精品解析：广东省江门市2024-2025学年高一下学期调研测试（二）数学试题

江门市2025年普通高中高一调研测试（二） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，测试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷与答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】化简求出复数，即可判断复数在复平面内对应的点所在象限. 【详解】由可得：， 所以对应的点在第一象限. 故选：A. 2. 棱长为2的正方体的内切球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体内切球的性质，求出内切球半径，计算表面积； 【详解】易知正方体内切球的半径是正方体棱长的一半，所以内切球半径为1，则表面积为； 故选：B. 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（ ）． A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理求解即可 【详解】由正弦定理可得：，解得， 因为，所以， 所以或. 故选：D 4. 已知，则（ ）． A. B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】弦化切，求出，再利用两角和的正切公式化简求值即可. 【详解】因为，所以， 即，解得， 所以， 故选：D. 5. 如图，在中，，点E是的中点．设，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】 . 故选：B. 6. 设m，n是两条不同直线，，是两个不同的平面．下列命题中正确的是（ ）． A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行与面面垂直的判断与性质以及直线的平行于垂直，逐选项判断即可. 【详解】对于A，若，，，不一定垂直，可能平行或者异面，故A错误； 对于B，若，，，不一定平行，也可能异面，故B错误； 对于C，若，，则，又因为，则，故C正确； 对于D，若，，，则不一定垂直，也可能平行，故D错误， 故选：C. 7. 已知，，向量在向量上的投影向量为，则（ ）． A. 12 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的定义，求出，再根据向量模长和数量积的关系，求出向量的模长. 【详解】由数量积的定义可知， 则； 故选：C. 8. 某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】设山顶高于海面的距离为，利用余弦定理求解即可. 【详解】由题可得示意图：平面，，，， 设山顶高于海面的距离为， 由题意，， 在中，，， 由余弦定理得， 即，即， 解得或（舍去）， 所以该山顶高于海面米. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知函数部分图象如图所示，则（ ）． A. 函数的最小正周期是 B. 函数的解析式为 C. 函数的单调递减区间是 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图像，得出三角函数的最值，周期，和图像上的点坐标，求出函数解析式，根据三角函数性质，逐一判断各选项正误. 【详解】由图可知，函数最大值为，可得， 可知，解得，所以A正确； 可知，因为，解得， 可得，函数图像过点， 则，可得， 因为，所以，可得；所以B错误； 函数单间区间为， 解得，所以C正确； 函数的图象向右平移个单位长度得到； 根据诱导公式可知，所以D错误； 故选：AC. 10. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，则（ ）． A. B. C. 与所成的角为 D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的展开图，还原正方体，再结合线线垂直、平行及线面垂直判断即可. 【详解】将正方体的展开图还原，如图， 对于A，由，得， 则，而，因此，A错误； 对于B，由，得， 则，而，因此，B正确； 对于C，连接，因为，得， 则，故与所成的角为， 设正方体边长为，故，所以， 因此与所成的角为，C正确； 对于D，连接，因为平面，平面，故， 又因为，，平面,平面， 故平面，平面，故， 同理可得，因为，平面, 平面，故平面，D正确. 故选：BCD. 11. 数学家威廉·邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观、精巧的图示就能完整传达数学定理的证明．如图，为矩形，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数定义，诱导公式，余弦的二倍角公式，以及相似三角形的面积比，逐一证明各选项，判断正确结果. 【详解】 如图所示，， 在中，，由，可得，所以A正确； 同理，得，所以B正确； 易知，得， 则，所以C错误； 易知，，所以D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数（i为虚数单位），则______． 【答案】 【解析】 【分析】由共轭复数的概念、复数减法以及模的计算公式求解即可. 【详解】已知复数，则. 故答案为：. 13. 若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体的体积公式，求出各几何体体积，求出结果. 【详解】设球的半径为， 则圆锥的体积为， 圆柱的体积为， 球的体积为， 圆锥、圆柱、球的体积比为， 故答案为：. 14. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出一个几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中，所求的点称为费马点．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．若点P为的费马点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理和两角和的余弦公式化简，可得，，再根据等面积法即可求得，“费马点”定义可得该点与三角形的三个顶点的连线两两成角，从而求得答案. 【详解】由题意， 所以， 而，所以，所以， 由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部， 再由余弦定理知, ,，， , . 由等号左右两边同时乘以可得： ， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算． 15. 已知，，，，O坐标原点． （1）求向量与的夹角； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求得，然后由向量夹角的计算公式求解即可； （2）计算出，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，因为， 所以，解得， 所以， 所以向量与的夹角的余弦值为， 故向量与的夹角为； 【小问2详解】 因为，与的夹角为， 所以的面积为. 16. 如图，在三棱锥中，，底面，M，N分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，由三角形中位线得线线平行，再说明线面平行即可； （2）根据线面垂直的判定定理，证得线面垂直，由面面垂直的判定定理说明面面垂直. 【小问1详解】 因为M，N分别是，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，所以， 因为底面，底面，所以， ,平面，平面， 平面， 平面， 平面平面． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求角A； （2）若的外接圆的面积为，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理和正弦定理边角互化，求得，得到答案； （2）根据余弦定理，借助重要不等式求出，再根据面积公式求出最大值. 【小问1详解】 因为，由余弦定理得， 所以，由正弦定理得， 因为且，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 若的外接圆的面积为，设外接圆半径为，则，解得， 由正弦定理得， 又因为，即， 所以，当且仅当时，等号成立， ， 所以面积的最大值为. 18. 已知函数的最小值为． （1）求m的值； （2）当时，函数的取值范围是，求n的取值范围； （3）当时，求方程所有实数根的和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得，根据函数最小值即可列方程求解； （2）由题意得当时，，根据三角函数性质即可列不等式组求解的范围； （3）注意到或，故只需画出图形，通过数形结合、三角函数对称性即可求解. 【小问1详解】 由题意， 因为函数的最小值为，所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，， 因为当时，函数的取值范围是， 所以，解得， 所以n的取值范围为； 【小问3详解】 因为或， 在同一平面直角坐标系中画出函数、以及的图象，如图所示， 令，可得；令，可得. 所以当时，方程所有实数根的和为. 19. 如图，在等腰直角三角形中，，M是半圆弧上异于A，B的动点，平面平面．设O，N分别为，的中点，，三棱锥体积的最大值为． （1）证明：平面； （2）当时，求二面角的正切值； （3）求点N到平面的距离（用表示）． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，可得，再利用线面垂直即可证明求解； （2）利用二面角知识且结合（1）可得即为二面角，从而可求解； （3）利用等体积转换法可得，从而可求解. 【小问1详解】 由为等腰直角三角形，且，且，分别为，的中点，连接，， 则，又平面平面，且平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为为直径所对的圆周角，所以，即， 又，所以，因，平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接，由题意可知当时，三棱锥体积取到最大， 此时，解得， 由（1）知平面，平面，所以， 又，所以即为二面角， 因，所以，， 所以， 故二面角的正切值为. 【小问3详解】 连接，如图，由（1）知平面，平面，所以， 所以，，， 所以， 在中，，所以 设点到平面的距离为， 则，即，即， 解得， 故点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江门市2025年普通高中高一调研测试（二） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，测试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷与答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 棱长为2的正方体的内切球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（ ）． A. B. 或 C. D. 或 4. 已知，则（ ）． A. B. 2 C. 3 D. 5 5. 如图，在中，，点E是中点．设，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题中正确的是（ ）． A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知，，向量在向量上的投影向量为，则（ ）． A. 12 B. 4 C. D. 8. 某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知函数部分图象如图所示，则（ ）． A. 函数的最小正周期是 B. 函数的解析式为 C. 函数的单调递减区间是 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 10. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，则（ ）． A. B. C. 与所成的角为 D. 平面 11. 数学家威廉·邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观、精巧的图示就能完整传达数学定理的证明．如图，为矩形，则（ ）． A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数（i为虚数单位），则______． 13. 若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为______． 14. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出一个几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中，所求的点称为费马点．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．若点P为的费马点，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算． 15. 已知，，，，O为坐标原点． （1）求向量与夹角； （2）求的面积． 16. 如图，在三棱锥中，，底面，M，N分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 17. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．已知． （1）求角A； （2）若的外接圆的面积为，求面积的最大值． 18. 已知函数的最小值为． （1）求m的值； （2）当时，函数的取值范围是，求n的取值范围； （3）当时，求方程所有实数根的和． 19. 如图，在等腰直角三角形中，，M是半圆弧上异于A，B的动点，平面平面．设O，N分别为，的中点，，三棱锥体积的最大值为． （1）证明：平面； （2）当时，求二面角的正切值； （3）求点N到平面的距离（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$