专题2：一元二次方程根的分布 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题2：一元二次方程根的分布 知识梳理 二次方程根的分布 1．一元二次方程根的基本分布——零分布（根与0比较） ①方程有两个正根 ②方程有两个负根 ③方程有一正根和一负根 2．一元二次方程根的基本分布——k分布（根与k比较） ①两根都小于k ②两根都大于k ③一根小于，一根大于k 3. 一元二次方程根在区间内的分布 ①两根都在内 ②两根仅有一根在内 ③一根在内，另一根在内 典例剖析 【考点 一元二次方程根的分布】 1．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 2．若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 3．（24福建长乐高二下月考）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（25上海高一下期末）已知，关于的实系数一元二次方程． (1)若方程的一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围； (2)方程的两根模均小于，求实数的取值范围． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2：一元二次方程根的分布 知识梳理 二次方程根的分布 1．一元二次方程根的基本分布——零分布（根与0比较） ①方程有两个正根 ②方程有两个负根 ③方程有一正根和一负根 2．一元二次方程根的基本分布——k分布（根与k比较） ①两根都小于k ②两根都大于k ③一根小于，一根大于k 3. 一元二次方程根在区间内的分布 ①两根都在内 ②两根仅有一根在内 ③一根在内，另一根在内 典例剖析 【考点 一元二次方程根的分布】 1．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 （3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 （4）若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 （5）若方程的两个根都在内，则，解得 2．若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】（1）根据判别式符号以及韦达定理列不等式求解； （2）利用求解； （3）函数在的函数值的符号列不等式求解； （4）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解； （5）利用求解； （6）根据判别式符号以及区间端点处函数值符号列不等式求解； （7）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解. 【详解】（1）设 两根都大于0，应满足解得 （2）一根大于，另一根小于，应满足 , 即 , 解得 或 （3）一根在内,另一根在内,应满足 即 解得 （4）一根在内，另一根不在内， 应满足或或 可得 或 ，又． ∴m的取值范围为 ． （5）一根小于1，另一根大于2，应满足 即，解得． （6）两根都在内，应满足 解得． （7）在内有解，应满足 或或或解得． 3．（24福建长乐高二下月考）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次方程判别式以及两根的符号，结合韦达定理列不等式求出a的取值范围,再根据充分、必要条件的定义可得答案 【详解】设两个不等负实数根分别为， 则需满足， 解得，即， 所以是方程有两个不相等负根的充要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件， 故选：B. 4．（25上海高一下期末）已知，关于的实系数一元二次方程． (1)若方程的一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围； (2)方程的两根模均小于，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用一元二次方程实根分布列式求解. （2）求出方程的两个虚根，再结合已知列出不等式求解. 【详解】（1）依题意，方程有两个不等实根，则，解得， 由方程的一个根大于，另一个根小于，得，解得． 所以实数的取值范围为． （2）依题意，， 当时，方程有两个实根，，对称轴为， 则，解得，因此； 当时，方程有两个共轭虚根，，， 由，得，因此， 所以实数的取值范围为. 第 2 页 共 6 页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$