精品解析：广西巴马县高级中学等校2024-2025学年高三下学期5月联考数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. -1 B. C. 1 D. i 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是奇函数，且时，，则（ ） A. 10 B. 9 C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为F，P是抛物线C上一点，若P到x轴的距离为4，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数图象两相邻对称轴之间的距离为，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ） A. －4 B. －2 C. 4 D. 2 8. 已知命题：设等差数列的前项和为，若且，则，命题：设等比数列的前项和为，若且，则，则（ ） A. 是真命题，是假命题 B. 是假命题，是真命题 C. 与都是真命题 D. 与都是假命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组样本数据，则（ ） A. 该样本数据的平均数为1 B. 该样本数据的众数与中位数相同 C. 该样本数据的方差大于极差 D. 该样本数据的标准差小于众数 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 的面积为 D. 11. 设函数的定义域为，且，则（ ） A B. C. 是奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，若，则a的值为________. 13. 已知正四棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的侧面积为_____． 14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某超市经理为了解顾客对某商品甲、乙两款的喜爱程度是否与性别有关，在街头随机抽取了100人做调查研究，其中喜欢甲与乙的人数各占一半，男性占总人数的60%，且女性中有75%的人喜欢甲. （1）补全列联表： 喜欢甲 喜欢乙 合计 男性 女性 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢哪款商品与性别有关联？ （3）该经理针对女性客户做了调查，在3·15活动当天，女性客户中有老年人162人，中年人108人，青年人54人，按分层抽样选出12人，又从这12人中随机抽出3人作为幸运顾客，这3人中的老年人人数设为随机变量，请求出的分布列与数学期望. 附：，其中 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16. 的内角所对的边分别为，且，． （1）若为锐角三角形，求的取值范围； （2）在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出面积；若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点. （1）证明：平面⊥平面ABF. （2）若平面⊥平面，设平面与平面所成角为，是否存在点G，使得，若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数（是自然对数的底数）. （1）讨论函数单调性； （2）求证：恒成立. 19. 某数学兴趣研究小组发现鸡蛋的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面.在空间直角坐标系下，椭球面的方程为（，，），研究小组通过祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”得到对应的椭球体的体积为.该研究小组通过测量得到某鸡蛋对应的椭球面的方程为. （1）求椭球面C对应的椭球体的体积； （2）已知椭球面C与坐标面的截痕是椭圆E，过椭圆E的右焦点F作直线l与椭圆E相交于M，N两点，过点M，N分别作椭圆E的切线，两切线交于点A. ①证明：点A在定直线上； ②求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. -1 B. C. 1 D. i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，即得虚部. 【详解】由可得，其虚部为. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合，根据交集的运算法则求解即可. 【详解】由，得，所以， 又，所以. 故选：C. 3. 已知函数是奇函数，且时，，则（ ） A. 10 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义列式求解即可. 【详解】由奇函数的定义得， 故选：D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式及诱导公式可求的值. 【详解】, 故选：B. 5. 已知抛物线的焦点为F，P是抛物线C上一点，若P到x轴的距离为4，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，然后根据抛物线的焦半径公式即可得出答案. 【详解】由题得，代入得， ，即，解得， 故选：B. 6. 一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示“考生答对”， 设事件表示“考生选到有思路的题”. 则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为： 故选：C. 7. 已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ） A. －4 B. －2 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再根据正弦函数的性质求出函数的最值，从而可求的最大值. 【详解】因为相邻对称轴之间的距离为，故函数的最小正周期为， 故，故， 当时，，故， 因为存在，，使得成立， 所以即，故的最大值为4， 故选：C 8. 已知命题：设等差数列的前项和为，若且，则，命题：设等比数列的前项和为，若且，则，则（ ） A. 是真命题，是假命题 B. 是假命题，是真命题 C. 与都是真命题 D. 与都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】结合等差数列性质举反例可判断命题p的真假；结合等比数列的前n项公式和以及等比数列性质可判断命题q的真假，即得答案. 【详解】对于命题，在等差数列中，若，则，有， 则成立，但，，所以不成立，故命题是假命题； 对于命题，设等比数列的公比为，若且， 则中至少有一项为0，则，否则，不合题意； 假设且，则有，所以， 由，得为偶数且，故，所以命题为真命题. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组样本数据，则（ ） A. 该样本数据的平均数为1 B. 该样本数据的众数与中位数相同 C. 该样本数据的方差大于极差 D. 该样本数据的标准差小于众数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数、众数、中位数、方差、标准差等公式求解. 【详解】平均数， 方差， 标准差，众数为2， 将这组数由小到大排列，2在中间，中位数为2，最大数为3，最小数为， 极差为，所以ABD正确，C错误. 故选：ABD. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 的面积为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线定义、标准方程和几何性质，结合选项计算依次判断即可. 【详解】A：因，解得，故A正确； B：双曲线，所以， 的离心率，故B错误； C：因为，所以， 则的面积为，故C正确； D：所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 设函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法推导可得数列的特性，计算判断AB；取，再取，结合奇函数定义判断C；由选项C的结论，结合等差数列求和判断D. 【详解】函数的定义域为，且， 对于AB，取，则， 因此数列是以为首项，公差为1等差数列，， 则，，AB正确； 对于C，由，得，取，得， 取，得，即，因此，是奇函数，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，若，则a的值为________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】， ，即， 所以或， 故答案为：或. 13. 已知正四棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的侧面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正四棱台的结构特征求出斜高，再利用侧面积公式计算得解. 【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，则斜高， 所以侧面积． 故答案为： 14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】函数恰有两个零点，等价于有两个实数根，设，，利用导数研究函数单调性，作出函数图象通过数形结合求解. 【详解】令，得， 即，令，， 所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点. ，令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且时，时， 所以的图象如图所示， 设是经过点的的图象的切线，切点为， 则切线斜率为， 所以的方程为， 又经过点，所以， 即，解得或， 或， 所以由图可知，当或， 即或时，函数的图象与的图象有两个交点， 即函数恰有2个零点， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将函数恰有2个零点转化为函数的图象与的图象有两个交点，数形结合求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某超市经理为了解顾客对某商品甲、乙两款的喜爱程度是否与性别有关，在街头随机抽取了100人做调查研究，其中喜欢甲与乙的人数各占一半，男性占总人数的60%，且女性中有75%的人喜欢甲. （1）补全列联表： 喜欢甲 喜欢乙 合计 男性 女性 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢哪款商品与性别有关联？ （3）该经理针对女性客户做了调查，在3·15活动当天，女性客户中有老年人162人，中年人108人，青年人54人，按分层抽样选出12人，又从这12人中随机抽出3人作为幸运顾客，这3人中的老年人人数设为随机变量，请求出的分布列与数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7879 10.828 【答案】（1）列联表见解析 （2）与性别有关联 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）结合题意计算数据，补全列联表即可. （2）依据列联表计算出，再进行独立性检验即可. （3）利用分层抽样结合组合数的性质求出对应概率，再求出分布列，最后利用期望公式求解数学期望即可. 【小问1详解】 补全列联表如下. 喜欢甲 喜欢乙 合计 男性 20 40 60 女性 30 10 40 合计 50 50 100 【小问2详解】零假设：喜欢哪款商品与性别无关联， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即能认为喜欢哪款商品与性别有关联. 【小问3详解】 由题意得， 所以12人中有老年人6人，中年人4人，青年人2人， 则的所有可能取值为， ，， ，， 则分布列为： 0 1 2 3 由期望公式得. 16. 的内角所对的边分别为，且，． （1）若为锐角三角形，求的取值范围； （2）在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的面积；若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意得，，再结合正弦定理，可得，因为为锐角三角形，所以，结合三角函数值域值域问题，即可求解； （2）若选①，结合三角恒等变换化简得，即，将一起代入，得，可判断方程无实根，所以不存在； 若选②，结合三角恒等变换化简得，即，将一起代入，得，可求得，所以为等边三角形，再结合三角形面积公式即可求得其面积； 若选③，结合余弦定理化简得，将一起代入，可判断方程无实根，所以不存在. 【小问1详解】 因为，由余弦定理得， 又，所以， 因为，所以， 因为为锐角三角形， 所以，，解得， 所以，所以的取值范围为． 【小问2详解】 选择①，因为，所以， 因为，所以，所以，所以， 因为，，所以， 整理得，方程无实数解，所以不存在． 选择②，由，得， 所以，即，所以， 因为，， 所以，所以，解得， 所以存在且唯一，的面积． 选择③，因为，所以， 因为，，所以， 整理得，方程无实数解，所以不存在． 17. 如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点. （1）证明：平面⊥平面ABF. （2）若平面⊥平面，设平面与平面所成角为，是否存在点G，使得，若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点G为BF中点 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证AD⊥平面ABF，再由面面垂直的判定证结论； （2）由题设构建空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，结合已知夹角的余弦值求参数，进而确定点的存在性. 【小问1详解】 因为，，，AF、AB平面ABF， 所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD， 所以平面⊥平面ABF. 【小问2详解】 由面⊥面，，面面，面， 所以平面，AB在面ABCD内，则，结合已知建立如下空间直角坐标系， 则，设，得， 平面的法向量为，又， 设平面的法向量为，则， 取，则， 故=，解得=，（舍）， 所以点G的坐标为，故存在点G为BF中点时使得. 18. 已知函数（是自然对数的底数）. （1）讨论函数的单调性； （2）求证：恒成立. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得，再讨论当时，，在单调递增，当时，由，得，进而求得单调区间； （2）由题意可得，，在上恒成立，所以在上单调递增，又，根据隐零点得：，使得，则，又因为，转化后，再利用基本不等式得证. 【小问1详解】 解：由，得， 当时，恒成立，所以在单调递增； 当时，令，得， 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为），单调递增区间为. 【小问2详解】 证明：令， 定义域为， 令，则在上恒成立，所以在上单调递增. 又，所以，使得，即. 当时，，即，所以单调递减； 当时，，即，所以单调递增. 所以， 又，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又，所以，所以，即恒成立. 【点睛】利用导数研究函数的单调性关键在于判断导数的符号，若含有参数，需要讨论进而确定单调区间. 证明恒成立问题时，可将问题转化为函数的最小值问题. 19. 某数学兴趣研究小组发现鸡蛋的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面.在空间直角坐标系下，椭球面的方程为（，，），研究小组通过祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”得到对应的椭球体的体积为.该研究小组通过测量得到某鸡蛋对应的椭球面的方程为. （1）求椭球面C对应的椭球体的体积； （2）已知椭球面C与坐标面的截痕是椭圆E，过椭圆E的右焦点F作直线l与椭圆E相交于M，N两点，过点M，N分别作椭圆E的切线，两切线交于点A. ①证明：点A在定直线上； ②求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）直接代入公式求解即可； （2）①根据椭圆方程和切点坐标得出两条切线方程，然后联立得出的坐标，代入求解即可得出答案. ②利用弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形的底和高，然后分析函数性质，求值域即可. 【小问1详解】 由题得； 【小问2详解】 ① 当时，得椭圆，右焦点F， 当直线l的斜率存在时，设l：，， 与椭圆联立得， ， 此时过M，N时的切线方程分别为， 联立求得的坐标为， ， 所以在直线上； 当直线l斜率不存在时，其方程为，，代入椭圆方程解得， 所以此时，， 联立解得，也在直线上， 所以点A在定直线上； ②当直线l的斜率存在时， 由①得，所以， 此时， 到直线l的距离， 所以 ， 显然当增大时，和都为正，且都在变小，所以也在变小， 当趋近于正无穷大时，趋近于， 当趋近于0时，趋近于正无穷大， 由①知，当直线l的斜率不存在时，， 所以取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$