2024年浙教版数学八年级下册微素养核心突破7 配方法的应用

2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破7 配方法的应用 一、类型1 求多项式的最值 1．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2﹣12x+14的值的范围． 解：2x2﹣12x+14=2（x2﹣6x）+14=2（x2﹣6x+32﹣32）+14 =2[（x﹣3）2﹣9]+14=2（x﹣3）2﹣18+14=2（x﹣3）2﹣4． ∵无论x取何实数，总有（x﹣3）2≥0，∴2（x﹣3）2﹣4≥﹣4． 即无论x取何实数，2x2﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式﹣3x2+12x+11的最值情况是（　　） A．有最大值﹣23 B．有最小值﹣23 C．有最大值23 D．有最小值23 2．关于多项式﹣2x2+8x+5的说法正确的是（　　） A．有最大值13 B．有最小值﹣3 C．有最大值37 D．有最小值1 3．代数式 的最小值是（　　） A．5 B．1 C．4 D．没有最小值 4．小明和小林在探索代数式x2+(x≠0)有没有最大（小）值时，小明做了如下探索： ∵x2++2-2 =(x+)2-2≥-2， ∴小明的结论是x2+的最小值为-2 小林做了如下探索 ∵x2+-2+2 =(x-)2+2≥2， 小林的结论是x2+的最小值为2；则（　　） A．小明正确 B．小林正确 C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确 5．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则（　　） A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 6．不论x，y取何值，代数式的值（　　） A．总不小于-3 B．总不大于-3 C．总大于2 D．总小于2 7．利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当　 　 时，有最小值是　 　 ． 8．配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式的最值． 解： （分离常数项） （提二次项系数） 当时，代数式取得最小值是3 运用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式的最值； （2）关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 9．[阅读材料]：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． （1）[类比应用]：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：　 　； （2）仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； （3）仿照例2的步骤，求的最小值； （4）若，则　 　． 10．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法因式分解：． 解：原式 （二）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ∵，∴，∴的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为　 　； （2）因式分解： 　 　； （3）用配方法求代数式的最小值； （4） 拓展应用： 若实数a，b满足，则的最小值为　 　． 11．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8． 原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）． 例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值； a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1； ∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋　 　； （2）用配方法因式分解：a2－12a＋35． （3）若M＝a2－3a+1，则M的最小值为　 　； （4）已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为　 　； 二、类型2 比较大小 12．已知多项式，（为任意实数），试比较多项式与的大小．（　　） A．无法确