2.3 一元二次方程的应用 暑假分层练习 2024--2025学年浙教版七年级数学下册

浙教版八年级下册 2.3 一元二次方程的应用 暑假分层练习 一、传播问题 1.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（　　） A.11人 B.12人 C.13人 D.14人 2.某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，假设每轮感染中平均一人感染人数相同，按这样的速度第三轮后共有（　　）人被传染． A.380 B.6859 C.7220 D.6498 3.小明在解决一个关于计算机病毒传播的问题时，设计算机有x台，列方程3+x+x（x+3）＝48，则方程的解中一定不合题意的是（　　） A.5 B.9 C.﹣5 D.﹣9 4.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x＝　  　． 5.已知3人感染了某种传染病毒，经过两轮传染后，感染总人数为108人，则平均每人每轮传染 　   　人． 6.今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 7.春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 二、增长率问题 1.2023年是我国全面推进乡村振兴开局之年．为了解某县助推乡村振兴的投资收益情况，现对投资项目的收益进行统计，结果显示收益从2020年的1000万元，增加到2022年的1960万元，则该县平均每年的收益增长率为（　　） A.10% B.20% C.30% D.40% 2.天气越来越冷，家用暖风机的市场需求量逐步变大．据了解，某商店销售一款家用暖风机，10月的销售额为30000元，12月的销售额为76800元，则10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为（　　） A.256% B.260% C.160% D.60% 3.某电视机厂计划用两年时间把某种型号的电视机成本降低19%，若每年下降的百分比相同，则这个百分数是（　　） A.19% B.10%或9% C.10% D.9% 4.某单位今年六月份面向社会提供就业岗位32个，并按计划逐月稳步增长，预计八月份将提供岗位50个．则七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 　   　． 5.某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由去年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，且去年房价在9月份、10月份、11月份、12月份的下降率保持一致，则去年12月份的房价单价为每平方米 　     　元． 6.某商场今年1月份销售额为60万元，2月份销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3、4月份销售额的月平均增长率． 7.某品牌衬衫标价为200元/件，为提高销售量，经过两次降价后为162元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种衬衫每次降价的百分率； （2）若该种品牌衬衫的进价为100元/件，两次降价共售出此种品牌衬衫100件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？ 三、数字问题 1.一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小1，则这个两位数是（　　） A.24 B.13 C.46 D.35 2.一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A.36 B.72 C.36或63 D.27或72 3.一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2．则这个两位数是（　　） A.64 B.75 C.53或75 D.64或75 4.有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 　   　． 5.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 　   　． 6.一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 7.一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 四、球赛问题 1.为增强学生体质，各高校准备开展足球联赛，赛制为单循环形式，现计划安排21场比赛，则共有几支队伍参赛（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 2.在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛，主办方共投入使用6个球场，每天每个球场共安排4场比赛，若连续10天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球队有（　　） A.15支 B.16支 C.17支 D.18支 3.某中学组织九年级学生篮球赛，以班为单位，每两个班之间都比赛一场，总共安排28场比赛，则该校九年级参加篮球比赛的班级个数为（　　） A.14 B.12 C.10 D.8 4.某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，则比赛组织者应邀请 　  　个队参赛． 5.某年级开展篮球比赛，参赛的每两个班之间都要比赛一场，共比赛10场，则有 　  　个班参加比赛． 6.第六届“粤港杯”男子篮球赛在广东恩平落幕，广东队顺利捧杯豪取五连冠．若参加比赛的每两队之间都进行1场比赛，一共比赛120场，共有多少个队参加该比赛？ 7.球队两两比赛，主场客场各一场，共42场，问有多少支队伍？ 五、握手或互赠礼物问题 1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有（　　）名同学． A.12 B.13 C.14 D.15 2.在毕业季，3班同学互赠毕业礼物，每两位同学之间互赠一件礼物，据统计，全班共赠送了2070件礼物，则这个班有同学（　　） A.42位 B.43位 C.45位 D.46位 3.九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出2450张相片，则这个班共有多少个学生（　　） A.49 B.50 C.51 D.52 4.七（1）班共有n名同学，每两人握一次手，他们一共握了　   　次手． 5.一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，琪琪统计了握手次数，一共是190次，这次聚会共　 　人． 6.前不久，特奥运动会羽毛球比赛在我区宝宸体育场举行．比赛结束后，部分运动员和志愿者交换礼物留作纪念．交换礼物时每位志愿者向每位运动员赠送一件礼物，每位运动员也向每位志愿者赠送一件礼物，这样互相赠送的礼物共176件，已知参加该活动的志愿者人数比运动员数多3人．问参加该活动的运动员有几人？ 7.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手． （1）若参加聚会的人数为6，则共握手　  　次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　      　次； （2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数？ 六、与几何图形有关的问题 1.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为12m2的长方形空地，则原正方形空地的边长是（　　） A.9m B.8m C.7m D.6m 2.欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为（　　） A.线段BF B.线段DG C.线段CG D.线段GF 3.直角三角形的三边长是连续偶数，则三边长分别是（　　） A.2，4，6 B.4，6，8 C.6，8，10 D.8，10，12 4.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　   　． 5.如图，将正方形沿图中虚线剪成三块图形（图中的x，y，d是相应线段的长度），用这三块图形恰能拼成一个长与宽之比为3：1的长方形，若x的值为6，则y的值为 　    　，此时d的值为 　    　． 6.学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 7.如图，将边长为8cm的正方形扩大成面积为120cm2的长方形．若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求长方形的长和宽． 七、动态几何问题 1.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　） A.1s B.4s C.5s或1s D.4s或1s 2.如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A.1 B.2 C.4 D.1或4 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（　　） A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 4.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝24cm，AC＝16cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，经过 　     　秒，△APQ的面积是△ABC面积的一半？ 5.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　  　s后，P，Q两点之间相距25cm． 6.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿AB边向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B沿BC边向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）． （1）设时间为t，则BP＝　    　cm，BQ＝　    　cm； （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，出发多少秒后，四边形APQC的面积为16cm2？ 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BC向C点以2cm/s的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答： （1）经过多少时间，△PBQ的面积是5cm2，此时，PQ长为多少cm． （2）探究：是否存在某一时刻t，使S四边形APQC＝S△ABC，如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由． 浙教版八年级下册 2.3 一元二次方程的应用 暑假分层练习（参考答案） 一、传播问题 1.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（　　） A.11人 B.12人 C.13人 D.14人 【答案】D 【解析】传染源为1人，每次传播x人，第一轮传播后，感染的人数一共为（x+1）人，（x+1）人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为x（x+1）人，根据两轮感染的总人数196即可列出方程求解． 设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得x+1+（x+1）x＝225， 解得：x＝14或x＝﹣16（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了14个人． 故选：D． 2.某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，假设每轮感染中平均一人感染人数相同，按这样的速度第三轮后共有（　　）人被传染． A.380 B.6859 C.7220 D.6498 【答案】B 【解析】设平均每人每轮感染x人，根据有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 设平均每人每轮感染x人， 由题意得：1+x+x（x+1）＝361， 解得：x1＝18，x2＝﹣20（不符合题意，舍去）， 即平均每人每轮感染18人， ∴361（1+18）＝361×19＝6859（人）， 即按这样的速度第三轮后共有6859人被传染， 故选：B． 3.小明在解决一个关于计算机病毒传播的问题时，设计算机有x台，列方程3+x+x（x+3）＝48，则方程的解中一定不合题意的是（　　） A.5 B.9 C.﹣5 D.﹣9 【答案】D 【解析】解方程后，因为计算机的台数不能为负数，进行取舍． 3+x+x（x+3）＝48， x2+4x﹣45＝0， （x﹣5）（x+9）＝0， x1＝5，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）， 故选：D． 4.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x＝　  　． 【答案】10． 【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，然后可列方程进行求解． 每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， 列方程得：1+x+x（1+x）＝121， ∴x2+2x﹣120＝0， 解得：x1＝﹣12（舍去），x2＝10． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染10台电脑． 故答案为：10． 5.已知3人感染了某种传染病毒，经过两轮传染后，感染总人数为108人，则平均每人每轮传染 　   　人． 【答案】5． 【解析】设1个人传染x人，第一轮共传染（x+1）人，第二轮共传染（x+1）2人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 设每个人传染x人，根据题意列方程得， 3（x+1）2＝108， 解得x1＝5，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， 故答案为：5． 6.今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝49， 解得：x1＝6，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了6个人． 7.春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】解：（1）设平均一人传染了x人， x+1+（x+1）x＝162÷2， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）162+162×8＝1458（人）． 答：经过三轮传染后共有1458人会患流感． 二、增长率问题 1.2023年是我国全面推进乡村振兴开局之年．为了解某县助推乡村振兴的投资收益情况，现对投资项目的收益进行统计，结果显示收益从2020年的1000万元，增加到2022年的1960万元，则该县平均每年的收益增长率为（　　） A.10% B.20% C.30% D.40% 【答案】D 【解析】设平均每年的收益增长率是x，根据2020年及2022年该投资项目的收益，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 设平均每年的收益增长率是x， 根据题意，得1000（1+x）2＝1960， 解得x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不符合题意，舍去） 答：该县平均每年的收益增长率为40%． 故选：D． 2.天气越来越冷，家用暖风机的市场需求量逐步变大．据了解，某商店销售一款家用暖风机，10月的销售额为30000元，12月的销售额为76800元，则10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为（　　） A.256% B.260% C.160% D.60% 【答案】D 【解析】设10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为x，利用12月该款暖风机的销售额＝10月该款暖风机的销售额×（1+10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为x， 根据题意得：30000（1+x）2＝76800， 解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6（不符合题意，舍去）， ∴10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为60%． 故选：D． 3.某电视机厂计划用两年时间把某种型号的电视机成本降低19%，若每年下降的百分比相同，则这个百分数是（　　） A.19% B.10%或9% C.10% D.9% 【答案】C 【解析】如果把第1年的成本设为a，设平均每年下降的百分率为x，那么第2年的成本为（1﹣x）a元，第3年的成本为a（1﹣x）2元，而此时的成本为（1﹣19%）a元，根据这个等量关系列出方程． 设每年下降的百分率为x，原成本价是a元， 由题意，可得（1﹣x）（1﹣x）a＝（1﹣19%）a， 解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意舍去）． 所以平均每年下降的百分率为10%． 故选：C． 4.某单位今年六月份面向社会提供就业岗位32个，并按计划逐月稳步增长，预计八月份将提供岗位50个．则七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 　   　． 【答案】25%． 【解析】根据今年六月份提供就业岗位32个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位50个，列一元二次方程，求解即可． 根据题意，得32（1+x）2＝50， 解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为25%． 故答案为：25%． 5.某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由去年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，且去年房价在9月份、10月份、11月份、12月份的下降率保持一致，则去年12月份的房价单价为每平方米 　     　元． 【答案】7290． 【解析】设今年房价在9月份、10月份、11月份的下降率为x，利用今年9月份的房价＝今年1月份的房价×（1﹣今年房价在10月份、11月份的下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程． 设去年房价在10月份、11月份的下降率为x， 根据题意得：10000（1﹣x）2＝8100， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， ∴8100（1﹣x）＝8100×（1﹣10%）＝7290， ∴12月份的房价单价为每平方米7290元． 故答案为：7290． 6.某商场今年1月份销售额为60万元，2月份销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3、4月份销售额的月平均增长率． 【答案】解：由题意得：2月份的销售额60（1﹣10%）＝54（万元）， 设3、4月份平均每月销售额增长的百分率是x， 54（1+x）2＝121.5， ∴1+x＝±1.5， ∴x1＝50%或x2＝﹣2.5（负值舍去）． 答：3、4月份销售额的月平均增长率为50%． 7.某品牌衬衫标价为200元/件，为提高销售量，经过两次降价后为162元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种衬衫每次降价的百分率； （2）若该种品牌衬衫的进价为100元/件，两次降价共售出此种品牌衬衫100件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？ 【答案】解：（1）设这种衬衫每次降价的百分率为x， 由题意得：200（1﹣x）2＝162， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）， 答：该种衬衫每次降价的百分率为10%； （2）设第一次降价要销售出y件该种衬衫， 由题意得：[200×（1﹣10%）﹣100]y+[200×（1﹣10%）2﹣100]（100﹣y）≥6560， 解得：y≥20， 答：第一次降价至少要销售出20件该种衬衫． 三、数字问题 1.一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小1，则这个两位数是（　　） A.24 B.13 C.46 D.35 【答案】D 【解析】设个位数字为x，根据个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小1，列出方程，解之取合适的解即可． 设个位数字为x， 由题意可得：x2+（x﹣2）2＝10（x﹣2）+x﹣1， 解得：x1＝5，（不合题意，舍去）， ∴这个两位数是35． 故选：D． 2.一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A.36 B.72 C.36或63 D.27或72 【答案】C 【解析】设十位数字为x，则个位数字为（9﹣x），根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合这个两位数是[10x+（9﹣x）]，即可得出这个两位数是36或63． 设十位数字为x，则个位数字为（9﹣x）， 依题意得：x（9﹣x）＝2×9， 整理得：x2﹣9x+18＝0， 解得：x1＝3，x2＝6． 当x＝3时，9﹣x＝9﹣3＝6，此时这个两位数是3×10+6＝36； 当x＝6时，9﹣x＝9﹣6＝3，此时这个两位数是6×10+3＝63． 故选：C． 3.一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2．则这个两位数是（　　） A.64 B.75 C.53或75 D.64或75 【答案】D 【解析】可设个位数字为x，则十位上的数字是（x+2）．等量关系：十位上的数字与个位上的数字的积+40＝这个两位数． 设个位数字为x，则十位上的数字是（x+2），根据题意得 x（x+2）+40＝10（x+2）+x， 整理，得x2﹣9x+20＝0，即（x﹣4）（x﹣5）＝0， 解得 x1＝4，x2＝5（不合题意，舍去）， 当x1＝4时，x+2＝6，这个两位数是64； 当x1＝5时，x+2＝7，这个两位数是75． 答：这两位数是64或75． 故选：D． 4.有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 　   　． 【答案】23． 【解析】设这个两位数中十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+1），根据题意列得方程后解方程即可． 设这个两位数中十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+1）， 则x2﹣（x+1）＝1， 整理得：x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x1＝﹣1（舍去）， 则2+1＝3， 那么这个两位数为：23， 故答案为：23． 5.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 　   　． 【答案】84． 【解析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4），根据个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其非负整数代入[10（x+4）+x]中即可求出结论． 设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4）， 依题意得：x2+（x+4）2﹣[10（x+4）+x]＝﹣4， 整理得：2x2﹣3x﹣20＝0 解得：x1＝4，x2＝﹣． 又∵x为非负整数， ∴x＝4， ∴10（x+4）+x＝10×（4+4）+4＝84． 故答案为：84． 6.一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 【答案】解：设该三位数的百位数字是x（x为正整数），则十位数字是（x+3），个位数字是（2x+3）．则 100x+10（x+3）+（2x+3）＝5（2x+3）2+12， 整理，得 5x2﹣13x+6＝0， 所以，（x﹣2）（5x﹣3）＝0． 所以x﹣2＝0或5x﹣3＝0， 解得，x＝2，则x+3＝5，2x+3＝7， 则该三位数是257． 答：这个数是257． 7.一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 【答案】解：设个位数字为 x，则十位数字为 （11﹣x）， x2+（11﹣x）2＝85， 解得：x1＝2，x2＝9． 当 x＝2时，两位数为92， 当x＝9 时，两位数为29． 答：两位数为92或29． 四、球赛问题 1.为增强学生体质，各高校准备开展足球联赛，赛制为单循环形式，现计划安排21场比赛，则共有几支队伍参赛（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【解析】设共有x支队伍参赛，赛制为单循环形式，即每两队之间都赛一场，x支队伍比赛总场数为，即可列出方程，解方程即可得到答案． 设共有x支队伍参赛， 根据题意得：， 整理得：x2﹣x﹣42＝0， 解得：x1＝7，x2＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴共有7支队伍参赛， 故选：C． 2.在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛，主办方共投入使用6个球场，每天每个球场共安排4场比赛，若连续10天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球队有（　　） A.15支 B.16支 C.17支 D.18支 【答案】B 【解析】本次小组赛参赛球队有x支，根据主办方共投入使用6个球场，每天每个球场共安排4场比赛，若连续10天才能保证小组赛全部比完，列一元二次方程，进一步求解即可． 设本次小组赛参赛球队有x支， 根据题意，得x（x﹣1）＝6×4×10， 解得x1＝16，x2＝﹣15（不合题意，舍去）， ∴本次小组赛参赛球队有16支， 故选：B． 3.某中学组织九年级学生篮球赛，以班为单位，每两个班之间都比赛一场，总共安排28场比赛，则该校九年级参加篮球比赛的班级个数为（　　） A.14 B.12 C.10 D.8 【答案】D 【解析】设该校九年级参加篮球比赛的班级个数为x，根据“每两个班之间都比赛一场，总共安排28场比赛”列出方程，解方程即可得到答案． 设该校九年级参加篮球比赛的班级个数为x， 则， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）， ∴该校九年级参加篮球比赛的班级个数为8， 故选：D． 4.某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，则比赛组织者应邀请 　  　个队参赛． 【答案】见试题解答内容 【解析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据共赛2×5场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 设比赛组织者应邀请x个队参赛， 依题意，得：x（x﹣1）＝2×5， 整理，得：x2﹣x﹣20＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣4（舍去）． 故答案为：5． 5.某年级开展篮球比赛，参赛的每两个班之间都要比赛一场，共比赛10场，则有 　  　个班参加比赛． 【答案】5． 【解析】设有x个班参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛班级数×（参赛班级数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设有x个班参加比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝10， 整理得：x2﹣x﹣20＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴有5个班参加比赛． 故答案为：5． 6.第六届“粤港杯”男子篮球赛在广东恩平落幕，广东队顺利捧杯豪取五连冠．若参加比赛的每两队之间都进行1场比赛，一共比赛120场，共有多少个队参加该比赛？ 【答案】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， 解：设共有x个队参加该比赛． 根据题意，得， 解得x＝16或x＝﹣15（舍去）． ∴共有16个队参加该比赛． 7.球队两两比赛，主场客场各一场，共42场，问有多少支队伍？ 【答案】有7支队伍． 【解析】设球队共有x支，则每支球队都要与余下的（x﹣1）支球队进行比赛，又每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，故这x支球队一共需要比赛x（x﹣1）场，而这个场次又是42场，据此列出方程． 设有x支队伍， 根据题意得：x（x﹣1）＝42， 解得：x＝7； 答：有7支队伍． 五、握手或互赠礼物问题 1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有（　　）名同学． A.12 B.13 C.14 D.15 【答案】C 【解析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程，求解即可． 设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，那么x名同学共赠：x（x﹣1）件， 则x（x﹣1）＝182， 整理得：x2﹣x﹣182＝0， 解得x1＝﹣13（不合题意舍去），x2＝14． 故全组共有14名同学． 故选：C． 2.在毕业季，3班同学互赠毕业礼物，每两位同学之间互赠一件礼物，据统计，全班共赠送了2070件礼物，则这个班有同学（　　） A.42位 B.43位 C.45位 D.46位 【答案】D 【解析】设这个班有x位同学，则每人需赠送出（x﹣1）件礼物，根据全班共赠送了2070件礼物，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设这个班有x位同学，则每人需赠送出（x﹣1）件礼物， 根据题意得：x（x﹣1）＝2070， 整理得：x2﹣x﹣2070＝0， 解得：x1＝﹣45（不符合题意，舍去），x2＝46， ∴这个班有46位同学． 故选：D． 3.九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出2450张相片，则这个班共有多少个学生（　　） A.49 B.50 C.51 D.52 【答案】B 【解析】设全班有x名同学，则每人送出（x﹣1）张相片，共送出x（x﹣1）张相片，进而可列出方程，解方程即可求出答案． 设全班有x名同学，则每人送出（x﹣1）张相片， 根据题意得x（x﹣1）＝2450， 即x2﹣x﹣2450＝0， （x﹣50）（x+49）＝0， 解得x1＝50，x2＝﹣49（舍去）． 即全班有50名学生． 故选：B． 4.七（1）班共有n名同学，每两人握一次手，他们一共握了　   　次手． 【答案】n（n﹣1）． 【解析】七（1）班共有n名同学，已知两两握手一次，那么每人应握（n﹣1）次手，所以n人共握手n（n﹣1）次． 由题意，得n（n﹣1）． 故答案为：n（n﹣1）． 5.一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，琪琪统计了握手次数，一共是190次，这次聚会共　 　人． 【答案】20． 【解析】设这次聚会共x人．根据握手次数，列出方程即可解决问题． 设这次聚会共x人． 由题意x（x﹣1）＝190， 解得x＝20或﹣19（舍弃）， 答：设这次聚会共20人． 故答案为：20． 6.前不久，特奥运动会羽毛球比赛在我区宝宸体育场举行．比赛结束后，部分运动员和志愿者交换礼物留作纪念．交换礼物时每位志愿者向每位运动员赠送一件礼物，每位运动员也向每位志愿者赠送一件礼物，这样互相赠送的礼物共176件，已知参加该活动的志愿者人数比运动员数多3人．问参加该活动的运动员有几人？ 【答案】解：设参加该活动的运动员有x人，则参加该活动的志愿者有（x+3）人（1分） 由题意得：x（x+3）+（x+3）x＝176（5分） 整理得：x2+3x﹣88＝0（1分） 解得：x1＝﹣11，x2＝8（3分） 其中x＝﹣11不合题意，舍去（1分） 答：参加该活动的运动员有8人．（1分） 7.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手． （1）若参加聚会的人数为6，则共握手　  　次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　      　次； （2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数？ 【答案】解：（1）若参加聚会的人数为6，共握手×6×5＝15（次）， 若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手n（n﹣1）（次）． 故答案为：15；n（n﹣1）． （2）依题意得：n（n﹣1）＝36， 整理得：n2﹣n﹣72＝0， 解得：n1＝9，n2＝﹣8（不合题意，舍去）． 答：参加聚会的人数为9人． 六、与几何图形有关的问题 1.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为12m2的长方形空地，则原正方形空地的边长是（　　） A.9m B.8m C.7m D.6m 【答案】D 【解析】设原正方形空地的边长是x m，根据剩余部分是一个长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m且面积为12m2的长方形，据此列出方程求解即可． 设原正方形空地的边长是x m， 由题意得，（x﹣2）（x﹣3）＝12， 解得x＝6或x＝﹣1（舍去）， ∴原正方形空地的边长是6m， 故选：D． 2.欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为（　　） A.线段BF B.线段DG C.线段CG D.线段GF 【答案】B 【解析】首先根据方程x2+x﹣1＝0解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF＝0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG＝m，则GC＝1﹣m，从而可以用m表示等式． 设DG＝m，则GC＝1﹣m． 由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点， ∴DG＝GH＝m，CF＝0.5． ∵S正方形＝S△ABF+S△ADG+S△CFG+S△AGF， ∴， ∴m＝． ∵x2+x﹣1＝0的解为：， ∴取正值为x＝． ∴这条线段是线段DG． 故选：B． 3.直角三角形的三边长是连续偶数，则三边长分别是（　　） A.2，4，6 B.4，6，8 C.6，8，10 D.8，10，12 【答案】C 【解析】根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x﹣2，x+2根据勾股定理即可解答． 根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x﹣2，x+2根据勾股定理，得 （x﹣2）2+x2＝（x+2）2， x2﹣4x+4+x2＝x2+4x+4， x2﹣8x＝0， x（x﹣8）＝0， 解得x＝8或0（0不符合题意，应舍去）， 所以它的三边是6，8，10． 故选：C． 4.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　   　． 【答案】1m． 【解析】由题意：剩余绿地的面积为224m2，列出一元二次方程，解方程即可． 根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224， 整理得：x2﹣24x+23＝0， 解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去）， 即图中x的值为1m， 故答案为：1m． 5.如图，将正方形沿图中虚线剪成三块图形（图中的x，y，d是相应线段的长度），用这三块图形恰能拼成一个长与宽之比为3：1的长方形，若x的值为6，则y的值为 　    　，此时d的值为 　    　． 【答案】；． 【解析】根据题意得：长方形的长为x+d，宽为y，再由长方形的长与宽之比为3：1，且正方形的面积等于长方形的面积，可得3y2＝x2，即可求解． 根据题意得：长方形的长为x+d，宽为y， ∵长方形的长与宽之比为3：1，且正方形的面积等于长方形的面积， ∴， ∴3y2＝x2＝62， ∴（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：；． 6.学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 【答案】解：设跳绳场地的宽为x米，则跳绳场地的长为2x米，比赛区域的长为2x+4+2x＝（4x+4）米，宽为3x米， 根据题意得：（4x+4）•3x＝144， 整理得：x2+x﹣12＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴4x+4＝4×3+4＝16（米）， 3x＝3×3＝9（米）． 答：比赛区域的长是16米，宽是9米． 7.如图，将边长为8cm的正方形扩大成面积为120cm2的长方形．若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求长方形的长和宽． 【答案】解：设长方形的宽为（8+x）cm，则长为（8+2x）cm， 根据题意得：（8+2x）（8+x）＝120， 整理得：x2+12x﹣28＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣14（不符合题意，舍去）， ∴8+2x＝8+2×2＝12（cm），8+x＝8+2＝10（cm）． 答：长方形的长为12cm，宽为10cm． 七、动态几何问题 1.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　） A.1s B.4s C.5s或1s D.4s或1s 【答案】A 【解析】设点P运动的时间为t s，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，再结合当Q到达点C时两点同时停止运动，即可得出点P运动的时间． 设点P运动的时间为t s，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm， 依题意得：（6﹣t）×2t＝5， 整理得：t2﹣6t+5＝0， 解得：t1＝1，t2＝5， ∵当Q到达点C时两点同时停止运动， ∴2t≤8， ∴t≤4， ∴t＝1． 故选：A． 2.如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A.1 B.2 C.4 D.1或4 【答案】A 【解析】设t秒后，△PCQ的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 设t秒后，△PCQ的面积等于4， 由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t， ∵S△PCQ＝CQ•CP， ∴4＝×2t×（5﹣t）， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）， 即1秒后，△PCQ的面积等于4， 故选：A． 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（　　） A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 【答案】A 【解析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P，Q到达终点所需时间，当运动时间为t秒时，BP＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm，根据△PBQ的面积为12cm2，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 8÷1＝8（秒），6÷2＝3（秒）． 当运动时间为t秒时，AP＝t cm，BP＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：2t×（8﹣t）÷2＝12， 整理得：t2﹣8t＝12， 解得：t1＝2，t2＝6（不符合题意，舍去）， ∴点P的运动时间是2秒． 故选：A． 4.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝24cm，AC＝16cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，经过 　     　秒，△APQ的面积是△ABC面积的一半？ 【答案】2或12． 【解析】设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，根据点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s表示出BP＝4xcm，CQ＝2xcm，进而表示出AP＝（24﹣4x）cm，AQ＝（16﹣2x）cm，利用面积表示出方程求解即可． 设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半， ∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s， ∴BP＝4xcm，CQ＝2xcm， （1）当AP＝（24﹣4x）cm，AQ＝（16﹣2x）cm， 根据题意得：（24﹣4x）（16﹣2x）＝××24×16， 整理得x2﹣14x+24＝0， 解得：x＝2或x＝12（舍去）． （2）当AP＝（4x﹣24）cm，AQ＝（2x﹣16）cm， 根据题意得：（4x﹣24）（2x﹣16）＝××24×16， 整理得x2﹣14x+24＝0， 解得：x＝2（舍去）或x＝12． 故答案为：2或12． 5.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　  　s后，P，Q两点之间相距25cm． 【答案】10． 【解析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 设x秒后P、Q两点相距25cm， 则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm， 由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252， 解得，x1＝10，x2＝0（舍去）， 则10秒后P、Q两点相距25cm． 故答案为：10． 6.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿AB边向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B沿BC边向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）． （1）设时间为t，则BP＝　    　cm，BQ＝　    　cm； （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，出发多少秒后，四边形APQC的面积为16cm2？ 【答案】解：（1）设时间为t，依题意，BP＝6﹣t，BQ＝2t， 故答案为：（6﹣t）；2t． （2）设t秒后，四边形APQC的面积为16cm2， ∴S△ABC﹣S△BPQ＝16， ∴， 即， 解得：t1＝2，t2＝4， 当t＝4时，BQ＝2×4＝8， ∵Q不与点C重合， ∴t＝4不合题意舍去， 答：2秒后，四边形APQC的面积为16cm2． 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BC向C点以2cm/s的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答： （1）经过多少时间，△PBQ的面积是5cm2，此时，PQ长为多少cm． （2）探究：是否存在某一时刻t，使S四边形APQC＝S△ABC，如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）设运动时间为t秒，8÷2＝4，则0≤t≤4， 由题意得：PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm， ∵， ∴，即t2﹣6t+5＝0． 解得：t1＝1，t2＝5（不符合题意，舍去）， ∴t＝1， 当t＝1时，PB＝6﹣t＝5，BQ＝2t＝2， ∴， ∴经过1秒，△PBQ的面积是5cm2，此时，PQ的长为； （2）不存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴t2﹣6t+14＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×14＝﹣20＜0， ∴t2﹣6t+14＝0没有实数根， 故不存在某一时刻t，使． 学科网（北京）股份有限公司 $$