第23章 旋转 整合复习与对接中考-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

27　 　 第二十三章　 整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 ①不变　 ②不变　 ③全等　 ④相等　 ⑤直线　 ⑥直线 ⑦点　 ⑧平行　 ⑨相等　 ⑩垂直平分　 􀃊􀁉􀁓相等　 􀃊􀁉􀁔旋转角 1. D　 2. 10°　 3. 8　 4. 11　 5. 30°　 6. 60° 二阶　 广西中考抢先练 1. A　 2. A　 3. B　 4. D　 5. 14 6. (1)△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°得到△DEC (2)解:如解图,延长 BE 交 AD 于点 F. ∵ △ABC≌△DEC, ∴ BC=CE,AC=CD. 在 Rt△BCE 中,∠BEC= ∠EBC= 45°, 在 Rt△ACD 中,∠CAD= ∠ADC= 45°, ∴ ∠EBC+∠ADC= 90°,∴ ∠BFD= 90°,∴ AD⊥BE. 7. A　 8. B　 9. A　 10. (4,3) 11. (1)画图略,点 A1 的坐标为(4,-5) . (2)画图略,点 A2 的坐标为(-2,1) . 12.解:(1)BD=CF,BD⊥CF (2)BD=CF,BD⊥CF 还成立, 证明:∵ 四边形 ADEF 是正方形, ∴ AD=AF,∠DAF= 90°, ∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠FAC+ ∠FAB = ∠DAB+ ∠FAB = 90°, ∴ ∠DAB= ∠FAC,∵ AB = AC,∴ △ADB≌ △AFC( SAS) . ∴ BD=CF. 如解图,延长 DB 交 AF 于点 O,交 FC 于点 G, 则∠FOG= ∠AOD. ∵ △ADB≌△AFC,∴ ∠ADB = ∠AFC, ∴ ∠FGO= ∠FAD= 90°,∴ BD⊥CF. (3)FH 的长为 5 5 . 13. (1)证明:如解图 1,过点 C 作 CE⊥AM 于点 E,CF⊥AN 于 点 F,∵ AC 平分∠MAN,∴ CE = CF. ∵ ∠MAN+ ∠DCB = 180°,四边形 ABCD 的内角和等于 360°,∴ ∠ADC+∠ABC = 180°. 又 ∵ ∠ABC + ∠CBF = 180°, ∴ ∠ADC = ∠CBF. 又 ∵ ∠CED= ∠CFB= 90°,∴ △CED≌△CFB(AAS),∴ CD = CB,∴ 无论点 C 怎样移动,总有 CD=CB. 解图 1 　 　 　 解图 2 (2)①证明:如解图 2,过点 C 作 CE⊥AM 于点 E,CF⊥AN 于点 F,∵ AC 平分∠MAN,∴ CE =CF. ∵ ∠MAN+∠DCB = 180°,∠MAN+∠ECF = 180°,∴ ∠ECF = ∠DCB,∴ ∠ECD = ∠FCB.又∵ ∠CED=∠CFB= 90°,∴ △CED≌△CFB(ASA), ∴ CD=CB. 又∵ ∠BCD= 60°,∴ △BCD 是等边三角形. ②解:AB-AD=AC. 证明:∵ ∠MAN= 120°,AC 平分∠MAN, ∴ ∠EAC = ∠FAC = 60°, ∴ AC = 2AF = 2AE. ∵ △CED≌ △CFB,∴ ED=FB,∴ AB-AD = AF+FB-AD = AF+ED-AD = AF+AE+AD-AD= 2AF=AC. 第二十四章　圆 24. 1　 圆的有关性质 24. 1. 1　 圆 1. C　 2. A　 3. 略. 　 4. B　 5. B　 6. D　 7. B　 8. 10　 9. 略. 　 10. 略. 　 【变式】OE=OF. 证明略. 　 11. A　 12. a= b= c 13. ∠A= 26°. 　 14. 54° 24. 1. 2　 垂直于弦的直径 1. D　 2. C　 3. B　 4. B　 5. 5 6. (1)OD= 4. 　 (2)AB= 6. 　 【变式】☉O 的半径为 5 2 . 7. D　 8. 26　 9. C　 10. A　 11. C　 12. A　 13. 3 14. ☉O 的半径为 7. 15.解:任务 1:如解图 1,设圆心为点 O,延长 CD,则 CD 经过 点 O,连接 AO. ∵ 桥拱的半径为 10 m,∴ OD= (10-CD)m. ∵ OC⊥AB,∴ AD = 1 2 AB = 8(m). ∵ OD2 +AD2 =OA2,∴ (10- CD) 2 +82 = 102 ,∴ CD= 4 m(负值已舍去) . 任务 2:根据图 3 状态,货船不能通过圆形拱桥,至少要增 加 10 t 的货物才能通过. 理由如下:当 EH 是☉O 的弦时, 设 EH 与 OC 的交点为 M,连接 OE,OH,如解图 2,∵ 四边 形 EFGH 为矩形, ∴ EH∥FG. ∵ OC⊥ AB, ∴ OM⊥EH. ∴ EM= 1 2 EH = 6( m),∴ OM = OE2 -EM2 = 102 -62 = 8(m),∵ OD=OC-CD= 10-4 = 6(m),∴ DM = 8-6 = 2(m), ∵ 2<3,∴ 根据图 3 状态,货船不能通过圆形桥拱,∴ 船在 水面部分可以下降的高度 y = 3 - 2 = 1 ( m) . ∵ y = x 2 100 , ∴ x2 = 100×1 = 100,∴ x = 10(负值已舍),∴ 至少要增加 10 t 货物才能通过. 解图 1 　 　 解图 2 24. 1. 3　 弧、弦、圆心角 1. ∠AOB　 ∠BOD　 2. 80　 3. 60°　 4. D　 5. C 6. ∠COB= ∠COA,理由略. 　 7. ∠COE= 80°. 8. 略. 　 9. 略. 　 10. A　 11. B 12.证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = CD,∴ AB ( = CD ( . ∵ M 为 AD ( 的中点,∴ AM ( = DM ( ,∴ AB ( +AM ( = CD ( +DM ( ,即 BM ( =CM ( ,∴ BM=CM. 13.解:此图形可以看成正二十边形,∴ 相邻两齿与圆心连线 的夹角 α = 360° 20 = 18°. 如果让这样的齿轮旋转 1 周,那么 在旋转过程中有 20 次和原图形重合. 14.证明:如解图,连接 OA,OB, ∵ OA=OB,∴ ∠A= ∠B. ∵ AC ( =DB ( ,∴ ∠AOE= ∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中, ∠A= ∠B, OA=OB, ∠AOE= ∠BOF, { ∴ △AOE≌△BOF(ASA),∴ OE=OF. 15. C 24. 1. 4　 圆周角 第 1 课时　 圆周角定理及其推论 1. A　 2. C　 3. A　 4. A　 5. C　 6. C　 7. 140°　 70°　 8. 150° 9. D　 10. B　 11. 37°　 12. 略. 　 13. D　 14. B 15. 60°　 【变式 1】6　 【变式 2】4　 16. 50°或 130° 17.解:方法一: 如解图 1, 连接 OA, OB, ∵ ∠ACB = 30°, ∴ ∠AOB= 2∠ACB= 60°. ∵ OA=OB,∴ △AOB 为等边三角 形,∴ OA=OB=AB= 1. 8 cm,∴ ☉O 的半径为 1. 8 cm. 解图 1 　 　 解图 2 方法二:如解图 2,连接 AO 并延长,交☉O 于点 D,连接 BD. ∵ AD 是☉O 的直径,∴ ∠ABD = 90°. ∵ ∠D = ∠C = 30°,∴ AD = 2AB = 3. 6 ( cm) . ∴ OA = 1 2 AD = 1. 8 ( cm), ∴ ☉O 的半径为 1. 8 cm. 18. B 第 2 课时　 圆内接四边形 1. B　 2. D　 3. B　 【变式 1】B　 【变式 2】D　 4. 60°　 5. 130° 6.证明:∵ 四边形 ABCD 内接于☉O,∴ ∠DAB = ∠DCE. ∵ DA = DB, ∴ ∠DAB = ∠DBA, ∴ ∠DBA = ∠DCE. ∵ ∠DBA = ∠DCA,∴ ∠DCA= ∠DCE,即 CD 平分∠ACE. 7. B　 8. C 9.解:连接 EF,如解图, ∵ 四边形 ABCD 为圆内接四边形, ∴ ∠ECD= ∠A. ∵ ∠ECD= ∠1+∠2,∴ ∠A= ∠1+∠2. ∵ ∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD= 180°, ∴ 2∠A+40°+60° = 180°,∴ ∠A= 40°. 小专题培优 15　 与圆的性质有关的证明与计算 1. D　 2. C　 3. B　 4. C　 5. C　 6. 4 5 7.解:△FAG 是等腰三角形,理由如下:∵ BC 是☉O 的直径, ∴ ∠BAC= 90°,∴ ∠ABE+∠AGB = 90°,∵ AD⊥BC,∴ ∠C+ ∠DAC= 90°,∵ AE ( = AB ( ,∴ ∠ABE = ∠C,∴ ∠FAG = ∠AGF, ∴ △FAG 是等腰三角形. 8. (1)证明:∵ ∠P= ∠C,∠1 = ∠C,∴ ∠1 = ∠P,∴ CB∥PD. (2)解:连接 OC,如解图, ∵ ∠BCD= 30°,∴ ∠P= 30°. ∵ CD⊥AB,∴ BC ( =BD ( , ∵ OB=OC,∴ ∠BOC= 2∠P= 60°, ∴ △BOC 为等边三角形, ∴ OB=BC= 3,∴ AB= 2OB= 6, ∴ ☉O 的直径为 6. 9.解:(1)如解图 1,设 CD 交☉O 于点 M,连接 ME,∵ AB 是 ☉O 的直径,弦 DE⊥AB,∴ DE ( = 2BD ( ,∴ ∠DME = 2∠BAD. ∵ ∠CDE= ∠BAD,∴ ∠DME = 2∠CDE. ∵ DM 是☉O 的直 径,∴ ∠DEM = 90°, ∴ ∠DME + ∠CDE = 90°, ∴ ∠CDE = 30°,∴ ∠BAD = ∠CDE = 30°. ∵ OA =OD,∴ ∠BAD = ∠ODA = 30°,∴ ∠ADE= ∠ODA+∠CDE= 60°. ∵ CA⊥AB,∴ ∠CAB = 90°,∴ ∠CAD= ∠CAB+∠BAD= 120°. 解图 1 　 　 　 解图 2 (2)如解图 2,过点 A 作 AN⊥CD 于点 N,∵ ∠CAD+∠C+ ∠ADC= 180°, ∠CAD = 120°, ∠ADC = 30°, ∴ ∠C = 30° = ∠ADC,∴ AC = AD. ∵ AN⊥CD, ∴ CD = 2DN. 在 Rt △ADN 中,AD = 2 3 , ∠ADN = 30°, ∴ AN = 1 2 AD = 3 , ∴ DN = AD2 -AN2 = 3,∴ CD= 2DN= 6. 24. 2　 点和圆、直线和圆的位置关系 24. 2. 1　 点和圆的位置关系 1. A　 2. A　 3. 0<r<5　 4. 内　 外　 上　 5. B　 6. C　 7. B 8. D　 9. D　 10. 2 　 11. △ABC 的外接圆的半径为 13 cm. 12. AC≤AB　 13. ③④①②　 14. C　 15. D　 16. A 17. (1)(-2,0)　 (2)2 5 　 (3)内　 (4)2 5 -2　 18. C 24. 2. 2　 直线和圆的位置关系 第 1 课时　 直线和圆的位置关系 1. A　 2. A　 3. A 4.解:如解图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,∵ ∠ACB = 90°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,∴ AB= 10 cm,∴ CD=BC·AC AB = 4. 8(cm), (1)直线 AB 与☉C 相离,则 r 的取值范围是 0<r<4. 8 cm. (2)直线 AB 与☉C 相切,则 r 的值是 r=CD= 4. 8 cm. (3)直线 AB 与☉C 相交,则 r 的取值范围是 r>4. 8 cm. 5.解:由题意,得 BO⊥AC,BO = 1 2 BD = 1 2 × BC2 +CD2 = 2 , 即点 B 到直线 AC 的距离为 2 ,与☉B 的半径相等,∴ 直线 AC 与☉B 相切. ∵ EF∥AB, ∠ABC = 90°, ∴ BE⊥EF,且 BE= 1 2 BC= 1 2 ×2 = 1< 2 ,∴ 直线 EF 与☉B 相交. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案 80　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 第二十三章　 整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 图形变换的 三大类型 平移 (七年级下册) 轴对称 (八年级上册) 旋转 (本章) 相同点 变换前后:(1)形状①　 不变　 、大小②　 不变　 ; (2)两个图形③　 全等　 ,对应线段、对应角④　 相等　 不同 点 变换 方式 沿一条⑤　 直线 　 移动一 段距离 沿一条⑥　 直线　 翻折 绕一个⑦　 点　 旋转一定角度 性质 连接各组对应点的线段 ⑧　 平行　 ( 或在同一条 直线上)且⑨　 相等　 任何一对对应点所连线 段都被对称轴⑩　 垂直 平分　 对应点与旋转中心的距离􀃊􀁉􀁓　 相等　 , 且对应点与旋转中心所连线段的夹角 等于􀃊􀁉􀁔　 旋转角　 1. 趣味数学 在俄罗斯方块游戏中,所有出现的 方格体自由下落,如果一行中九个方格齐全, 那么这一行会自动消失. 已拼好的图案如图所 示,现又出现一小方格体,必须进行以下哪项 操作,才能拼成一个完整图案,使图上所有方 格自动消失 ( D ) A. 顺时针旋转 90°,向下平移 B. 顺时针旋转 90°,向右平移 C. 逆时针旋转 90°,向下平移 D. 逆时针旋转 90°,向右平移 2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,∠B = 50°, AD⊥BC,垂足为 D,△ADB 与△ADB′关于直线 AD 对称,点 B 的对称点是点 B′,则∠CAB′的度 数为　 10°　 . 3. 如图,点 P 关于 OA,OB 的对称点分别为 C,D, 连接 CD,交 OA 于点 M,交 OB 于点 N,若△PMN 的周长为 8 厘米,则 CD的长为　 8　 厘米. 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,AB= 4 cm,BC= 5 cm,AC= 2 cm,将△ABC 沿 BC 方向平移 a cm (0<a<5),得到△DEF,连 接 AD,则阴影部分的周长为　 11　 cm. 5. 如图,将△BDE 沿直线 BA 向左平移后,到达 △ABC 的位置,若∠EBD= 55°,∠ADE = 95°,则 ∠CBE= 　 30°　 . 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,若 Q 为等边三角形 ABC 内一点,△ABQ 绕点 B 旋转,使 AB 与 BC 边重合,则∠QBP = 　 60°　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 九上·第二十三章 81　 二阶　 广西中考抢先练 考点 1　中心对称图形的判断 1. (2023 广西)下列数学经典图形中,是中心对 称图形的是 ( A ) 2. (2024 贵港二模)下列图形中,既是轴对称图 形又是中心对称图形的是 ( A ) 考点 2　旋转的性质 3. (2023 贵港平南县模拟)如图,木棒 AB,CD 与 EF 分别在 G, H 处用可旋转的螺丝铆住, ∠EGB= 100°,∠EHD = 80°,将木棒 AB 绕点 G 逆时针旋转到与木棒 CD 平行的位置,则至少 要旋转 ( B ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 4. (2023 梧州二模)如图,将正方形 ABCD 绕着点 D 顺时针旋转 60°得到正方形 EFGD,连接 AF, BG 交于点 H. 下列结论错误的是 ( D ) A. ∠EDC= 30° B. AF=BG C. ∠AHB= 60° D. HC=FC 5. (2024 玉林期中)如图,在等边三角形 ABC 中, 点 D 是边 AC 上的一点,将△BCD 绕点 B 逆时 针旋转 60°得到△BAE,若 BC = 8,BD = 6,则 △AED 的周长为　 14　 . 6. (2023 北海二模) (1)我们知道,平移、轴对称 和旋转都属于全等变换,如图是 5×5 的正方形 网格, A,B,C,D,E 均是格点, ∠ACB = 90°, △ABC≌△DEC,请你判断△ABC 是通过怎样 的变换得到△DEC 的? 填空:　 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°得到△DEC　 ; (2)在(1)的条件下,连接 AD,BE,探究 AD 与 BE 的位置关系. 解:如解图,延长 BE 交 AD 于点 F. ∵△ABC≌△DEC, ∴BC=CE,AC=CD. 在 Rt△BCE 中,∠BEC=∠EBC=45°, 在 Rt△ACD 中,∠CAD=∠ADC=45°, ∴∠EBC+∠ADC=90°, ∴∠BFD=90°, ∴AD⊥BE. 考点 3　关于原点对称的点的坐标 7. (2024 贵港港南区期末) 已知点 A( a, - 1), B(2,b)关于原点对称,则 a+b 的值为 ( A ) A. -1　 　 B. 1　 　 C. -3　 　 D. 3 8. (2023 贵港二模)已知点 P(m2 +1,-1)与点 Q 关于原点对称,则点 Q 一定在 ( B ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 82　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 考点 4　坐标系中的旋转及旋转作图 9. (2023 南宁模拟)如图,在平面直角坐标系中, 点 A( -2,3)绕点 O 逆时针旋转 90°后得到点 A1,A1 绕点 O 逆时针旋转 90°后得到点 A2,以 此类推,点 A2 023 的坐标是 ( A ) A. (3,2) B. ( -3,-2) C. ( -2,3) D. (2,-3) 10. (2023 南宁青秀区模拟)点 P(3,-4)绕平面 直角坐标系的原点 O 逆时针旋转 90°得到对 应点 P′的坐标为　 (4,3) 　 . 11. (2023 柳州模拟)如图,△ABC 的顶点坐标分 别为 A( -4,5),B( -5,2),C( -3,4) . (1) 画出 △ABC 关于原点 O 对称的图形 △A1B1C1,并直接写出 A1 点的坐标; (2) 将△ABC 绕 B 点顺时针旋转 90°得到 △A2BC2,画出△A2BC2 并直接写出 A2 点的 坐标. 解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求,点 A1 的坐 标为(4,-5) . (2)如图,△A2BC2 即为所求,点 A2 的坐标为 (-2,1) . 考点 5　与旋转相关的几何探究题 图 1 12. (2023 贵港二模)如图 1,在正 方形 ADEF 中,点 B,C 分别在 边 AD,AF 上,且 AB=AC. (1)FC 和 BD 的关系是 　 BD=CF,BD⊥CF　 . (2) 如图 2, 当 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 α(0°<α<180°)时,那么(1)中的结论还成立 吗? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)如图 3,△ABC 绕点 A 逆时针旋转 45°时, 延长 DB 交 CF 于点 H,交 AF 于点 N,当 AB = 2,AD= 3 + 2时,请直接写出线段 FH 的长. 图 2 　 图 3 解:(2)BD=CF,BD⊥CF 还成立, 证明:∵四边形 ADEF 是正方形, ∴AD=AF,∠DAF=90°, ∵∠BAC=90°, ∴∠FAC+∠FAB=∠DAB+∠FAB=90°, ∴∠DAB=∠FAC, ∵AB=AC, ∴△ADB≌△AFC(SAS) . ∴BD=CF. 如解图,延长DB 交 AF 于点O,交 FC 于点G, 则∠FOG=∠AOD. ∵△ADB≌△AFC, ∴∠ADB=∠AFC, ∴∠FGO=∠FAD=90°, ∴BD⊥CF. (3)FH 的长为 5 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 九上·第二十三章 83　 13. (2023 北 海 三 模) ( 1 ) 如图 1, ∠MAN = 120°, AP 平分 ∠MAN, 点 C 是射线 AP 上一点, ∠BCD= 60°,且与 AM,AN 分别交于点 D,B,求证:无论点 C 怎样移动,总有 CD=CB; (2)如图 2,其他条件不变,将图 1 的∠BCD 绕点 C 逆时针旋转,使得点 D 落在 AM 的反向延长线 上时. ①求证:△BCD 是等边三角形; ②你能得出线段 AB,AC,AD之间的数量关系吗? 请写出数量关系并就图 2 的情形证明你的结论. (1)证明:如解图 1,过点 C 作 CE⊥AM 于点 E,CF⊥AN 于点 F, ∵AC 平分∠MAN, ∴CE=CF. ∵∠MAN+∠DCB=180°,四边形 ABCD 的内角和等于 360°, ∴∠ADC+∠ABC=180°. 又∵∠ABC+∠CBF=180°,∴∠ADC=∠CBF. 又∵∠CED=∠CFB=90°, ∴△CED≌△CFB(AAS),∴CD=CB, ∴无论点 C 怎样移动,总有 CD=CB. (2)①证明:如解图 2,过点 C 作 CE⊥AM 于点 E,CF⊥AN 于点 F, ∵AC 平分∠MAN, ∴CE=CF. ∵∠MAN+∠DCB=180°,∠MAN+∠ECF=180°, ∴∠ECF=∠DCB,∴∠ECD=∠FCB. 又∵∠CED=∠CFB=90°,∴△CED≌△CFB(ASA),∴CD=CB. 又∵∠BCD=60°,∴△BCD 是等边三角形. ②解:AB-AD=AC. 证明:∵∠MAN=120°,AC 平分∠MAN, ∴∠EAC=∠FAC=60°,∴AC=2AF=2AE. ∵△CED≌△CFB,∴ED=FB, ∴AB-AD=AF+FB-AD=AF+ED-AD=AF+AE+AD-AD=2AF=AC.