精品解析：福建省莆田市文献中学2024-2025学年下学期八年级期中考试数学卷

2024-2025学年文献中学八年级期中考试卷 数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理判断即可，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减乘除运算，据此逐一判断即可．熟记二次根式的加减乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、不是同类二次根式，无法合并，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意， 故选：D． 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 4. 如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：字母B所代表的正方形的面积， 故选：C． 5. 海面上有A、B、C三个灯塔，已知灯塔B位于灯塔A的北偏西方向，与灯塔A的距离为5千米；灯塔C位于灯塔A的北偏东方向，与灯塔A的距离为4千米，那么灯塔B与灯塔C的距离为（　　） A. 3千米 B. 4千米 C. 5千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题、勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由题意得，，千米，千米，由勾股定理得（千米），即可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，千米，千米， （千米）， 灯塔与灯塔的距离为千米． 故选：D． 6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了考查了勾股定理的应用；设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 在中，由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 7. 如图，矩形的顶点的坐标为，则线段的长等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，主要利用了矩形对角线相等的性质．连接，根据点的坐标利用勾股定理列式求出的长度，再根据矩形的对角线相等解答即可． 【详解】解：连接， 点的坐标为， ， 四边形是矩形， ． 故选：D． 8. 如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，结合平行四边形的性质求得是解题的关键．由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 故选：A． 9. 如图，正方形的边长为，连接、，平分交于点，则的长是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，设与交于点，设，根据角平分线性质得，证明是等腰直角三角形得，则，进而得，再由勾股定理求出，则，由此得，据此解出即可得出的长． 【详解】解：过点作于点，设与交于点，如图所示： 设， 四边形是正方形，且边长为， ，，，，， 平分，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 在中，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 10. 如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半，这样的图形有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据含30°角所对的直角边等于斜边一半，然后依次判断直角三角形中能否找到一个角等于30°，从而判断出答案． 试题解析：设正方形的边长为a， 在图①中，CE=ED=a，BC=DB=a， 故∠EBC=∠CEB≠30°，故△ECB，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 在图②中，BC=a，AC=AE=a， 故∠BAC=30°， 从而可得∠CAD=∠EAD=30°，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 在图③中，AC=a，AB=a， 故∠ABC=∠DBC≠30°，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 在图④中，AE=a，AB=AD=a， 故∠ABE=30°，∠EAB=60°， 从而可得∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=30°，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 综上可得有2个满足条件． 故选C． 考点：翻折变换（折叠问题）． 二．填空题（共6小题） 11. 二次根式中，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为： 12. 如图，O为数轴的原点，点C表示的数为2，于点C，，以O为圆心、为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理；由勾股定理得，再由数轴知点A表示的数． 【详解】解：由勾股定理得：，则点A表示的数是； 故答案为：． 13. 如图，在中，交对角线于点E，若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．由四边形是平行四边形，推出，推出，由，推出，根据计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为． 14. 如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 15. 用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．先求解菱形的边长为，再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图1，如图2，连接， 图1中，∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在图2中，∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为： 16. 如图1，D是中边上的任一点（与点A、B不重合），连接．若，则称是的“智慧线”．如图2，已知，，，若边上存在点D，使是的“智慧线”，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定，过点C 作于点E，在上找一点D，连接，使，根据勾股定理求出，再分情况计算即可解决． 【详解】解：过点C 作于点E，在上找一点D，连接，使，如图2所示， 在中，， ， ， ∵， ∴根据勾股定理得：， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， 此时； 当D点在E点右侧时， 同理可得：； 故答案为：或． 三．解答题（共9小题） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算分式的混合运算，得到化简的结果，再把代入计算即可. 【详解】解： ； 当时，原式． 19. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF. （其他证法也可） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF． 【详解】略 20. 如图中，D、E分别是的中点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的垂直平分线与边交于点F，连接、，求证：与互相平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂线的尺规作图画图解答即可； （2）利用平行四边形的性质证明即可． 本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，熟练掌握尺规作图，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 根据尺规作图，画图如下： 则即为所求作图． 【小问2详解】 如图，连接，， 根据题意，得D、E、F分别是的中点， ∴, ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平线分． ． 21. 如图，在四边形中，，点D是外一点，连接，且．求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，由勾股定理可得，证明，则由勾股定理的逆定理可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质等知识，熟记菱形的判定与性质是解决此题的关键． （1）根据平行四边形的性质、平行线的性质先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：． 23. 如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）延长交于点G，利用平行四边形的定义，证明四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形，可得．证明．结合，可得，进一步可得结论． 【小问1详解】 证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． ∵D、E分别是、的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若是中边上的高，且，则称为勾股高三角形，点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，是中边上的高，已知，，，请通过计算说明是否是勾股高三角形． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，且，是边上的高．探究线段与的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （3）如图3，为勾股高三角形，其中为勾股顶点，且，为边上的高，过点作，垂足分别为．若，求的值． 【答案】（1）是勾股高三角形．证明见解析；（2），证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】本题考查的是新定义的含义，勾股定理的应用，二次根式的运算； （1）先计算，，再结合新定义可得结论； （2）由，可得结论； （3）设，则，结合（2）得：，，再求解，从而可得结论． 【详解】解：（1）∵是中边上的高，，，， ∴，， ∴， ∴是勾股高三角形． （2）由可得：， 而， ∴，即； （3）∵， 设，则， 结合（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 25. 在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（点E、F相遇时除外）？请说明理由． （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等可得 则即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解. 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∵分别是中点， ， ， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形为矩形时或； 【小问3详解】 解：如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年文献中学八年级期中考试卷 数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 4. 如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 5. 海面上有A、B、C三个灯塔，已知灯塔B位于灯塔A的北偏西方向，与灯塔A的距离为5千米；灯塔C位于灯塔A的北偏东方向，与灯塔A的距离为4千米，那么灯塔B与灯塔C的距离为（　　） A. 3千米 B. 4千米 C. 5千米 D. 千米 6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形的顶点的坐标为，则线段的长等于（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 9. 如图，正方形的边长为，连接、，平分交于点，则的长是（    ） A. B. C. D. 10. 如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半，这样的图形有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共6小题） 11. 二次根式中，x的取值范围是______． 12. 如图，O为数轴的原点，点C表示的数为2，于点C，，以O为圆心、为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是________． 13. 如图，在中，交对角线于点E，若，则的度数是______． 14. 如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 15. 用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为______． 16. 如图1，D是中边上的任一点（与点A、B不重合），连接．若，则称是的“智慧线”．如图2，已知，，，若边上存在点D，使是的“智慧线”，则的长为______． 三．解答题（共9小题） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 20. 如图中，D、E分别是的中点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的垂直平分线与边交于点F，连接、，求证：与互相平分． 21. 如图，在四边形中，，点D是外一点，连接，且．求四边形的面积． 22. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求线段的长． 23. 如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 24. 我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若是中边上的高，且，则称为勾股高三角形，点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，是中边上的高，已知，，，请通过计算说明是否是勾股高三角形． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，且，是边上的高．探究线段与的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （3）如图3，为勾股高三角形，其中为勾股顶点，且，为边上的高，过点作，垂足分别为．若，求的值． 25. 在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（点E、F相遇时除外）？请说明理由． （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $