(___________)=a+(___________)=a-(_________)． 6.观察下列各式：(1)-a+b=-(a-b)；(2)2-3x=-(3x-2)；(3)5x+30=5(x+6)；(4)-x-6=-(x+6)．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你的探索出来的规律，解答下面的题目： 已知a2+b2=5，1-b=-2，求1+a2+b+b2的值． 7.在-3x2+2xy+y2-2x+y-1中，不改变代数式的值，把含字母x的项放在前面带“+”号的括号里，同时把不含字母x的项放在前面带“-”的括号里． 四、添括号与提取公因式综合 1.多项式a﹣b+c（a﹣b）因式分解的结果是（　　） A.（a﹣b）（c+1） B.（b﹣a）（c+1） C.（a﹣b）（c﹣1） D.（b﹣a）（c﹣1） 2.如果x（y﹣1）﹣y+1＝0，那么x和y的值应满足（　　） A.x＝1 B.y＝1 C.x＝1或y＝1 D.x＝1且y＝1 3.多项式（x+5）2﹣x﹣5的公因式为（　　） A.x+5 B.x﹣5 C.x D.不存在 4.化简1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）1995＝__________-． 5.（1+a）mn﹣a﹣1＝（_______）•（_______） 6.因式分解：2（x﹣y）2﹣x+y． 7.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是_______，共用了_______次． （2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是_______． （3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）． 浙教版（2024）七年级下册 4.2 提取公因式法 暑假分层练习（参考答案） 一、公因式的概念 1.多项式3x2y3﹣12x2y4﹣6x2y2的公因式是（　　） A.x2y3 B.3x2y3 C.3x2y2 D.3xy 【答案】C 【解析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 多项式3x2y3﹣12x2y4﹣6x2y2的公因式是3x2y2． 故选：C． 2.多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（　　） A.4a2 B.4abc C.2a2 D.4ab 【答案】D 【解析】确定公因式的系数，取各项系数的最大公因数；确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其指数最低的，由此确定公因式即可． 多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是4ab， 故选：D． 3.多项式8x2y5﹣12x4y3的公因式是（　　） A.x2y3 B.x4y5 C.4x4y5 D.4x2y3 【答案】D 【解析】根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 多项式8x2y5﹣12x4y3中， 系数的最大公约数是4， 相同字母的最低指数次幂是x2y3， 因此公因式是4x2y3． 故选：D． 4.单项式2ab2与ab的公因式是__________． 【答案】ab． 【解析】根据公因式的确定方法：①系数取最小公倍数②字母取公共的字母③字母指数取最小的，即可写出答案． ∵2ab2与ab中都含有ab， ∴2ab2与ab的公因式为ab． 故答案为：ab． 5.多项式3a2y﹣3ay+6y的公因式是__________． 【答案】3y． 【解析】根据公因式的定义进行解题即可． 多项式3a2y﹣3ay+6y中各系数的绝对值是3，3，6，最大公约数是3， 所以公因式的系数是3； 各项都含字母y，且最低次数都是1， 所以这个多项式的公因式是3y． 故答案为：3y． 6.写出下列多项式各项的公因式： （1）xy﹣x； （2）7x2+21xy； （3）4y4+20y3； （4）a2b﹣2b2． 【答案】解：（1）公因式为x； （2）公因式为7x； （3）公因式为4y3； （4）公因式为b． 7.说出下列多项式各项的公因式： （1）2ax+4ay； （2）3x2+6x； （3）4a2﹣6a； （4）4x2y﹣12xy； （5）﹣5a2x+15ax2； （6）﹣x3+2x2﹣3x． 【答案】解：（1）公因式为2a； （2）公因式为3x； （3）公因式为2a； （4）公因式为4xy； （5）公因式为5ax； （6）公因式为x． 二、用提取公因式法分解因式 1.将a3b3﹣a2b3﹣ab分解因式得（　　） A.ab（a2b2﹣ab2﹣1） B.ab（a2b2﹣ab2） C.a（a2b3﹣ab3﹣b） D.b（a3b2﹣a2b2﹣a） 【答案】A 【解析】确定公因式是ab，然后提取公因式即可选取答案． a3b3﹣a2b3﹣ab＝ab（a2b2﹣ab2﹣1） 故选：A． 2.将多项式（m﹣n）3﹣m（m﹣n）2﹣n（n﹣m）2因式分解，结果为（　　） A.2（m﹣n）3 B.2m（m﹣n）2 C.﹣2n（m﹣n）2 D.2（n﹣m）3 【答案】C 【解析】先提取公因式（m﹣n）2，再对余下的项进行合并，整理，然后观察，如果能够分解的一定要分解彻底，如果不能分解，就是最后的结果． （m﹣n）3﹣m（m﹣n）2﹣n（n﹣m）2 ＝（m﹣n）2[（m﹣n）﹣m﹣n] ＝﹣2n（m﹣n）2． 故选：C． 3.把3an+2+15an+1﹣45an分解因式是（　　） A.3an（a2+5a﹣15） B.3an（a2+5a﹣1﹣15） C. D.3an+1（a+5﹣15a） 【答案】A 【解析】找出已知多项式的公因式，提取公因式即可得到结果． 3an+2+15an+1﹣45an＝3an（a2+5a﹣15）． 故选：A． 4.计算：（﹣2）2023+（﹣2）2024＝________________．（用2的乘方表示） 【答案】22023． 【解析】直接提取公因式（﹣2）2023，进而计算得出答案． 原式＝（﹣2）2023×（1﹣2） ＝22023． 故答案为：22023． 5.分解因式：﹣12xy2（x+y）+18x2y（x+y）＝________________． 【答案】6xy（x+y）（3x﹣2y）． 【解析】把（x+y）看作一个整体，提取公因式6xy（x+y）即可． ﹣12xy2（x+y）+18x2y （x+y）， ＝6xy（x+y）•（﹣2y）+6xy （x+y）•3x， ＝6xy（x+y）（3x﹣2y）． 故答案为：6xy（x+y）（3x﹣2y）． 6.把下列各式分解因式： （1）24a2b﹣18ab2； （2）m（a﹣3）+2m2（3﹣a）． 【答案】解：（1）24a2b﹣18ab2＝6ab（4a﹣3b）； （2）m（a﹣3）+2m2（3﹣a） ＝m（a﹣3）﹣2m2（a﹣3） ＝m（a﹣3）（1﹣2m）． 7.因式分解：（x﹣1）2+3（x﹣1）． 【答案】解：原式＝（x﹣1）（x﹣1+3） ＝（x﹣1）（x+2）． 三、所添括号前面的系数是“ 1”或“-1” 1.在等式1-a2+2ab-b2=1-(　　)中，括号里应填(　　) A. a2-2ab+b2   B. a2-2ab-b2 C. -a2-2ab+b2 D. -a2+2ab-b2 【答案】A 【解析】1-a2+2ab-b2=1-(a2-2ab+b2). 2.把多项式-3x2-2x+y-xy+y2一次项结合起来，放在前面带有“+”号的括号里，二次项结合起来，放在前面带有“-”号的括号里，等于(　　) A. (-2x+y-xy)-(3x2-y2) B. (2x+y)-(3x2-xy+y2) C. (-2x+y)-(-3x2-xy+y2) D. (-2x+y)-(3x2+xy-y2) 【答案】D 【解析】-3x2-2x+y-xy+y2=-3x2+y2-xy-2x+y=(-2x+y)-(3x2+xy-y2)，故选D． 3.将代数式(a-b+c-d)(a+b-c-d)写成(M+N)(M-N)的形式正确的是(　　) A. [a-(b+c-d)][a+(b-c-d)] B. [(a-b+d)+c][(a+b-d)-c] C. [(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)] D. [(a-b)+(c-d)][(a+b)-(c-d)] 【答案】C 【解析】(a-b+c-d)(a+b-c-d) =[(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)]．故选C． 4.在横线上填入“+”或“-”号，使等式成立． (1)a-b=______(b-a)； (2)a+b=______(b+a)； (3)(a-b)2=______(b-a)2； (4)(a+b)2=______(b+a)2； (5)(a-b)3=_______(b-a)3； (6)(-a-b)3=_______(b+a)3． 【答案】(1)- (2)+ (3)+ (4)+ (5)- (6)- 【解析】(1)a-b=-(b-a)；(2)a+b=+(b+a)；(3)(a-b)2=+(b-a)2；(4)(a+b)2=+(b+a)2；(5)(a-b)3=-(b-a)3；(6)(-a-b)3=-(b+a)3. 5.a-b-c+d=a-b-(___________)=a+(___________)=a-(_________)． 【答案】c-d -b-c+d b+c-d 【解析】a-b-c+d=a-b-(c-d)=a+(-b-c+d)=a-(b+c-d)． 6.观察下列各式：(1)-a+b=-(a-b)；(2)2-3x=-(3x-2)；(3)5x+30=5(x+6)；(4)-x-6=-(x+6)．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你的探索出来的规律，解答下面的题目： 已知a2+b2=5，1-b=-2，求1+a2+b+b2的值． 【答案】解 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． ∵1-b=-2， ∴b=3， ∴1+a2+b+b2=(a2+b2)+b+1=5+3+1=9． 7.在-3x2+2xy+y2-2x+y-1中，不改变代数式的值，把含字母x的项放在前面带“+”号的括号里，同时把不含字母x的项放在前面带“-”的括号里． 【答案】解 -3x2+2xy+y2-2x+y-1=-3x2+2xy-2x+y2+y-1=(-3x2+2xy-2x)-(-y2-y+1)． 四、添括号与提取公因式综合 1.多项式a﹣b+c（a﹣b）因式分解的结果是（　　） A.（a﹣b）（c+1） B.（b﹣a）（c+1） C.（a﹣b）（c﹣1） D.（b﹣a）（c﹣1） 【答案】A 【解析】把a﹣b看作一个整体，提取公因式（a﹣b）即可． 原式＝（a﹣b）（c+1）． 故选：A． 2.如果x（y﹣1）﹣y+1＝0，那么x和y的值应满足（　　） A.x＝1 B.y＝1 C.x＝1或y＝1 D.x＝1且y＝1 【答案】C 【解析】根据分组分解法把原式的左边因式分解，根据有理数的乘法法则解答． x（y﹣1）﹣y+1＝0， x（y﹣1）﹣（y﹣1）＝0， （y﹣1）（x﹣1）＝0， y﹣1＝0或x﹣1＝0， ∴x＝1或y＝1， 故选：C． 3.多项式（x+5）2﹣x﹣5的公因式为（　　） A.x+5 B.x﹣5 C.x D.不存在 【答案】A 【解析】多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式；可将多项式的各项进行分解，然后找出它们的公因式． （x+5）2﹣x﹣5＝（x+5）2﹣（x+5）＝（x+5）（x+5﹣1）， ∴多项式（x+5）2﹣x﹣5的公因式为x+5． 故选：A． 4.化简1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）1995＝__________-． 【答案】（1+x）1996 【解析】先把前两项看作一个整体，与第三项提取公因式（1+x），计算结果是（1+x）2，再与下一项继续提取公因式（1+x）2，计算结果是（1+x）3，以此类推，进行计算即可． 1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）1995， ＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）1995， ＝（1+x）2+x（1+x）2+…+x（1+x）1995， ＝（1+x）3+…+（1+x）1995， … ＝（1+x）1996． 5.（1+a）mn﹣a﹣1＝（_______）•（_______） 【答案】（1+a）（mn﹣1） 【解析】可将原式先进行变化，然后提取公因式（1+a）． （1+a）mn﹣a﹣1， ＝（1+a）mn﹣（1+a）， ＝（1+a）（mn﹣1）． 6.因式分解：2（x﹣y）2﹣x+y． 【答案】解：原式＝2（x﹣y）2﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（2x﹣2y﹣1）． 7.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是_______，共用了_______次． （2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是_______． （3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）． 【答案】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021， 则需要用上述方法2021次，结果是（1+x）2022， 故答案为：（1+x）2022； （3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数） ＝（1+x）[1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣1] ＝（1+x）2[（1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣2] ..． ＝（1+x）n+1． 学科网（北京）股份有限公司 $$