导数凸凹反转技巧讲义-2026届高三数学一轮复习

导数凸凹反转技巧 一、什么是凸凹反转？ 二、凸函数4种常见定义 1、常用定义 2、更多定义 三、凸函数另外5种等价描述 四、凸函数在高中导数中的应用 1、琴生不等式(Jensen's Inequality) 琴生不等式(Jensen's Inequality)的二维形式 2、同学们常用的凸凹反转 3、凸凹反转常用函数图像 六、高考中的函数凸凹性 七、模考中的函数凸凹性 一、什么是凸凹反转？ 很多时候，我们需要证明 ，但不代表就要证明 ，因为大多数情况下， 的零点是解不出来的．当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转．如要证明 ，可把 拆分成两个函数 ，，放在不等式的两边，即要证 ，只要证明了 即可 . 如下图 1 所示，这个命题显然更强，注意反过来不一定成立．很明显， 是“凹函数”， 是“凸函数”，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转．凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充． 图 1 凸凹反转作为证明不等式的一种技巧，我们高中生都在使用，可是上面介绍的 是“凹函数”， 是“凸函数” 中“凹函数”和“凸函数”到底是怎么定义的？真的仅仅是像函数形状一样吗，向下凹陷的叫凹函数，向上凸起的叫凸函数。其实不然，在高等数学中，凸函数的定义在各大教材中都没有统一，函数凸凹性的定义高达十几种。下面，我们就来介绍一下凸函数比较常见的几种定义及其等价描述，然后再介绍函数凸性在高中导数中的应用。 二、凸函数4种常见定义 1、常用定义 定义1 设 在区间上有定义， 在 上称为是凸函数，当且仅当： ， ，有 若上式中，“ ” 改成 “ ”，则是严格凸函数的定义.若 “ ” 改成 “ ” 或 “ ”，则分别是凹函数与严格函数的定义 . 由于凸与凹是对偶的概念 . 对一个有什么结论，对另一个亦有相应结论 . 以下只对凸函数进行论述 . 几何意义： 设 ，因为 ，所以 同理可证 . 因此 ， 且当 从 连续变化到 时， 也从 连续变化到 . 我们联结曲线 上两点，，作弦 ，则 的方程为 图 2 将此式的比值记为 ，则可得 的参数方程 这表明，在点 处，弦 的高度为 . 可见，不等式 说明在 内每点处，曲线 的高度不超过弦 的高度 . 换话说，曲线在弦 以下.对曲线上任意两点 、 都是如此 . 因此函意味着函数图形向下凸.现代数学多数采用这种定义 . 除此定义之外，还有其他形式的定义 . 2、更多定义 定义2 设 在区间 上有定义， 在 上称为是凸函数，当且仅当：，有 上式中“ ”改为“ ”便是严格凸的定义. 定义3 在区间 上有定义， 在 上称为是凸函数，当且仅当：，，， ，有 上式中“ ”改为“ ”便是严格凸的定义. 定义4 在区间 上有定义，当且仅当曲线 的切线国保持在曲线以下，则称 为凸函数 . 若除点之外，切线严格保持在曲线的下方，则称 严格凸的. 三、凸函数另外5种等价描述 有关凸函数等价描述有很多，这里介绍常见的 5 种 1、 如图 3， 在区间 上有定义，则以下条件等价： ① 在 上为凸函数；② ③ ④ ⑤曲线 上三点 ，， 所围的有向面积 其中各不等式要求对任意 ， 保持成立. 图 3 2、 若 在区间 上有定义，则以下三个条件等价： ① 在 上为凸函数； ② ： ， ，，， ，有 ③ 不全为零， ，，， ，有 3、 若 在区间 上有定义，则为凸函数的充要条件是： ， 实数 ，使得 有 4、 若 在区间 内部可导，则 在 上为凸函数的充要条件是： 有 5、 若 在区间 上有二阶导数，则 在 上为凸函数的充要条件是： 注： 凸函数等价描述还有不少，这里就不再过多展开，另外以上证明涉及高等数学内容，从略，感兴趣的同学可以翻阅各种版本的高等数学教材. 四、凸函数在高中导数中的应用 1、琴生不等式(Jensen's Inequality) 若 是区间 上的下凸函数，则对任意的 ，，， ，有不等式 当且仅当 时等号成立. 琴生不等式(Jensen's Inequality)的二维形式 在区间 上连续，对 上任意两点 ，如果 在区间 是下凸函数，恒有 如果 在区间 是下凸函数，恒有 当且仅当 时等号成立。 2、同学们常用的凸凹反转 如要证明 ，可把 拆分成两个函数 ，，放在不等式的两边，即要证 ，只要证明了 即可 . 如下图所示，这个命题显然更强，注意反过来不一定成立．很明显， 是“凹函数”， 是“凸函数”，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转． 凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离(对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手)，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较．当然我们要非常熟练掌握一些常见的指（对）数函数和多项式组合的函数的图象与最值．以下是一些比较常见的函数图像3、凸凹反转常用函数图像 ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 （1） ，过定点 （2） ，极大值点 （3） ，极大值点 （4） ，极小值点 （5） ，极小值点 （6） ，极小值点 （7） ，过定点 （8） ，极小值点 （9） ，极小值点 （10） ，极大值点 六、高考中的函数凸凹性 关于凸凹反转，这里给出一道非常经典的高考题 【典例】（2014·全国Ⅰ卷） 设函数，曲线在点处的切线为． （1） 求； （2） 证明：． 解析： 图 4 七、模考中的函数凸凹性 【四川南充24年高二下期末T19】 函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降 ．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性 ．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下： 设 在区间 上连续，如果对 上任意两点 恒有 ，则称 在区间 上的图形是凹的【图 1】，区间 为 凹的区间； 设 在区间 上连续，如果对 上任意两点 恒有 ，则称 在区间 上的图形是凸的【图 2】，区间 为 凸的区间； 关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理： 设 在区间 上连续，在区间 上具有一阶和二阶导数，那么 ① 如果 在 上恒有 ，则 在区间 上的图象是凹的；如果 在区间 上的图象是凹的，则 在 上恒有 ； ② 如果 在 上恒有 ，则 在区间 上的图象是凸的；如果 在区间 上的图象是凸的，则 在 上恒有 其中 是 的导函数，为 的一阶导数； 是 的导函数，为 的二阶导数根据以上内容，完成如下问题： （1） 求函数 的凹的区间和凸的区间； （2） 若 在区间 上图象是凹的，求实数 的取值范围； （3） 证明： . 解析： （1） （2） （3） 【24届成都一诊T21】 已知函数 ， . （1） 讨论函数 的单调性； （2） 当 时，求证： 解析： （1） （2） 图 1 图 2 【24 届河南天一大联考T22】 已知函数 ， . （1） 若 恒成立，求 的取值范围； （2） 设正实数 ，，， 满足 ，证明 解析： （1） 图 1 （2） 注： 解析中 ， ，所以当 时， ，即 在 上为凹函数，所以由凸函数的等价描述可知， 当 时， 4、 若在区间内部可导，则在上为凸函数的充要条件是： 有 凹函数不等式符号反向 . 另外，由凸函数的定义也可以直接得出结果 定义3 在区间 上有定义， 在 上称为是凸函数，当且仅当：，，， ，有 上式中“ ”改为“ ”便是严格凸的定义；若为凹函数，不等式符号反向. 【长沙第一中学高一第二学期第一次检测T19】 设连续函数 的定义域为 ，如果对于 内任意两数 ，都有 ，则称 为 上的凹函数；若 ，则称 为 上的凸函数. 若 是区间 上的凹函数 ，则对任意的 ，有琴生不等式 恒成立（当且仅当 时等号成立） （1） 证明： 在 上为凹函数； （2） 设 ，，，， ，且 ， 的最小值； （3） 设 为大于或等于 的实数，证明： （提示：可设 ） 解析： （1） （2） （3） $$导数凸凹反转技巧 一、什么是凸凹反转？ 二、凸函数4种常见定义 1、常用定义 2、更多定义 三、凸函数另外5种等价描述 四、凸函数在高中导数中的应用 1、琴生不等式(Jensen's Inequality) 琴生不等式(Jensen's Inequality)的二维形式 2、同学们常用的凸凹反转 3、凸凹反转常用函数图像 六、高考中的函数凸凹性 七、模考中的函数凸凹性 一、什么是凸凹反转？ 很多时候，我们需要证明 ，但不代表就要证明 ，因为大多数情况下， 的零点是解不出来的．当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转．如要证明 ，可把 拆分成两个函数 ，，放在不等式的两边，即要证 ，只要证明了 即可 . 如下图 1 所示，这个命题显然更强，注意反过来不一定成立．很明显， 是“凹函数”， 是“凸函数”，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转．凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充． 图 1 凸凹反转作为证明不等式的一种技巧，我们高中生都在使用，可是上面介绍的 是“凹函数”， 是“凸函数” 中“凹函数”和“凸函数”到底是怎么定义的？真的仅仅是像函数形状一样吗，向下凹陷的叫凹函数，向上凸起的叫凸函数。其实不然，在高等数学中，凸函数的定义在各大教材中都没有统一，函数凸凹性的定义高达十几种。下面，我们就来介绍一下凸函数比较常见的几种定义及其等价描述，然后再介绍函数凸性在高中导数中的应用。 二、凸函数4种常见定义 1、常用定义 定义1 设 在区间上有定义， 在 上称为是凸函数，当且仅当： ， ，有 若上式中，“ ” 改成 “ ”，则是严格凸函数的定义.若 “ ” 改成 “ ” 或 “ ”，则分别是凹函数与严格函数的定义 . 由于凸与凹是对偶的概念 . 对一个有什么结论，对另一个亦有相应结论 . 以下只对凸函数进行论述 . 几何意义： 设 ，因为 ，所以 同理可证 . 因此 ， 且当 从 连续变化到 时， 也从 连续变化到 . 我们联结曲线 上两点，，作弦 ，则 的方程为 图 2 将此式的比值记为 ，则可得 的参数方程 这表明，在点 处，弦 的高度为 . 可见，不等式 说明在 内每点处，曲线 的高度不超过弦 的高度 . 换话说，曲线在弦 以下.对曲线上任意两点 、 都是如此 . 因此函意味着函数图形向下凸.现代数学多数采用这种定义 . 除此定义之外，还有其他形式的定义 . 2、更多定义 定义2 设 在区间 上有定义， 在 上称为是凸函数，当且仅当：，有 上式中“ ”改为“ ”便是严格凸的定义. 定义3 在区间 上有定义， 在 上称为是凸函数，当且仅当：，，， ，有 上式中“ ”改为“ ”便是严格凸的定义. 定义4 在区间 上有定义，当且仅当曲线 的切线国保持在曲线以下，则称 为凸函数 . 若除点之外，切线严格保持在曲线的下方，则称 严格凸的. 三、凸函数另外5种等价描述 有关凸函数等价描述有很多，这里介绍常见的 5 种 1、 如图 3， 在区间 上有定义，则以下条件等价： ① 在 上为凸函数；② ③ ④ ⑤曲线 上三点 ，， 所围的有向面积 其中各不等式要求对任意 ， 保持成立. 图 3 2、 若 在区间 上有定义，则以下三个条件等价： ① 在 上为凸函数； ② ： ， ，，， ，有 ③ 不全为零， ，，， ，有 3、 若 在区间 上有定义，则为凸函数的充要条件是： ， 实数 ，使得 有 4、 若 在区间 内部可导，则 在 上为凸函数的充要条件是： 有 5、 若 在区间 上有二阶导数，则 在 上为凸函数的充要条件是： 注： 凸函数等价描述还有不少，这里就不再过多展开，另外以上证明涉及高等数学内容，从略，感兴趣的同学可以翻阅各种版本的高等数学教材. 四、凸函数在高中导数中的应用 1、琴生不等式(Jensen's Inequality) 若 是区间 上的下凸函数，则对任意的 ，，， ，有不等式 当且仅当 时等号成立. 琴生不等式(Jensen's Inequality)的二维形式 在区间 上连续，对 上任意两点 ，如果 在区间 是下凸函数，恒有 如果 在区间 是下凸函数，恒有 当且仅当 时等号成立。 2、同学们常用的凸凹反转 如要证明 ，可把 拆分成两个函数 ，，放在不等式的两边，即要证 ，只要证明了 即可 . 如下图所示，这个命题显然更强，注意反过来不一定成立．很明显， 是“凹函数”， 是“凸函数”，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转． 凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离(对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手)，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较．当然我们要非常熟练掌握一些常见的指（对）数函数和多项式组合的函数的图象与最值．以下是一些比较常见的函数图像3、凸凹反转常用函数图像 ( 第 1 页 共 4 页 ) （1） ，过定点 （2） ，极大值点 （3） ，极大值点 （4） ，极小值点 （5） ，极小值点 （6） ，极小值点 （7） ，过定点 （8） ，极小值点 （9） ，极小值点 （10） ，极大值点 六、高考中的函数凸凹性 关于凸凹反转，这里给出一道非常经典的高考题 【典例】（2014·全国Ⅰ卷） 设函数，曲线在点处的切线为． （1） 求； （2） 证明：． 解析： ，从而 等价于 ． 设函数 ，则 ， 所以当 时，；当 时，． 故 在 上单调递减，在 上单调递增， 从而 在 上的最小值为 ． 设函数 ，则 ． 所以当 时，；当 时，． 故 在 上单调递增，在 上单调递减，从而 在 上的最大值为 由于，所以当时，，即． 图 4 七、模考中的函数凸凹性 【四川南充24年高二下期末T19】 函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降 ．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性 ．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下： 设 在区间 上连续，如果对 上任意两点 恒有 ，则称 在区间 上的图形是凹的【图 1】，区间 为 凹的区间； 设 在区间 上连续，如果对 上任意两点 恒有 ，则称 在区间 上的图形是凸的【图 2】，区间 为 凸的区间； 关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理： 设 在区间 上连续，在区间 上具有一阶和二阶导数，那么 ① 如果 在 上恒有 ，则 在区间 上的图象是凹的；如果 在区间 上的图象是凹的，则 在 上恒有 ； ② 如果 在 上恒有 ，则 在区间 上的图象是凸的；如果 在区间 上的图象是凸的，则 在 上恒有 其中 是 的导函数，为 的一阶导数； 是 的导函数，为 的二阶导数根据以上内容，完成如下问题： （1） 求函数 的凹的区间和凸的区间； （2） 若 在区间 上图象是凹的，求实数 的取值范围； （3） 证明： . 解析： （1） 令 ，解得 或 令 ，解得 因此，函数 的凹的区间是 和 ，凸的区间是 （2） 求导得 ， 在区间 上图象是凹的 显然 在区间 单调递减 所以 因此，实数 的取值范围是 （3） 构造函数 ，， 令 ，则 易知函数 在 单调递增，在 单调递减 ，当且仅当 时取等号 . 构造函数 ， 令 ，则 易知函数 在 单调递减，在 单调递增 ，当且仅当 时取等号. 综上， 【24届成都一诊T21】 已知函数 ， . （1） 讨论函数 的单调性； （2） 当 时，求证： 解析： （1） ① 若 ，则 ， 在 上单调递增； ② 若 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 综上所述，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 单调递减，在 单调递增 . （2） 当 时，要证 成立 即证 成立 ① 当 时 图 1 设函数 在 上单调递增 成立 ② 当 时，要证 成立 即证 图 2 设函数 由 在 上单调递增，且 当 ， ， 单调递减； 当 ， ， 单调递增 设函数 在 上单调递减， ，上式得证 ． 综上所述， 成立 . 【24 届河南天一大联考T22】 已知函数 ， . （1） 若 恒成立，求 的取值范围； （2） 设正实数 ，，， 满足 ，证明 解析： （1） 恒成立，等价于 恒成立，即 设 ，则 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减 图 1 （2） 故待证不等式等价于 在曲线 上任取一点 由 （1） 知 ，且 故曲线 在点 处的切线方程为 下面先证明：当 且 时， 设 则 设 ，当 时， 所以 在 上单调递增，又 所以当 时， ，当 时， 即 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，即 成立 . 因为正实数 满足 ，所以 所以当 时， 则 取 得 所以 即原命题得证 . 注： 解析中 ， ，所以当 时， ，即 在 上为凹函数，所以由凸函数的等价描述可知， 当 时， 4、 若在区间内部可导，则在上为凸函数的充要条件是： 有 凹函数不等式符号反向 . 另外，由凸函数的定义也可以直接得出结果 定义3 在区间 上有定义， 在 上称为是凸函数，当且仅当：，，， ，有 上式中“ ”改为“ ”便是严格凸的定义；若为凹函数，不等式符号反向. 【长沙第一中学高一第二学期第一次检测T19】 设连续函数 的定义域为 ，如果对于 内任意两数 ，都有 ，则称 为 上的凹函数；若 ，则称 为 上的凸函数. 若 是区间 上的凹函数 ，则对任意的 ，有琴生不等式 恒成立（当且仅当 时等号成立） （1） 证明： 在 上为凹函数； （2） 设 ，，，， ，且 ， 的最小值； （3） 设 为大于或等于 的实数，证明： （提示：可设 ） 解析： （高一还没学导数，下面利用定义写） （1） 设 则 所以 在 上为凹函数 （2） 令 ， 由 （1） 可知 在 上为凹函数 所以函数 在 上也为凹函数 由琴生不等式，得 即 所以 当且仅当 时取等号 故 的最小值为 （3） 设 ， ， 要证 只需证 由琴生不等式，只需证 在 上为凹函数. 设 ，则 下证 即证 即证 化简得 即证 ， 所以 式显然成立 所以 成立， 在 上为凹函数 则 得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$