专题2.2 两条直线的位置关系（5类必考点）-2025-2026学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册（解析版）

专题2.2 两条直线的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：两条直线平行的判定】 1 【考点2：已知两条直线平行求参】 3 【考点3：两条直线垂直的判定】 4 【考点4：已知两条直线垂直求参】 6 【考点5：两条直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 7 【知识梳理】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【考点1：两条直线平行的判定】 1．（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直   3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 4．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 5．（24-25高二·全国·课后作业）若为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则斜率 B．若斜率，则 C．若，则倾斜角 D．若倾斜角，则 6．（24-25高二下·全国·随堂练习）下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 7．（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【考点2：已知两条直线平行求参】 1．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 2．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 3．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·吉林四平·期末）已知点，，且直线与直线平行，则（   ） A． B． C．2 D．-2 5．（24-25高一下·重庆·期末）直线与直线平行，则实数 ． 6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）直线与直线平行，则 . 7．（24-25高二上·重庆荣昌·期末）已知直线与平行，则实数的取值是 . 8．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 【考点3：两条直线垂直的判定】 1．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 5．（2025高三·全国·专题练习）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 6．（24-25高二上·云南文山·期中）已知直线和，下列命题： ①的充要条件是； ②的充分条件是； ③的必要条件是；④的充要条件是； ⑤的充分条件是；⑥的必要条件是； 正确的是 . 7．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为 ． 8．（2025高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 9．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【考点4：已知两条直线垂直求参】 1．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 2．（24-25高二下·上海静安·期末）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 3．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线，若且，则的值为 4．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山西·三模）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高二上·北京·期末）如图，在直角三角形中，，边所在直线的倾斜角为，则直线的斜率为 （    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高二下·江西上饶·期中）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【考点5：两条直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 1．（24-25高一·全国·课后作业）已知的三个顶点分别是，，，点在边的高所在的直线上，则实数 . 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二·江苏·假期作业）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 5．（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    6．（24-25高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（24-25高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 8．（24-25高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 9．（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 两条直线的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：两条直线平行的判定】 1 【考点2：已知两条直线平行求参】 5 【考点3：两条直线垂直的判定】 8 【考点4：已知两条直线垂直求参】 12 【考点5：两条直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 15 【知识梳理】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【考点1：两条直线平行的判定】 1．（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 【答案】A 【分析】由两直线的位置关系进行判断． 【详解】两直线的斜率都是2，但在轴上的截距分别为：3，-5， 故两直线平行， 故选：A 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B    3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 4．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线位置关系与斜率的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 5．（24-25高二·全国·课后作业）若为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则斜率 B．若斜率，则 C．若，则倾斜角 D．若倾斜角，则 【答案】ABCD 【分析】根据直线平行、斜率、倾斜角之间关系，可直接判断出结果. 【详解】因为为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为， 若，则斜率相等，即；又斜率是倾斜角的正切值，所以，故AC正确； 若，则，所以，故BD正确； 故选：ABCD 6．（24-25高二下·全国·随堂练习）下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 【答案】①③④ 【分析】利用斜率定义及坐标公式计算判断①②③；求出直线倾斜角判断④. 【详解】对于①，直线的斜率，直线的斜率，，所以； ②直线的斜率，所以不平行于； ③直线的斜率，直线的斜率，，所以； ④轴，轴，即直线与直线的倾斜角都为，所以. 故答案为：①③④ 7．（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 【考点2：已知两条直线平行求参】 1．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【答案】D 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可. 【详解】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 2．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【详解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得的充要条件，据此可得答案. 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是. 故选：A 4．（24-25高二上·吉林四平·期末）已知点，，且直线与直线平行，则（   ） A． B． C．2 D．-2 【答案】A 【分析】求出两点的斜率与直线的斜率，因为平行，所以斜率相等，即可求得结果. 【详解】点，，所以， 又直线的斜率为， 因为直线与直线平行，所以，即，故， 故选：A 5．（24-25高一下·重庆·期末）直线与直线平行，则实数 ． 【答案】或 【分析】利用两条直线平行列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）直线与直线平行，则 . 【答案】或4 【分析】利用两条直线平行列式求解. 【详解】由直线与直线平行， 若，则直线的方程为，的方程可化为，两直线不平行， 故，所以，解得或. 故答案为：或4 7．（24-25高二上·重庆荣昌·期末）已知直线与平行，则实数的取值是 . 【答案】或2 【分析】由直线平行的条件可求. 【详解】因为直线与平行 所以，解得或， 当和时，两直线都不重合，符合题意. 故答案为：或2. 8．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 【答案】 【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解. 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 【考点3：两条直线垂直的判定】 1．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【详解】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 4．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 5．（2025高三·全国·专题练习）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 【答案】D 【分析】分别求出四边形四条边所在直线的斜率，利用对边和邻边斜率之间的关系从而确定直线的位置的关系，最后确定四边形的形状即可. 【详解】由， ，，， ，， ，与不平行， 则四边形为梯形， 又 ， 四边形为直角梯形， 故选：D. 6．（24-25高二上·云南文山·期中）已知直线和，下列命题： ①的充要条件是； ②的充分条件是； ③的必要条件是；④的充要条件是； ⑤的充分条件是；⑥的必要条件是； 正确的是 . 【答案】⑤ 【分析】根据直线平行、垂直，以及充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若，则可能、的斜率都不存在，故不能得到； 若，则可能、重合，故不能得到， 所以①②③错误. 若，则可能的斜率不存在，的斜率为，故不能得到； 若，，则， 所以⑤正确，④⑥错误. 故答案为：⑤ 7．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为 ． 【答案】A 【分析】利用斜率公式计算AB,AC的斜率，通过计算从而可得，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形， 故答案为：A. 8．（2025高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【答案】(1)垂直 (2)不垂直 (3)垂直 (4)当或时，直线，当且时，与不垂直． 【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可； （4）分的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0， 也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为，从而确定直线与垂直时的值. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 9．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1) (2)四边形为直角梯形 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 【考点4：已知两条直线垂直求参】 1．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 【答案】2 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 2．（24-25高二下·上海静安·期末）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得. 【详解】由两直线垂直可得，解得或1， 当时，直线不存在，故舍掉， 所以. 故答案为：1. 3．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线，若且，则的值为 【答案】5 【分析】由直线一般式下两条直线垂直与平行的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，解得， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系得到直线的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意，直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 结合斜率与倾斜角的关系，得直线的倾斜角为. 故选：D. 5．（2025·山西·三模）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，得到，求解即可判断. 【详解】由，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（24-25高二上·北京·期末）如图，在直角三角形中，，边所在直线的倾斜角为，则直线的斜率为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直求得对应的斜率. 【详解】边所在直线的倾斜角为，则斜率为， ，即，故， 解得. 故选：A. 7．（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，进而可得，进而可得. 【详解】由可得， 化简得，解得或（舍去） 又，得， 故选：B 8．（多选）（24-25高二下·江西上饶·期中）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】AD 【分析】先由斜率定义写出直线的斜率，因为，则，由此解出，但要验证的解是否会使得直线的斜率不存在，由此可得答案. 【详解】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意， 故选：AD. 【考点5：两条直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 1．（24-25高一·全国·课后作业）已知的三个顶点分别是，，，点在边的高所在的直线上，则实数 . 【答案】3 【分析】根据可知，则，利用两点连线斜率公式可构造方程求得结果. 【详解】由题意得： 又    ，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用直线与直线垂直关系求解参数值的问题，属于基础题. 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 3．（多选）（24-25高二·江苏·假期作业）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 5．（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 6．（24-25高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】或 【分析】分和两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可 【详解】设点．若，则，解得， 点． 若，则，解得，点 【点睛】本题考查两直线的位置关系，考查直线交点，注意分类讨论的应用，是基础题 7．（24-25高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是矩形，证明见解析 【分析】根据题意，结合直线斜率的坐标计算公式，分别判断直线是否平行与垂直即可. 【详解】四边形是矩形．证明如下： 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形． 又， 所以，所以四边形是矩形． 又，， 令，即，无解， 所以与不垂直，故四边形是矩形． 8．（24-25高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可. 【详解】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 9．（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$