2.2 一元二次方程的解法 暑假分层练习 2024--2025学年浙教版八年级数学下册

浙教版八年级下册 2.2 一元二次方程的解法 暑假分层练习 一、开平方法解一元二次方程 1.若m和n是一元二次方程2（x﹣a）2＝8的两个解，且m＞n，则m﹣n的值为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数且m≠0）的解是x1＝3，x2＝6则关于x的一元二次方程m（x﹣h﹣1）2＝k的解是（　　） A.x1＝﹣3，x2＝﹣6 B.x1＝﹣4，x2＝﹣7 C.x1＝4，x2＝7 D.x1＝3，x2＝6 3.已知x＝﹣2是关于x的方程ax2﹣12＝0的解，则a的值为（　　） A.3 B.﹣3 C.6 D.﹣6 4.已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解是 　    　． 5.关于x的方程：（ax）2＝1（a≠0）的根为 　    　． 6.在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4 （x+4）2﹣42＝4 （x+4）2＝20 直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40 （x+a）2﹣b2＝40 （x+a）2＝40+b2 直接开平方，得x1＝c，x2＝d． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　  　，　  　，　  　，　  　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 7.解关于x的方程：ax2＝2（a≠0）． 二、配方法解一元二次方程 1.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0时，配方的结果正确的是（　　） A.（x+8）2＝65 B.（x﹣8）2＝65 C.（x+4）2＝17 D.（x﹣4）2＝17 3.用配方法解方程2x2﹣6x+1＝0时，若将方程化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　） A.﹣1 B. C. D.1 4.如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　    　． 5.将一元二次方程x2+8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式为 　      　． 6.阅读下列材料： 有人研究了利用几何图形求解方程x2+34x﹣71000＝0的方法，该方法求解的过程如下： 第一步：构造 已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形（如图）． 第二步：推理 根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2＝x2+2×17x+172． 由原方程x2+34x﹣71000＝0，得x2+34x＝71000． 所以（x+17）2＝71000+172． 所以（x+17）2＝71289． 直接开方可得正根x＝250． 依照上述解法，要解方程x2+bx+c＝0（b＞0），请写出第一步“构造”的具体内容：　                       　； 与第二步中“（x+17）2＝71000+172“相应的等式是 　              　． 7.已知关于x的一元二次方程（m+1）x|m|+1+（m﹣2）x﹣1＝0． （1）求m的值； （2）用配方法解这个方程． 三、换元法解一元二次方程 1.已知（m+n）2+2m+2n＝0，则m+n的值是（　　） A.0 B.﹣2 C.0或﹣2 D.0或2 2.已知a、b为实数，且满足（a2+b2）2+2（a2+b2）﹣15＝0，则代数式a2+b2的值为（　　） A.3或﹣5 B.3 C.﹣3或5 D.5 3.已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　） A.﹣1或3 B.1或3 C.﹣1或﹣3 D.1或﹣3 4.已知（a2+b2+3）•（a2+b2﹣3）＝7，则a2+b2＝　  　． 5.已知（x2+y2+2）（x2+y2+4）＝15，则x2+y2的值为 　  　． 6.“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例：当多项式x2+3x+5的值为7时，求多项式3x2+9x﹣2的值． 解：因为x2+3x+5＝7，所以x2+3x＝2． 所以3x2+9x﹣2＝3（x2+3x）﹣2＝3×2﹣2＝4． 请根据阅读材料，解决下列问题： （1）把（x﹣y）2看成一个整体，化简3（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+4（x﹣y）2的结果是 　     　； （2）已知x2+3x﹣2＝0，求x2（5x2+15x）+30x﹣4135的值． 7.提出问题： 为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y1＝4，y2＝﹣1（不符合要求，舍去）． 当y1＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： 运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0． 四、根据一元二次方程根的情况求字母的值 1.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 2.若一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A.2 B.±2 C.±8 D. 3.若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　） A.﹣1 B. C.0 D.1 4.关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m＝0没有实数根，写出一个符合条件的整数m的值为 　    　． 5.关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有实数根，请写出一个符合题意的m的值 　     　． 6.已知，a，b，c是△ABC的三边长，且方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+a﹣b＝0有两个相等的实数根，△ABC形状如何？ 7.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 五、根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围 1.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 2.已知关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A.k＜ B.k＜且k≠0 C.k＞﹣ D.k＞﹣且k≠0 3.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A.k＜﹣1 B.k≥﹣1 C.k＞﹣1 D.k≥﹣1且k≠0 4.关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 　    　． 5.如果关于x的方程4x2﹣x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是 　     　． 6.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求该方程的根． 7.已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根． 浙教版八年级下册 2.2 一元二次方程的解法 暑假分层练习（参考答案） 一、开平方法解一元二次方程 1.若m和n是一元二次方程2（x﹣a）2＝8的两个解，且m＞n，则m﹣n的值为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】解关于x的方程，再求m﹣n即可． 解一元二次方程2（x﹣a）2＝8得， x1＝2+a，x2＝﹣2+a， ∵m和n是一元二次方程2（x﹣a）2＝8的两个解，且m＞n， 则m＝2+a，n＝﹣2+a， ∴m﹣n＝2+a﹣a+2＝4， 故选：B． 2.已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数且m≠0）的解是x1＝3，x2＝6则关于x的一元二次方程m（x﹣h﹣1）2＝k的解是（　　） A.x1＝﹣3，x2＝﹣6 B.x1＝﹣4，x2＝﹣7 C.x1＝4，x2＝7 D.x1＝3，x2＝6 【答案】C 【解析】根据二次函数与一元二次方程的关系求出二次函数y＝m（x﹣h）2﹣k的图象与x轴的交点坐标，进而根据二次函数图象的平移特征，求出二次函数y＝m（x﹣h﹣1）2﹣k的图象与x轴的交点坐标，即可求出m（x﹣h﹣1）2＝k的解． ∵关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0的解是x1＝3，x2＝6， ∴二次函数y＝m（x﹣h）2﹣k的图象与x轴的交点坐标为（3，0），（6，0）， ∵将二次函数y＝m（x﹣h）2﹣k的图象向右移动1个单位长度，新图象的函数解析式为：y＝m（x﹣h﹣1）2﹣k， ∴二次函数y＝m（x﹣h﹣1）2﹣k的图象与x轴的交点坐标为（3+1，0），（6+1，0），即（4，0），（7，0）， ∴关于x的一元二次方程m（x﹣h﹣1）2﹣k＝0的解为x1＝4，x2＝7， 即关于x的一元二次方程m（x﹣h﹣1）2＝k的解是x1＝4，x2＝7． 故选：C． 3.已知x＝﹣2是关于x的方程ax2﹣12＝0的解，则a的值为（　　） A.3 B.﹣3 C.6 D.﹣6 【答案】A 【解析】把x＝﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值． 把x＝﹣2代入ax2﹣12＝0，得 4a﹣12＝0， 解得a＝3． 故选：A． 4.已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解是 　    　． 【答案】x1＝2，x2＝6． 【解析】把关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0看作关于（x﹣5）的一元二次方程，则x﹣5＝﹣3或x﹣5＝1，然后解一次方程即可． ∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1， ∴关于（x﹣5）的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解满足x﹣5＝﹣3或x﹣5＝1， 解得x1＝2，x2＝6． 故答案为：x1＝2，x2＝6． 5.关于x的方程：（ax）2＝1（a≠0）的根为 　    　． 【答案】． 【解析】利用直接开平方法解得即可． （ax）2＝1（a≠0）， ∴ax＝±1． ∴． 故答案为：． 6.在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4 （x+4）2﹣42＝4 （x+4）2＝20 直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40 （x+a）2﹣b2＝40 （x+a）2＝40+b2 直接开平方，得x1＝c，x2＝d． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　  　，　  　，　  　，　  　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 【答案】解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40． （x+5）2﹣32＝40， （x+5）2＝40+32． 直接开平方并整理，得．x1＝2，x2＝﹣12． 上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、﹣12， 故答案为：5、3、2、﹣12； （2）原方程可变形，得：[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4． （x+2）2﹣42＝4， （x+2）2＝4+42． ∴x＝﹣2±2， ∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2． 7.解关于x的方程：ax2＝2（a≠0）． 【答案】解：∵a≠0， ∴x2＝， 当a＜0时，该方程无实数根； 当a＞0时，x＝±＝±，即x1＝，x2＝﹣． 二、配方法解一元二次方程 1.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】D 【解析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果． x2﹣2x﹣8＝0， x2﹣2x＝8， x2﹣2x+1＝8+1， （x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝±3 解得：x1＝4，x2＝﹣2， 由上可得，丁同学是错的， 故选：D． 2.用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0时，配方的结果正确的是（　　） A.（x+8）2＝65 B.（x﹣8）2＝65 C.（x+4）2＝17 D.（x﹣4）2＝17 【答案】D 【解析】先把常数项﹣1移到等号右边，然后方程两边同时加上16，然后利用完全平方公式分解因式，再直接开平方，化成一元一次方程，进行解答即可． x2﹣8x﹣1＝0， x2﹣8x＝1， x2﹣8x+16＝1+16， （x﹣4）2＝17， ∴用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0时，配方的结果是（x﹣4）2＝17， 故选：D． 3.用配方法解方程2x2﹣6x+1＝0时，若将方程化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　） A.﹣1 B. C. D.1 【答案】B 【解析】根据配方法进行计算即可求解 2x2﹣6x+1＝0， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4.如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　    　． 【答案】3． 【解析】用配方法求解即可． 由题意，得x(x+6)=40, ∴x2+6x＝40， ∴x2+6x+9＝40+9， （x+3）2＝49， ∴m＝3． 故答案为：3． 5.将一元二次方程x2+8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式为 　      　． 【答案】（x+4）2＝21． 【解析】根据配方法将方程变形，即可求解． x2+8x﹣5＝0， ∴x2+8x+16＝21， ∴（x+4）2＝21． 故答案为：（x+4）2＝21． 6.阅读下列材料： 有人研究了利用几何图形求解方程x2+34x﹣71000＝0的方法，该方法求解的过程如下： 第一步：构造 已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形（如图）． 第二步：推理 根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2＝x2+2×17x+172． 由原方程x2+34x﹣71000＝0，得x2+34x＝71000． 所以（x+17）2＝71000+172． 所以（x+17）2＝71289． 直接开方可得正根x＝250． 依照上述解法，要解方程x2+bx+c＝0（b＞0），请写出第一步“构造”的具体内容：　                       　； 与第二步中“（x+17）2＝71000+172“相应的等式是 　              　． 【答案】已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形； （x+）2＝﹣c+（）2． 【解析】第一步：仿照材料中的内容构造具体内容； 第二步：根据图形面积关系和等式的性质列出相应的等式． 解方程x2+bx+c＝0（b＞0）， 第一步“构造”：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形， 故答案为：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形； 第二步：推理， 根据图形面积之间的关系，可得（x+）2＝x2+2×x+（）2． 由原方程x2+bx+c＝0，得x2+bx＝﹣c． 所以（x+）2＝﹣c+（）2， 故答案为：（x+）2＝﹣c+（）2． 7.已知关于x的一元二次方程（m+1）x|m|+1+（m﹣2）x﹣1＝0． （1）求m的值； （2）用配方法解这个方程． 【答案】解：（1）根据一元二次方程的定义可得， 解得m＝1； （2）当m＝1时，方程为 2x2﹣x﹣1＝0， 两边同除以2得：， 配方，得：， 即：， 直接开平方，得：， 解得x1＝1，． 三、换元法解一元二次方程 1.已知（m+n）2+2m+2n＝0，则m+n的值是（　　） A.0 B.﹣2 C.0或﹣2 D.0或2 【答案】C 【解析】设m+n＝x，则原方程化为x2+2x＝0，求出方程的解，再求出答案即可． （m+n）2+2m+2n＝0， 设m+n＝x，则原方程化为：x2+2x＝0， x（x+2）＝0， x＝0或x+2＝0， x＝0或﹣2， 所以m+n＝0或﹣2． 故选：C． 2.已知a、b为实数，且满足（a2+b2）2+2（a2+b2）﹣15＝0，则代数式a2+b2的值为（　　） A.3或﹣5 B.3 C.﹣3或5 D.5 【答案】B 【解析】设x＝a2+b2，方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解即可得到a2+b2的值． 设x＝a2+b2，方程化为x2+2x﹣15＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x+5）＝0， 可得x﹣3＝0或x+5＝0， 解得：x＝3或x＝﹣5， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝3． 故选：B． 3.已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　） A.﹣1或3 B.1或3 C.﹣1或﹣3 D.1或﹣3 【答案】C 【解析】先根据已知方程和方程的解，从而得到方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0中的2x+3相当于第1个方程中的x，从而得到2x+3＝1和2x+3＝﹣3，解方程即可． ∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3， ∴方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0， ∴（2x+3-1）（2x+3+3）＝0 2x+3＝1，2x+3＝﹣3， 2x＝﹣2，2x＝﹣6， x1＝﹣1，x2＝﹣3， 故选：C． 4.已知（a2+b2+3）•（a2+b2﹣3）＝7，则a2+b2＝　  　． 【答案】4． 【解析】设a2+b2＝x，则原方程化为（x+3）（x﹣3）＝7，求出x＝±4，再求出答案即可． （a2+b2+3）•（a2+b2﹣3）＝7， 设a2+b2＝x，则原方程化为：（x+3）（x﹣3）＝7， x2﹣9＝7， x2＝16， x＝±4， ∴a2+b2＝±4， ∵不论a、b为何值，a2+b2≥0， ∴a2+b2＝﹣4舍去， 即a2+b2＝4． 5.已知（x2+y2+2）（x2+y2+4）＝15，则x2+y2的值为 　  　． 【答案】1． 【解析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程可化为（t+2）（t+4）＝15，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 设t＝x2+y2（t≥0），则原方程可化为（t+2）（t+4）＝15， 整理得（t+7）（t﹣1）＝0， 解得t＝﹣7（舍去）或t＝1， ∴x2+y2＝1， 故答案为：1． 6.“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例：当多项式x2+3x+5的值为7时，求多项式3x2+9x﹣2的值． 解：因为x2+3x+5＝7，所以x2+3x＝2． 所以3x2+9x﹣2＝3（x2+3x）﹣2＝3×2﹣2＝4． 请根据阅读材料，解决下列问题： （1）把（x﹣y）2看成一个整体，化简3（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+4（x﹣y）2的结果是 　     　； （2）已知x2+3x﹣2＝0，求x2（5x2+15x）+30x﹣4135的值． 【答案】解：（1）3（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+4（x﹣y）2＝（x﹣y）2． （2）∵x2+3x﹣2＝0， ∴x2+3x＝2， ∴5x2+15x＝5（x2+3x）＝6， ∴x2（5x2+15x）+30x﹣4135 ＝6x2+30x﹣4135 ＝6（x2+3x）﹣4135 ＝12﹣4135 ＝﹣4123． 7.提出问题： 为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y1＝4，y2＝﹣1（不符合要求，舍去）． 当y1＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： 运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0． 【答案】解：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0， 设x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0， （y﹣6）（y﹣7）＝0， y﹣6＝0或y﹣7＝0， 解得，：y1＝6，y2＝7， 当 x2﹣2＝6 时，； 当 x2﹣2＝7 时，x＝±3， 所以原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3． 四、根据一元二次方程根的情况求字母的值 1.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【解析】先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根得出关于m的不等式，求出m的取值范围，进而可得出结论． ∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0， 解得m＜， ∴实数m的值可以是2． 故选：D． 2.若一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A.2 B.±2 C.±8 D. 【答案】B 【解析】根据一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，得出Δ＝m2﹣4＝0，解关于m的方程，即可得出答案． ∵一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝m2﹣4＝0， 解得：m＝±2，故B正确． 故选：B． 3.若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　） A.﹣1 B. C.0 D.1 【答案】D 【解析】根据关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，得到Δ＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值即可． ∵关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m＝1﹣4m＜0， 解得：m＞． 故选：D． 4.关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m＝0没有实数根，写出一个符合条件的整数m的值为 　    　． 【答案】﹣5（答案不唯一）． 【解析】先根据根和＝的判别式得出Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣m）＝9+4m＜0，求出m＜﹣，再找出一个符合的数即可． ∵关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣m）＝9+4m＜0， ∴m＜﹣， 取m＝﹣5． 故答案为：﹣5（答案不唯一）． 5.关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有实数根，请写出一个符合题意的m的值 　     　． 【答案】1（答案不唯一）． 【解析】根据方程有实数根得到Δ≥0，据此得到m的取值范围，然后从中找到一个值即可． ∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4m≥0， 解得：m≤9， ∴满足条件的m值1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 6.已知，a，b，c是△ABC的三边长，且方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+a﹣b＝0有两个相等的实数根，△ABC形状如何？ 【答案】解：∵方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+a﹣b＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝[2（b﹣a）]2﹣4（c﹣b）（a﹣b）＝0， 整理，得：（a﹣b）（a﹣c）＝0， ∴a＝b或a＝c， ∴△ABC是等腰三角形． 7.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 【答案】解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣a）2﹣4×＝0， 解得a＝﹣2． 又因为＝＝， 当a＝﹣2时， ． 五、根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围 1.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【解析】先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根得出关于m的不等式，求出m的取值范围，进而可得出结论． ∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0， 解得m＜， ∴实数m的值可以是2． 故选：D． 2.已知关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A.k＜ B.k＜且k≠0 C.k＞﹣ D.k＞﹣且k≠0 【答案】D 【解析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0且二次项系数不为0，求出k的范围即可． ∵关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（4k﹣1）2﹣4k（4k﹣3）＞0且k≠0， 解得：k且k≠0． 故选：D． 3.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A.k＜﹣1 B.k≥﹣1 C.k＞﹣1 D.k≥﹣1且k≠0 【答案】D 【解析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． ∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）≥0，k≠0， 解得：k≥﹣1且k≠0． 故选：D． 4.关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 　    　． 【答案】． 【解析】根据一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． ∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣3＝0有两个不相等的实数根 ∴Δ＝42﹣4（2m﹣3）＝16﹣8m+12＝28﹣8m＞0， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 5.如果关于x的方程4x2﹣x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是 　     　． 【答案】． 【解析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此求解即可． ∵关于x的方程4x2﹣x﹣m＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×4⋅（﹣m）＜0， ∴， 故答案为：． 6.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求该方程的根． 【答案】解：（1）根据题意得Δ＝42﹣4×2m＞0， 解得m＜2， ∴m的取值范围为m＜2； （2）∵m为正整数， 而m＜2， ∴m＝1， 此时方程为2x2+4x+1＝0， ∵a＝2，b＝4，c＝1， ∴Δ＝42﹣4×2×1＝8＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝． 7.已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0 有两个不相等的实数根， ∴m+1≠0且Δ＞0． ∵Δ＝（2m）2﹣4（m+1）（m﹣3）＝4（2m+3）， ∴2m+3＞0． 解得 m＞． ∴m的取值范围是 m＞且m≠﹣1． （2）在m＞且m≠﹣1的范围内，最小奇数m为1． 此时，方程化为x2+x﹣1＝0． ∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴． ∴方程的根为 ，． 学科网（北京）股份有限公司 $$