第24章 小专题培优18 辅助圆问题的三大常见模型-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

116　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 18 辅助圆问题的三大常见模型 模 型 构 建 　 　 培优点:对综合性、技巧性、隐蔽性较强的平面几何问题,若能根据题目的本质特征,联想到 圆的有关知识,恰当地构造辅助圆,往往可化难为易,化繁为简,找到解题捷径. 模型 1　定点定长模型 【模型特点】情形(1):动点到定点的距离固定, 如图,若 A 是定点,B 是动点,AB = 2,则点 B 的 运动轨迹是以点 A 为圆心,2 为半径的圆; 情形(2):如图,若 P 为动点,且 AB =AC =AP,则 B,C,P 三点共圆,A 为圆心,AB 长为半径. 【依据】圆的定义———平面内到定点的距离等 于定长的点的集合. 【寻找辅助圆技巧】若动点到平面内某定点的 距离始终为定值,则其运动轨迹是圆或圆弧. 1. 如图,O 为线段 AB 的中点,点 B,C,D 到点 O 的距离相等,连接 AC,BD,则下面结论不一定 成立的是 ( C ) A. ∠ACB= 90° B. ∠BDC= ∠BAC C. AC 平分∠BAD D. ∠BCD+∠BAD= 180° 2. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 8,AB = 10,D 是 AC 上一点,且 CD= 2,E 是 BC 边上一点,将 △DCE 沿 DE 折叠,使点 C 落在点 F 处,连接 BF,则 BF 的最小值为　 2 10 -2　 . 3. 如 图, 在 四 边 形 ABCD 中, AB = AC = AD, ∠CBD = 2 ∠BDC, ∠BAC = 44°,则 ∠CAD = 　 88° 　 . 模型 2　定弦对定角模型 【模型特点】如图,固定线段 AB 所对同侧动角 ∠P= ∠C,则 A,B,C,P 四点共圆. 如图 1,当∠P= ∠C<90°时,点 P 在优弧(除 A, B 点外)上运动; 如图 2,当∠P= ∠C>90°时,点 P 在劣弧(除 A, B 点外)上运动; 如图 3,当∠P = ∠C = 90°时,点 P 在整个圆(除 A,B 点外)上运动. A B C O P( )!" 图 1 　 　 图 2 图 3 【依据】圆周角定理的推论———( 1)同弧或等 弧所对的圆周角相等;( 2) 90°的圆周角所对 的弦是直径. 【寻找辅助圆技巧】 AB 为定值,∠P 的度数固 定,则点 P 的运动轨迹是一个圆或一段圆弧(除 线段 AB 的端点) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 九上·第二十四章 117　 4. 如图,在四边形 ABCD 中, ∠ADB = ∠ACB = 90°,若∠DAC= 30°,则∠DBC= 　 30°　 . 5. 在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中,每 个小正方形的顶点称为格点. 如图,在 6×6 的 正方形网格图形 ABCD 中,M,N 分别是 AB,BC 上的格点,BM = 4,BN = 2. 若点 P 是这个网格 图形中的格点, 连接 PM, PN, 则所有满足 ∠MPN= 45°的△PMN 中,边 PM 的长的最大 值是 　 2 10 　 . 6. 如图,在Rt△ABC 中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P 是 平面内一动点,且∠APB=90°,取BC 的中点E,连 接 PE,则线段 PE 的最大值为 　 3+ 13 　 . 模型 3　对角互补模型 【模型特点】如图,若平面上 A,B,C,D 四个点满 足 ∠ABC + ∠ADC = 180°, 则 A, B, C, D 四 点共圆. 【依据】圆内接四边形的性质———圆内接四边 形的对角互补. 【寻找辅助圆技巧】若四边形对角互补,则它的 四个顶点在同一个圆上. 7. 如图,在四边形 ABCD 中, ∠ABC = ∠ADC = 90°,E 为对角线 AC 的中点,连接 BE,ED,BD. 若∠BAD= 58°,则∠EBD= 　 32　 °. 8. 如图,AB=AD=6,∠A=60°,点 C 在∠DAB 内部且 ∠C=120°,则 CB+CD的最大值为　 4 3 　 . 9. 如图,M 为 Rt△ABC 斜边 BC 的中点,D,E 分 别在 AC,AB 上,∠DME= 90°. 求证:BE2 +CD2 = AE2 +AD2 . 证明:如解图,连接 AM,ED 交于点 O, ∵∠BAC=∠DME=90°, ∴四边形 AEMD 是☉O 的内接四边形. 设☉O 交 BC 于点 N,连接 EN,DN. 则∠DNE=∠EAD=∠DME=90°. ∵M 为 BC 的中点, ∴MA=MB=MC, ∴∠B=∠BAM=∠BNE, ∴EB=EN, ∵∠BAC=∠DNE=90°, ∴∠B+∠C=90°,∠DNC+∠BNE=90°, ∴∠C=∠DNC, ∴DC=DN, ∴BE2+CD2 =EN2+DN2 =DE2 =AE2+AD2 . 即 BE2+CD2 =AE2+AD2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 29　 　 ∴ DH= 1 2 CD= 1,∴ CH = CD2 -DH2 = 3 ,∴ 阴影部分的 面积=S扇形ACD-S△ACD = 60π×22 360 - 1 2 ×2× 3 = 2 3 π- 3 . 17. 12l -π d 12 第 2 课时　 圆锥的侧面积和全面积 1. A　 2. C　 3. D　 4. 10 cm 5.解:(1)圆锥的侧面积为120 ×π×62 360 = 12π(cm2 ) . (2)设该圆锥的底面圆的半径为 r cm,根据题意,得 2π r = 120π×6 180 ,解得 r= 2. 即该圆锥的底面圆的半径为 2 cm. 6. B　 7. A　 8. A　 9. B　 10. 6 3 11.解:(1)圆锥的母线长为 202 +(40 2 ) 2 = 60(cm),设这个 锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为 n°, 则 2π × 20 = n×π×60 180 ,解得 n= 120,即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆 心角为 120°. (2)如解图 1,过点 O 作 OH⊥AD 于点 H,由题意,得 OH = OM= 60 cm,∠MON= 120°,在 Rt△OBM 中,∠BOM = 30°, ∴ BM = 30 cm,∴ OB = OM2 -BM2 = 30 3 ( cm),∴ BC = 2OB= 60 3 (cm),∴ 方案一所需的矩形铁皮的面积为 60× 60 3 = 3 600 3 (cm2 );如解图 2,过点 O 作 OP⊥EH 于点 P, 由 题 意, 得 OM = OG = 60 cm, ∠MON = 120°. 在 Rt△FOM中,∠FOM= 60°,∴ ∠FMO = 30°,∴ OF = 1 2 OM = 30(cm),∴ FG=OF+OG = 30+60 = 90( cm),∴ 方案二所需 的矩形铁皮的面积为 90× 60 = 5 400(cm2 ),∵ 3 600 3 ≈ 6 235. 4>5 400,∴ 方案二所用的矩形铁皮面积较少. 解图 1 　 解图 2 12. A 小专题培优 17　 与圆有关的阴影部分的面积计算 1. D　 2. 2　 3. 3- 1 3 π　 4. C　 5. 9 3 2 + 3 2 π　 6. 9π 4 7. 阴影部分的面积为 π. 8. (2π-2 3 ) 9.解:如解图,设正方形 ABCD 的中心为 P,连接 PA,PB,过点 P 作 PO⊥AB 于点 O,则 S半圆O = π×12 2 = π 2 ,S△ABP = 1 2 AB· OP= 1 2 ×2×1=1.由题意,得图中阴影部分的面积= 4(S半圆O - S△ABP)= 4( π 2 -1)= 2π-4. 小专题培优 18　 辅助圆问题的三大常见模型 1. C　 2. 2 10 -2　 3. 88°　 4. 30°　 5. 2 10 　 6. 3+ 13 7. 32　 8. 4 3 9.证明:如解图,连接 AM,ED 交于 点 O, ∵ ∠BAC = ∠DME = 90°, ∴ 四边形 AEMD 是☉O 的内接四 边形. 设☉O 交 BC 于点 N,连接 EN,DN. 则∠DNE = ∠EAD = ∠DME = 90°. ∵ M 为 BC 的中 点,∴ MA = MB = MC,∴ ∠B = ∠BAM = ∠BNE,∴ EB = EN, ∵ ∠BAC= ∠DNE = 90°,∴ ∠B+∠C = 90°,∠DNC+∠BNE = 90°,∴ ∠C = ∠DNC,∴ DC = DN,∴ BE2 +CD2 = EN2 +DN2 = DE2 =AE2 +AD2 . 即 BE2 +CD2 =AE2 +AD2 . 第二十四章　 整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 ①平分　 ②平分　 ③直径 　 ④垂直 　 ⑤平分 　 ⑥同圆或等 圆　 ⑦弦　 ⑧同圆或等圆　 ⑨相等　 ⑩弦　 􀃊􀁉􀁓同圆或等圆 􀃊􀁉􀁔圆心角　 􀃊􀁉􀁕相等　 􀃊􀁉􀁖一半 　 􀃊􀁉􀁗相等 　 􀃊􀁉􀁘直角 　 􀃊􀁉􀁙直径 　 􀃊􀁉􀁚外端　 􀃊􀁉􀁛垂直　 􀃊􀁊􀁒半径　 􀃊􀁊􀁓一个　 􀃊􀁊􀁔垂直　 􀃊􀁊􀁕切点 􀃊􀁊􀁖半径　 􀃊􀁊􀁗一个 二阶　 对接中考抢分练 1. D　 2. B　 3. A　 4. D　 5. B　 6. C　 7. C　 8. C　 9. B　 10. C 11. (4,3- 5 ) 12. (1)证明:如解图,连接 OD. ∵ △ABC 是 等边三角形,∴ ∠DAO=∠C= 60°. ∵ OD = OA,∴ △DOA 是等边三角形,∴ ∠ODA = ∠C = 60°, ∴ OD∥BC. 又 ∵ DF ⊥ BC, ∴ OD⊥ DF. 又 ∵ OD 是 ☉O 的半径, ∴ DF 是☉O 的切线. (2)解:由(1)可知 AD = r,则 CD = a-r,BE = a-2r. ∵ DF⊥ BC,∴ ∠DFC= 90°. 在 Rt△CFD 中,∠C = 60°,∴ ∠CDF = 30°,∴ CF= 1 2 CD= 1 2 (a-r) . ∴ BF = a- 1 2 (a-r),∵ EF 是 ☉O 的切线,∴ EF⊥AB,∴ △FEB 是直角三角形,且∠B = 60°,∠EFB= 30°,∴ BF = 2BE,∴ a- 1 2 (a-r) = 2(a- 2r), 解得 r= 1 3 a,∴ ☉O 的半径 r 与等边三角形 ABC 的边长 a 之间的数量关系为 r= 1 3 a. 13. 10　 14. △ABD,△ACD,△BCD　 15. C　 16. 12 3 　 17. B 18. A　 19. 20π　 20. π -2 4 　 21. (π- 1 2 )　 22. C 第二十五章　概率初步 25. 1　 随机事件与概率 25. 1. 1　 随机事件 1. D　 2. B　 3. A　 4. A　 5. 随机事件　 6. D 7.解:(2)<(1)<(4)<(3) . 　 8. D　 9. B　 10. 2 11. (1)4　 2 或 3 (2)解:依题意,得 4 = 8-n,解得 n= 4,∴ n 的值为 4. 12. (1)B　 (2)略. 25. 1. 2　 概率 1. B　 2. A　 3. C　 4. D　 5. A　 6. D　 7. 2 55 　 8. 3 8 　 9. C　 10. C　 11. A　 12. A　 13. A　 14. C　 【变式】π -2 4 　 15. 2 3 16. (1)选乙袋摸出红球的概率大. 理由略. (2)说法不正确. 17. 3 5 25. 2　 用列举法求概率 第 1 课时　 用列表法求概率 1. C　 2. B　 3. 1 2 　 4. A　 5. C　 6. 1 3 7. 小辰和小安选择同一种型号的免洗洗手液的概率为 1 3 . 8. C　 9. A　 10. 1 4 11. (1)共有 9 种等可能的结果,具体的结果略. (2)至少有一辆车向左转的概率为 5 9 . 12. (1)落回到圈 A 的概率 P1 = 1 6 . (2)P2 = 1 4 . ∵ P1 = 1 6 ,∴ 可能性不一样. 13. D　 14. 1 2 第 2 课时　 用画树状图法求概率 1. B　 2. 1 3 3. (1) 1 4 (2)李叔叔恰好两次进入同一闸口的概率为 1 4 . 4. A　 5. A 6. (1)共有(红,红),(红,黄),(红,绿),(黄,红),(黄,黄), (黄,绿),(绿,红),(绿,黄),(绿,绿) 9 种等可能的结果. (2)游戏不公平. 7. D　 8. C　 9. B　 10. 1 6 11. (1) 1 2 (2)小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率为 1 6 . 12. P(落入③号槽)= 3 8 . 小专题培优 19　 概率的放回与不放回问题 1. C　 2. C　 3. A 4. (1)共有 9 种等可能的结果,具体的结果略. (2)P(两次抽到卡片上的数字之积为奇数)= 4 9 . 5. A　 6. A　 7. C　 8. D 9. (1) 1 4 (2)抽取的书签恰好 1 张为“春”,1 张为“秋”的概率为 1 6 . 25. 3　 用频率估计概率 1. D　 2. B　 3. A　 4. B　 5. C　 6. 1 5 　 A 7. (1)136　 0. 70　 (2)0. 70 (3)10 000 粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6 300 棵. 8. (1)0. 25　 (2)盒子里有 1 个白球. 9. (1)0. 4 (2)①估算袋中两种颜色的球共有 7 个. ②摸出黑球的概率约是a +3 a+7 . 10. 1 3 第二十五章　 整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 1. (1)红　 黑　 白　 (2) 1 4 　 (3)①4　 ②3　 ③不放回 (4)x 的值为 4. (5)P(摸出的两个球颜色相同)= 3 8 . (6)P(摸出的两个球颜色相同)= 1 6 . (7)这个游戏规则公平. 理由略. 二阶　 广西中考抢先练 1. B　 2. A　 3. D　 4. 2 5 　 5. 3 5 　 6. 1 3 　 7. 1 3 8. (1) 1 3 (2)这两个班抽到不同卡片的概率为 2 3 . 9. (1)全等　 三边分别相等的两个三角形全等(或“边边边” 或“SSS”) (2)△ABD≌△ACD 的概率为 2 3 . 10. (1)子一代圣女果是红色果皮的概率为 1 2 . (2)估计圣女果是红色果皮的有 2 500 株. 11. C　 12. 95% 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案