第21章 小专题培优1-2 配方法的应用 方程的拓展解法——阅读材料型-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

14　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 1 配方法的应用 重 点 强 化 类型 1　利用配方法解一元二次方程 1. 用配方法解方程:x2 -2x-5 = 0. 解:x2-2x=5, x2-2x+1=6, (x-1) 2 =6, x-1=± 6 , 所以 x1 =1+ 6 ,x2 =1- 6 . 类型 2　利用配方法求完全平方式中参数的值 2. 若 x2 - 10x + m 是 一 个 完 全 平 方 式, 则 m= 　 25　 . 【变式】 若 x2 + mx + 100 是一个完全平方式, 则 m= 　 ±20　 . 类型 3　利用配方法判断代数式的符号 3. 若 x 为任意有理数,则多项式 4x-4-x2 的值 ( C ) A. 一定为正数 B. 一定为负数 C. 不可能为正数 D. 可能为任意有理数 4. 不论 x,y 取何有理数,x2 +y2 -10x+8y+41 的值 均为 ( D ) A. 正数　 　 B. 零　 　 C. 负数　 　 D. 非负数 类型 4　利用配方法比较两个代数式的大小 5. 设 M= 2a2 -5a+1,N = a2 -6,其中 a 为实数,则 M 与 N 的大小关系是 ( A ) A. M>N B. M<N C. M≠N D. 不能确定 6. 我们知道:(a-b) 2 = a2 -2ab+b2,所以 a2 -2ab+ b2 = (a-b) 2≥0. 解答下列问题: (1)填空: 设 A = a2 + 5, B = 4a, 则 A - B = a2 + 5 - 4a = (a-　 2　 ) 2 +　 1　 . 所以,A　 >　 B. (填“ >”“ <”或“ = ”) (2)已知 M= 2 9 a-1,N=a2 - 7 9 a,请判断 M,N 的 大小关系,并说明理由. 解:M<N. 理由如下: ∵M= 2 9 a-1,N=a2- 7 9 a, ∴N-M=a2- 7 9 a-( 2 9 a-1)= a2-a+1 = a2-a+ 1 4 - 1 4 +1=(a- 1 2 ) 2+ 3 4 . ∵ (a- 1 2 ) 2≥0, ∴ (a- 1 2 ) 2+ 3 4 >0,即 N-M>0, 类型 5　利用配方法求多项式的最值 7. (1)若 x2 + 2x- 4 = ( x-a) 2 +b,则 a = 　 -1 　 , b= 　 -5　 . (2)当 x = 　 -1　 时,代数式 x2 -2x-4 有最小 值,最小值是　 -5　 . (3)求代数式-x2 -4x-8 的最大值. 解:-x2-4x-8=-(x2+4x+4-4+8) =-(x+2) 2-4. ∵ (x+2) 2≥0, ∴当 x=-2 时,-x2-4x-8 有最大值,最大值为 -4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 九上·第二十一章 15　 2 方程的拓展解法—阅读材料型 重 点 强 化 类型 1　换元法 1.阅读材料:为解方程(x2 -1) 2 -5(x2 -1) +4 = 0, 我们可以将 x2 - 1 看作一个整体,然后设 x2 - 1 = y…①, 那么原方程可化为 y2 -5y+4 = 0, 解得 y1 = 1,y2 = 4, 当 y= 1 时,x2 -1 = 1,∴ x2 = 2,∴ x= ± 2 ; 当 y= 4 时,x2 -1 = 4,∴ x2 = 5,∴ x= ± 5 , 故原方程的解为 x1 = 2 ,x2 = - 2 ,x3 = 5 , x4 = - 5 . 上述解题过程中,将原方程中某个多项式视为 整体,并用另一个未知数替换这个整体,从而 把高次方程化为低次方程,实现降次的目的, 这种解方程的方法称为“换元法” . 解答问题:请用换元法解下列方程: (1) 1 x2 - 5 x +6 = 0;　 　 　 (2)x4 -2x2 -3 = 0. 解:(1)设 1 x =a, 则 a2-5a+6=0, 解得 a1 =2,a2 =3, ∴ 1 x =2 或 1 x =3, 解得 x1 = 1 2 ,x2 = 1 3 , 经检验,x1 = 1 2 ,x2 = 1 3 是原分式方程的解. (2)设 x2 =y,则原方程化为 y2-2y-3=0, 解得 y1 =-1,y2 =3. 当 y=-1 时,x2 =-1,此时方程无实数根; 当 y=3 时,x2 =3,解得 x1 = 3 ,x2 =- 3 . ∴原方程的解是 x1 = 3 ,x2 =- 3 . 类型 2　十字相乘法 2. 用乘法公式(x+a)(x+b)= x2 +(a+b)x+ab 的逆 运算来进行因式分解,我们把这种方法叫做十 字相乘法,即 x2 +(a+b)x+ab= (x+a)(x+b) . 例如:分解因式 x2 +5x+6 时,a+b= 5,ab= 6,即: 这样我们就可以把 x2+5x+6 分解为(x+2)(x+3). 试用十字相乘法解下列一元二次方程: (1)x2 +3x+2 = 0;　 　 (2)x2 -5x+6 = 0; (3)x2 -5x-6 = 0; (4)2x2 -14x-36 = 0. 解:(1)x2+3x+2=0, (x+1)(x+2)= 0, 所以 x1 =-1,x2 =-2. (2)x2-5x+6=0, (x-2)(x-3)= 0, 所以 x1 =2,x2 =3. (3)x2-5x-6=0, (x-6)(x+1)= 0, 所以 x1 =6,x2 =-1. (4)原方程可化为 x2-7x-18=0, (x+2)(x-9)= 0, 所以 x1 =-2,x2 =9. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21　 　 　 　 参考答案·广西数学 分层作业本 九年级上册 第二十一章　一元二次方程 21. 1　 一元二次方程 1. C　 2. B 【变式】解:(1)4x2 -81 = 0. 　 4,0,-81. (2)3x2 -7x+1 = 0. 　 3,-7,1. 3. B　 4. A　 5. 2 031. 6.解:(1)∵ 矩形的长为 x,长比宽多 2,∴ 矩形的宽为(x-2) . 依题意,得 x(x-2)= 100,即 x2 -2x-100 = 0. (2)∵ 较长的直角边长为 x,两条直角边长相差 2,∴ 较短的 直角边长为(x-2) . 依题意,得 x2 +(x-2) 2 = 102 ,即 x2 -2x- 48 = 0. 7. B　 8. B 21. 2　 解一元二次方程 21. 2. 1　 配方法 第 1 课时　 直接开平方法 1. D　 2. 4(答案不唯一,只要 a≥3 即可) 3. (1)y1 = 5 2 ,y2 = -5 2 . 　 (2)方程无实数解. (3)x1 = 10,x2 = -10. 4. C　 5. x+6 = -4 6. (1)x1 = - 8 3 ,x2 = 4 3 . 　 (2)x1 = 1. 1,x2 = -0. 5. 7. ± 1 2 8. (1)x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 . 　 (2)x1 = -7,x2 = - 5 7 . 9.解:∵ 方程 x2 +(m-1)x+m-10 = 0 的一个根是 3,∴ 9+3(m- 1)+m-10 = 0,即 4m-4 = 0,解得 m = 1,∴ 方程为 x2 -9 = 0, 解得 x= ±3,∴ 另一个根为-3. 10.解:∵ (x-3) 2 = 1,∴ x-3 = ±1,解得 x1 = 4,x2 = 2. ∵ 一元二 次方程(x-3) 2 = 1 的两个根恰好分别是等腰三角形 ABC 的底边长和腰长,∴ 当底边长和腰长分别为 4 和 2 时,4 = 2+2,此时不能构成三角形;当底边长和腰长分别是 2 和 4 时,能构成三角形,∴ △ABC 的周长为 2+4+4 = 10. 11.解:∵ a※b=a2 -b2 ,∴ (x+2)※5 = (x+2) 2 -25. ∵ (x+2) ※ 5 = 0,∴ (x+2) 2 -25 = 0,即(x+2) 2 = 25,∴ x+2 = 5 或 x+2 = -5,∴ x1 = 3,x2 = -7. 12.解:(1)5　 3　 2　 -12 (2)原方程可变形为[(x+2)-4][(x+2)+4] = 4,(x+2) 2 - 42 = 4,(x+2) 2 = 4+42 ,解得 x1 = -2+2 5 ,x2 = -2-2 5 . 第 2 课时　 配方法 1. C　 2. (1) 1 4 　 1 2 　 (2) 9 4 　 3 2 　 (3)1　 1　 (4) 1 25 　 1 5 3. 1　 4. B　 5. D 6. (1)x1 = 2+ 10 3 ,x2 = 2- 10 3 . 　 (2)x1 = 1+ 7 6 ,x2 = 1- 7 6 . (3)x1 = 2,x2 = -1. 　 (4)原方程无实数根. 7. B　 8. 1 或-3 9. (1)降次　 完全平方公式　 (2)等式的基本性质　 (3)三 (4)x1 = 7 -2,x2 = - 7 -2. 10.解:(1)3 (2)x2 +10x+32 = x2 + 10x+ 52 - 52 + 32 = ( x+ 5) 2 + 7. ∵ ( x+ 5) 2 ≥0,∴ (x+ 5) 2 + 7≥7,∴ 当(x+ 5) 2 = 0 时,(x+ 5) 2 + 7 的值最小,最小值为 7,∴ x2 +10x+32 的最小值为 7. (3)- 1 3 x2 +2x+5 = - 1 3 (x2 -6x+9)+8 = - 1 3 (x-3) 2 +8. ∵ - 1 3 (x-3) 2 ≤0,∴ - 1 3 (x-3) 2 +8≤8,∴ 代数式- 1 3 x2 + 2x+5 有最大值,最大值为 8. 21. 2. 2　 公式法 第 1 课时　 一元二次方程根的判别式 1. C　 2. D　 3. B　 4. A　 5. 64 6. (1)此方程无实数根. (2)方程有两个相等的实数根. (3)方程有两个不相等的实数根. (4)此方程无实数根. 7. C　 8. C　 9. D　 10. k<-1　 11. 3　 【变式】1　 12. A　 13. C 14.证明:当 m = 0 时,方程为- 2x+ 2 = 0,此时方程有解,解为 x= 1;当 m≠0 时,Δ = ( - 2) 2 - 4m( 2 -m) = 4 - 8m+ 4m2 = 4(m2 -2m+1)= 4(m-1) 2 ≥0,此时方程有实数根. 综上所 述,不论 m 为何值时,方程总有实数根. 15. (1)①③ (2)证明:∵ 一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)为“和谐方 程”,∴ b=a+c,∴ b2 -4ac= (a+c) 2 -4ac= (a-c) 2 ≥0,∴ “和 谐方程”总有实数根. (3)解:∵ 一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0) 为“和谐方 程”,∴ b=a+c. ∵ “和谐方程”ax2 +bx+c= 0(a≠0)有两个相 等的实数根,∴ b2 -4ac=(a+c) 2 -4ac=(a-c) 2 = 0,∴ a=c. 第 2 课时　 公式法 1. A　 2. C　 3. C　 4. 5 -1 2 　 5. 1　 -4　 3 6. (1)x1 = 2+ 6 2 ,x2 = 2- 6 2 . 　 (2)x1 = 7+ 53 2 ,x2 = 7- 53 2 . (3)方程无实数根. 7. C　 8. 1 或 2　 9. 12 10. 1 - 17 2 　 【解析】根据题意,得 x2 +x-(2x-1)= 5,整理,得 x2 -x-4 = 0,∵ a= 1,b= -1,c= -4,∴ Δ = (-1) 2 -4×1×( -4) = 17>0,则 x= -b± b2 -4ac 2a = 1± 17 2 ,∴ x1 = 1+ 17 2 ,x2 = 1- 17 2 ,∵ 点 A 在数轴的负半轴,∴ 2x - 1 < 0,即 x< 1 2 , ∴ x= 1 - 17 2 . 11.解:根据题意,得 x2 -13x+12+4x2 -18 = 0,整理,得 5x2 -13x -6 = 0. ∵ b2 - 4ac = ( - 13) 2 - 4 × 5 × ( - 6) = 289 > 0,∴ x = 13± 289 2×5 = 13±17 10 ,解得 x1 = 3,x2 = - 2 5 . 12.解:(1)当 m= 0 时,方程为 x2 +x-1 = 0. ∵ Δ = 12 -4×1×( - 1)= 5>0,∴ x= -1± 5 2×1 ,∴ x1 = -1+ 5 2 ,x2 = -1- 5 2 . (2)∵ 方程有两个不相等的实数根,∴ Δ> 0,即 12 - 4× 1× (m-1)= 1-4m+4 = 5-4m>0,∴ m< 5 4 . 13.解:(1)∵ ∠ACB= 90°,BC= a 2 ,AC= b,∴ AB= b2 + a2 4 , ∴ AD= b2 + a2 4 - a 2 = 4b 2 +a2 -a 2 . (2)用求根公式解得 x1 = - 4b2 +a2 -a 2 ,x2 = 4b2 +a2 -a 2 . 正确性:AD 的长就是方程的正根. 遗憾之处:图解法不能表示方程的负根. 21. 2. 3　 因式分解法 1. A　 2. D　 【变式】x1 = 0,x2 = 2　 3. A　 4. A 5. (1)x1 = 1 4 ,x2 = - 7 5 . 　 (2)x1 = -2,x2 = 3. (3)x1 = - 3 2 ,x2 = 1 2 . (4)2(x-3) 2 = (x+3)(x-3),即(x-3)(x-9)= 0, ∴ x-3 = 0 或 x-9 = 0,∴ x1 = 3,x2 = 9. 6. D　 【变式】直接开平方法　 配方法　 公式法　 因式分解法 7. (1)x1 = 6,x2 = -8. 　 (2)x1 = -3+ 17 4 ,x2 = -3- 17 4 . (3)x1 = 4,x2 = -2. 　 (4)x1 = -1,x2 = 1. 8. A 9. 17　 【解析】(x-7)(x- 3) = 0,x- 3 = 0 或 x- 7 = 0,∴ x1 = 3, x2 = 7,∴ 当等腰三角形的腰为 3,底边为 7 时,3+3 = 6<7,不 符合题意;当等腰三角形的腰为 7,底边为 3 时,3 + 7 > 7, ∴ 等腰三角形的周长为 7+7+3 = 17. 10. x1 = 1,x2 = -1. 11.解:∵ x2 -2x= 0,∴ x(x-2)= 0. 又∵ x1 <x2 ,∴ x1 = 0,x2 = 2, ∴ x21 -2x 2 2 = 0 2 -2×22 = -8. 12. 小花坛的边长为(5+5 2 )m. 13. (1)-6　 1　 (2)原方程组的解为 x1 = -1, y1 = -4, { x2 = 4, y2 = 1. { ※21. 2. 4　 一元二次方程的根与系数的关系 1. C　 2. C　 3. D 4.解:(1)3x2 -x-1 = 0. x1 +x2 = 1 3 ,x1x2 = - 1 3 . (2)2x2 +6x-2 = 0. x1 +x2 = -3,x1x2 = -1. 5. B 6.解:设方程的另一个根为 x2 . ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 + bx= -9 的一个根是-1,∴ (-1) 2 -b+9 = 0,解得 b= 10. 又∵ -1×x2 = 9,∴ x2 = -9,即方程的另一个根是-9. 7. A　 8. D　 9. D 10. B　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+1-2m = 0 的 两个实数根之积为负数,∴ Δ= 22 -4×1×(1-2m)>0, 1-2m<0,{ 解得 m> 1 2 ,∴ 实数 m 的取值范围是 m> 1 2 . 11. D　 【解析】由条件可知 a2 + 2 026a- 4 = 0,a+b = -2 026, ∴ a2 +2 026a= 4,∴ a2 +2 025a-b = a2 +2 026a-(a+b) = 4- (-2 026)= 4+2 026 = 2 030. 12. B　 【解析】设一元二次方程为 x2 +bx+c = 0,∵ 甲同学看错 了常数项,得到方程的两根是 8 和 2,∴ 甲同学的两根满 足一次项系数,∴ b = -(8+2)= -10;∵ 乙同学写错了一次 项系数,得到方程的两根为-9 和-1,∴ 乙同学的两根满足 常数项,∴ c= (-1)×(-9)= 9,∴ 该方程为 x2 -10x+9 = 0. 13. 4 14. (1)证明:∵ x2 -ax+a- 2 = 0,∴ Δ = (-a) 2 - 4(a- 2) = a2 - 4a+8 = (a-2) 2 +4>0,∴ 无论 a 为何值,该方程总有两个不 相等的实数根. (2)解:不存在. 理由如下:∵ (x1 -1) (x2 -1) = a 2 ,∴ x1x2 - x1 -x2 +1 =a 2 ,即 x1x2 -(x1 +x2 )+1 =a 2 . ∵ x1 +x2 =a,x1x2 = a- 2,∴ a-2-a+1 = a2 ,即 a2 = -1,∴ 不存在实数 a,使得(x1 - 1)(x2 -1)= a 2 . 15. (1)3　 1　 -5　 6 (2)解:∵ a,b 满足 a2 -5a+ 3 = 0,b2 - 5b+ 3 = 0,∴ a,b 是方 程 x2 -5x+3 = 0 的解. 当 a≠b 时,a+b= 5,ab= 3,∴ a b + b a = a2 +b2 ab = (a+b) 2 -2ab ab = 5 2 -2×3 3 = 19 3 ;当 a= b 时,原式 = 2. 综 上所述, a b + b a 的值为 19 3 或 2. 小专题培优 1　 配方法的应用 1. x1 = 1+ 6 ,x2 = 1- 6 . 　 2. 25　 【变式】±20　 3. C 4. D　 【解析】x2 +y2 -10x+8y+41 = x2 -10x+25+y2 +8y+16 = (x- 5) 2 +(y+4) 2 . ∵ (x-5) 2 ≥0,(y+4) 2 ≥0,∴ (x-5) 2 +(y+4) 2 ≥0. 5. A　 【解析】根据题意,得 M= 2a2 -5a+1,N=a2 -6,故 M-N = 2a2 -5a+1-a2 +6 =a2 -5a+7 = (a- 5 2 ) 2 + 3 4 . ∵ (a- 5 2 ) 2 ≥0, ∴ (a- 5 2 ) 2 + 3 4 >0,∴ M>N. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案 22　 6. (1)2　 1　 > (2)解:M<N. 理由如下:∵ M= 2 9 a-1,N=a2 - 7 9 a,∴ N-M = a2 - 7 9 a-( 2 9 a-1)= a2 -a+1 = a2 -a+ 1 4 - 1 4 + 1 = (a- 1 2 ) 2 + 3 4 . ∵ (a- 1 2 ) 2 ≥0,∴ (a- 1 2 ) 2 + 3 4 >0,即 N-M>0,∴ M<N. 7. (1)-1　 -5　 (2)1　 -5 (3)解:-x2 -4x-8 = -(x2 +4x+4-4+8)= -(x+2) 2 -4. ∵ (x+ 2) 2 ≥0,∴ 当 x= -2 时,-x2 -4x-8 有最大值,最大值为-4. 小专题培优 2　 方程的拓展解法—阅读材料型 1.解:(1)设 1 x =a,则 a2 -5a+6 = 0,解得 a1 = 2,a2 = 3,∴ 1 x = 2 或 1 x = 3,解得 x1 = 1 2 ,x2 = 1 3 ,经检验,x1 = 1 2 ,x2 = 1 3 是原 分式方程的解. (2)设 x2 = y,则原方程化为 y2 -2y-3 = 0,解得 y1 = -1,y2 = 3. 当 y= -1 时,x2 = -1,此时方程无实数根;当 y = 3 时,x2 = 3,解得 x1 = 3 ,x2 = - 3 . ∴ 原方程的解是 x1 = 3 ,x2 = - 3 . 2.解:(1)x2 +3x+2 = 0,(x+1)(x+2)= 0,所以 x1 = -1,x2 = -2. (2)x2 -5x+6 = 0,(x-2)(x-3)= 0,所以 x1 = 2,x2 = 3. (3)x2 -5x-6 = 0,(x-6)(x+1)= 0,所以 x1 = 6,x2 = -1. (4)原方程可化为 x2 -7x-18 = 0,(x+2)(x-9)= 0,所以 x1 = -2,x2 = 9. 21. 3　 实际问题与一元二次方程 第 1 课时　 传播、循环、数字问题 1. A　 2. 1+x+x(1+x)= 169　 3. B　 4. C 5. 共有 10 个队参加比赛. 　 6. B　 7. B 8. 赛义德得到的钱数为 12. 　 9. 10　 【变式】30　 10. 5 11. 共有 10 家公司参加商品交易会. 12. (1)x(x+1) (2)解:经过两轮传染后会有 81 人患病的情况发生,理由 如下:依题意,得 1+x+x( x+ 1- 4) = 81,整理,得 x2 - 2x- 80 = 0,解得 x1 = 10,x2 = - 8(不符合题意,舍去) . ∵ x1 = 10 为正整数,∴ 经过两轮传染后会有 81 人患病的情况发生. 13. (1)它们的平方之和是 25. (2)这两个正整数分别是 4 和 5. 14. (1)9　 14 (2)解:设此多边形的边数为 n,由题意,得n(n -3) 2 = 20,整 理,得 n2 -3n-40 = 0. 解得 n1 = 8,n2 = - 5(不符合题意,舍 去) . 答:八边形的对角线可以共有 20 条. 15. (1)36　 n(n +1) 2 (2)解:前 n 行的点数和不能是 100. 理由如下:假设前 n 行的点数和是 100,则n(n +1) 2 = 100, 即 n2 + n - 200 = 0, 解 得 n = -1± 12 -4×(-200) 2 = -1±3 89 2 . ∵ n 为整数,∴ 前 n 行的点数和不能是 100. 第 2 课时　 平均变化率、销售利润问题 1. B　 2. B　 3. 平均每年的增产率为 10%. 4. C　 5. 每顶头盔的售价是 70 元. 6.解:(1)当每台彩电降价 x 元时,每天彩电的销量为 8+ 6× x 75 = (8+ 2 25 x)台. (2)根据题意,得(3 900-x-3 500) (8+ 2 25 x) = 5 000,整理, 得 x2 -300x+22 500 = 0,解得 x1 = x2 = 150. 答:每台彩电应降 价 150 元. 7. D 8.解:设当每个粽子的售价为 x 元时,超市每天的销售利润为 800 元. 根据题意,得(x-3) (500-10×x -4 0. 1 )= 800,解得 x1 = 7,x2 = 5. ∵ 售价不能超过进价的 200%,∴ 3<x≤3× 200%, 即 3<x≤6,∴ x= 5. 答:当每个粽子的售价为 5 元时,超市每 天的销售利润为 800 元. 9. (1)y= 10x+100 (2)解:根据题意,得(60-x- 40) (10x+ 100) = 1 760,整理, 得 x2 -10x-24 = 0,解得 x1 = 12,x2 = -2(不符合题意,舍去), ∴ 60- x = 60 - 12 = 48. 答:这种排球每个的实际售价是 48 元. 10. (1)30　 50 (2)解:设每箱“沃柑”的售价降低了 m 元,根据题意,得 (50-m)×(1-60%)(100+4× m 2 ) +30×60%×(100+4× m 2 )= 4 080,整理,得 m2 -45m+350 = 0,即(m-10) (m- 35) = 0, 解得 m1 = 10,m2 = 35. 又∵ 50-m≥30,∴ m≤20,∴ m = 10. 答:每箱“沃柑”的售价降低了 10 元. 第 3 课时　 面积问题 1. C　 2. 8 3.解:由题意,得 2(x2 -4)= x2 +2x,整理,得 x2 -2x-8 = 0,解得 x1 = 4,x2 = -2(不符合题意,舍去),∴ x 2 -4 = 12,x2 +2x = 24, 则铁丝的总长为 12×6+24×6 = 216(cm) . 4. B　 【变式】C 5. 这块台布的长约为 7. 7 尺,宽约为 4. 7 尺. 6. C　 【解析】∵ 垂直于墙的一边长为 x 米,∴ 平行于墙的一 边长为 ( 40 - 2x) 米, 则 x ( 40 - 2x) = 198, 故 A 错误; ∵ x>0, 0<40-2x≤20,{ 解得 10 ≤ x < 20,故 B 错误;对于方程 x(40-2x) = 198,化简,得 x2 - 20x+ 99 = 0,解得 x1 = 9,x2 = 11,∵ 10≤x< 20,∴ x = 11,故只有一种围法,故 C 正确、D 错误. 7.解:设 AB= x m,则 BC= (22-3x+2)m,由题意,得 x(22-3x+ 2)= 45,整理,得 x2 - 8x+ 15 = 0,解得 x1 = 3,x2 = 5. 当 x = 3 时,22- 3x+ 2 = 15> 14,不符合题意,舍去;当 x = 5 时,22- 3x+2 = 9,符合题意. 答:若花圃的面积刚好为 45 m2 ,则此时 花圃的 AB 段长为 5 m. 8.解:(1)设 BC = x m,则 AB = (33- 3x) m,依题意,得 x(33- 3x)= 90,解得 x1 = 6,x2 = 5. 当 x = 6 时,33- 3x = 15,符合题 意;当 x= 5 时,33-3x= 18,18>15,不符合题意,舍去. 答:鸡 场的长(AB)为 15 m,宽(BC)为 6 m. (2)不能,理由如下:设 BC = y m,则 AB = (33- 3y) m,依题 意,得 y(33- 3y) = 100,整理,得 3y2 - 33y+ 100 = 0. ∵ Δ = (-33) 2 -4×3×100 = -111<0,∴ 该方程无实数根,即该扶贫 单位不能建成一个 100 m2 的矩形养鸡场. 9. (1)30 (2)解:设小道的宽度为 y m,则栽种鲜花的区域可合成长 (30-y) m,宽(30-1-y) m 的矩形,依题意,得(30-y) (30- 1-y)= 812,整理,得 y2 -59y+ 58 = 0,解得 y1 = 1,y2 = 58(不 符合题意,舍去) . 答:小道的宽度为 1 m. 10. ( 5 -1 2 ) 3 11.解:设竹竿的长为 x 米,则城门的高为(x-2)米,宽为(x- 4)米,由题意,得(x-4) 2 +(x- 2) 2 = x2 ,解得 x1 = 10,x2 = 2 (不符合题意,舍去) . 答:竹竿的长是 10 米. 12.解:(1)当运动时间为 t s 时,CP= 2t cm,CQ = (16-4t) cm, 根据题意,得 1 2 ×2t(16- 4t) = 1 4 × 1 2 × 8× 16,整理,得 t2 - 4t+4 = 0,解得 t1 = t2 = 2. ∴ t 的值为 2. (2)△PCQ 的面积不能与四边形 ABPQ 的面积相等. 理由 如下:当运动时间为 t s 时,CP = 2 t cm,CQ = (16- 4 t)cm, 根据题意,得 1 2 ×2t(16- 4t) = 1 2 × 1 2 × 8× 16,整理,得 t2 - 4t+8 = 0. ∵ Δ= (-4) 2 -4×1×8 = -16<0,∴ 该方程没有实数 根,∴ △PCQ 的面积不能与四边形 ABPQ 的面积相等. 第二十一章　 整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 ①二元一次方程　 ②分母　 ③a= 0 或 b= 0　 ④0 1. (1)x= 4. 　 (2)x= - 1 3 . 2. (1)原方程组的解为 x= 5, y= 2.{ 　 (2)原方程组的解为 x= 3, y= -1.{ 3. (1)x= -1 是原分式方程的解. 　 (2)原分式方程无解. 4. (1)x1 = 2,x2 = -2. 　 (2)x1 = 3+ 5 2 ,x2 = 3- 5 2 . (3)x1 = -3- 10 ,x2 = -3+ 10 . 　 (4)x1 = 1,x2 = 6. 5. (1)当 m= 1 时,此方程是一元一次方程. (2)当 m≠1 时,此方程是一元二次方程. 二阶　 广西中考抢先练 1. C　 2. C　 3. B　 4. B　 5. C　 6. x1 = 3,x2 = -3 7. x1 = 0,x2 = 1 2 　 8. A　 9. D　 10. A　 11. 2 12. (1)证明略. 　 (2)k= -3. 　 13. B　 14. 48 15. (1)2t　 (5-t)　 (2)当 t= 0 或 2 时,PQ 的长度等于 5 cm. (3)存在. 当 t= 1 时,五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2 . 第二十二章　二次函数 22. 1　 二次函数的图象和性质 22. 1. 1　 二次函数 1. C　 2. B　 3. 3 4.解:(1)y= 3-2x2 是二次函数,其中 a= -2,b= 0,c= 3. (2)y=x(x-1)+1=x2-x+1 是二次函数,其中 a=1,b=-1,c=1. (3)y= 2x(1-x)+2x2 不是二次函数. 5. A　 6. y= x(x -1) 2 7. S= 4π x2 +20π x+25π　 【变式】y= 16π-πx2 　 0<x<4 8. y 与 x 之间的关系式为 y= x2 +7x. 9. B　 10. D　 11. C 12. (1)当 m= ±2 2时,此函数是正比例函数. (2)当 m= 3 时,此函数是二次函数. 13.解:(1)圆柱的表面积 S 与圆柱的底面直径 x 之间的关系 式为 S= 1 2 π x2 +10π x,是二次函数. (2)圆柱的表面积增加了 102π cm2 . 14. 乙的说法正确. 理由略. 22. 1. 2　 二次函数 y=ax2 的图象和性质 1. A　 2. A　 3. B　 4. B　 5. k>-1　 6. -1 7. (1)画图略. (2)①抛物线　 y 轴　 (0,0)　 ② ①②　 ③④　 越小 越大　 ③y= -4x2 　 x 轴　 ④高　 x<0　 x>0 8. (1)a= 3. 　 (2)把 x= 3 代入 y= 3x2 ,得 y= 3×32 = 27. (3)抛物线的开口向上;抛物线的顶点是坐标原点;当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大. (答案不唯一,也可以是:抛物线 有最低点;当 x= 0 时,y 有最小值,最小值是 0 等) 9. D　 10. a>b>d>c　 11. 2π　 12. 2 13. (1)k= -3. 　 (2)n 的取值范围是-4≤n≤0. 14. (1)A( 3 ,1),C(- 3 ,1) . (2)菱形 OABC 的面积为 2 3 . 22. 1. 3　 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +k 的图象和性质 1. C　 2. B　 3. C　 4. B　 5. D　 6. y 轴 7. (1)(1,0)或(-1,0)　 (2)(0,-3)　 (3)增大　 减小 (4)小　 小　 -3 8. y3 <y2 <y1 　 9. B　 10. y= 1 2 x2 -1 11.解:(1)平移后的图象的解析式为 y= -x2 +2, 其顶点坐标为(0,2),对称轴为 y 轴. (2)当 x= 0 时,平移后的图象所对应的函数有最大值,最 大值为 2. 12. 能. 理由略. 　 13. A　 14. D　 15. -7 16.解:(1)∵ 把抛物线 y=ax2 +c 向下平移 3 个单位长度后得 到抛物线 y= -2x2 -1,∴ a= -2,c-3 = -1,∴ c = 2,∴ 平移前 的抛物线的解析式为 y= -2x2 +2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案