25.2 第2课时 用画树状图法求概率-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

128　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 第 2 课时　 用画树状图法求概率 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　用画树状图法求概率 1. 有两把不同的锁和三把钥匙,其中两把钥匙恰 好分别能打开这两把锁,第三把钥匙不能打开 这两把锁. 任意取出一把钥匙去开任意一把 锁,一次打开锁的概率是 ( B ) A. 1 2 　 　 　 B. 1 3 　 　 　 C. 2 9 　 　 　 D. 1 6 2. 若点 P(x,y)(x≠y)中的 x,y 可在-2,3,4 中随机 取值,则点 P 落在第二象限的概率是　 　 　 　 . 3. 为保障人们快捷、安全地出入地铁站,地铁站 都修建有如图所示的进站闸口. 某地铁站的进 站口有四个闸口,分别记为 A,B,C,D. 李叔叔 每天从该站乘坐地铁上班. (1)当李叔叔进入该站闸口时,恰好选择 C 闸 口的概率是　 　 　 　 ; (2)请用画树状图法求李叔叔恰好两次进入同 一闸口的概率. 解:画树状图如下: 共有 16 种等可能的结果,其中李叔叔恰好两 次进入同一闸口的结果有 4 种, ∴李叔叔恰好两次进入同一闸口的概率为 4 16 = 1 4 . 知识点 2　灵活选用列表法或画树状图法求 概率 4. 一个不透明的盒子中装有标号为 1,2,3,4 的 四个小球,这些球除标号外都相同,从中随机 摸出两个小球,则摸出的小球标号之和不小于 5 的概率为 ( A ) A. 2 3 B. 1 3 C. 5 8 D. 3 8 5. 有四张反面无差别的卡片,其正面分别印有线 段、等边三角形、平行四边形和正六边形. 现将 四张卡片的正面朝下放置,混合均匀后从中随 机抽取两张,则抽到的卡片的正面图形都是轴 对称图形的概率为 ( A ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 3 4 6. (2024 贵港二模)甲、乙两位同学玩转盘游戏, 游戏规则:将圆盘平均分成三份,分别涂上红、 黄、绿三种颜色,两位同学分别转动转盘一次 (若压线,重新转) . 若两次指针指到的颜色相 同,则甲获胜;若两次指针指到的颜色是黄绿 组合,则乙获胜;其余情况视为平局. (1)请列出所有可能出现的结果; (2)试用概率说明游戏是否公平. 解:(1)画树状图如下: 则共有(红,红),(红,黄),(红,绿),(黄,红), (黄,黄),(黄,绿),(绿,红),(绿,黄), (2)P(甲获胜)= 3 9 = 1 3 , P(乙获胜)= 2 9 , ∵P(甲获胜)>P(乙获胜), ∴游戏不公平. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 九上·第二十五章 129　 二阶 能力提升强化练 7. 小燕一家三口在某商场参加抽奖活动,每人只 有一次抽奖机会:在一个不透明的箱子中装有 红、黄、白三种球各 1 个,这些球除颜色外无其 他差别,从箱子中随机摸出 1 个球,然后放回 箱子中并摇匀,轮到下一个人摸球,三人摸到 球的颜色都不相同的概率是 ( D ) A. 1 27 B. 1 3 C. 1 9 D. 2 9 8. 广西人文信息 (2024 钦州灵山县一模)某校 举行广西特色“嗦粉”文化活动,参赛者小僮和 小丽要从“南宁老友粉”“柳州螺蛳粉”“桂林米 粉”“玉林牛巴粉”四种粉中选取一种进行讲解, 则两人恰好选中同一种粉的概率是 ( C ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 2 3 9. 小颖有两件上衣,分别为红色和白色,有两条 裤子,分别为黑色和白色,她随机拿出一件上 衣和一条裤子,恰好是白色上衣和白色裤子的 概率是 ( B ) A. 1 6 B. 1 4 C. 1 2 D. 2 3 10. 将四个小球分别标上 C,O,H,F 四种化学元 素符号(除标记符号外,其余均相同),放入一 个不透明的袋中,摇匀后从中任意摸出 2 个 小球,能够组成“一氧化碳”化学式(CO)的概 率是　 　 　 　 . 11. (2024 连云港)数学文化节猜谜游戏中,有四 张大小、形状、质地都相同的字谜卡片,分别 记作字谜 A、字谜 B、字谜 C、字谜 D,其中字 谜 A、字谜 B 是猜“数学名词”,字谜 C、字谜 D 是猜“数学家人名” . (1)若小军从中随机抽取一张字谜卡片,则小军 抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是 　 ; (2)若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片, 请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字 谜均是猜“数学家人名”的概率. 解:画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中小军抽取的字 谜均是猜“数学家人名” 的结果有 2 种,即 (C,D),(D,C),∴ 小军抽取的字谜均是猜 “数学家人名”的概率为 2 12 = 1 6 . 三阶 素养创新综合练 12. 考法新颖 如图是一个竖直放置的钉板,其 中,黑色圆面表示钉板上的钉子, A1, B1, B2,…,D3,D4 分别表示相邻两颗钉子之间的 空隙,这些空隙大小均相等,从入口 A1 处投 放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆 球,圆球下落过程中,总是碰到空隙正下方的 钉子,且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下 落的机会相等,直至圆球落入下面的某个槽 内. 用画树状图法求圆球落入③号槽的概率. 解:根据题意,画树状图如下: 由树状图可知,共有 8 种等可能的结果,其中 落入③号槽的结果有 3 种, ∴P(落入③号槽)= 3 8 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 29　 　 ∴ DH= 1 2 CD= 1,∴ CH = CD2 -DH2 = 3 ,∴ 阴影部分的 面积=S扇形ACD-S△ACD = 60π×22 360 - 1 2 ×2× 3 = 2 3 π- 3 . 17. 12l -π d 12 第 2 课时　 圆锥的侧面积和全面积 1. A　 2. C　 3. D　 4. 10 cm 5.解:(1)圆锥的侧面积为120 ×π×62 360 = 12π(cm2 ) . (2)设该圆锥的底面圆的半径为 r cm,根据题意,得 2π r = 120π×6 180 ,解得 r= 2. 即该圆锥的底面圆的半径为 2 cm. 6. B　 7. A　 8. A　 9. B　 10. 6 3 11.解:(1)圆锥的母线长为 202 +(40 2 ) 2 = 60(cm),设这个 锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为 n°, 则 2π × 20 = n×π×60 180 ,解得 n= 120,即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆 心角为 120°. (2)如解图 1,过点 O 作 OH⊥AD 于点 H,由题意,得 OH = OM= 60 cm,∠MON= 120°,在 Rt△OBM 中,∠BOM = 30°, ∴ BM = 30 cm,∴ OB = OM2 -BM2 = 30 3 ( cm),∴ BC = 2OB= 60 3 (cm),∴ 方案一所需的矩形铁皮的面积为 60× 60 3 = 3 600 3 (cm2 );如解图 2,过点 O 作 OP⊥EH 于点 P, 由 题 意, 得 OM = OG = 60 cm, ∠MON = 120°. 在 Rt△FOM中,∠FOM= 60°,∴ ∠FMO = 30°,∴ OF = 1 2 OM = 30(cm),∴ FG=OF+OG = 30+60 = 90( cm),∴ 方案二所需 的矩形铁皮的面积为 90× 60 = 5 400(cm2 ),∵ 3 600 3 ≈ 6 235. 4>5 400,∴ 方案二所用的矩形铁皮面积较少. 解图 1 　 解图 2 12. A 小专题培优 17　 与圆有关的阴影部分的面积计算 1. D　 2. 2　 3. 3- 1 3 π　 4. C　 5. 9 3 2 + 3 2 π　 6. 9π 4 7. 阴影部分的面积为 π. 8. (2π-2 3 ) 9.解:如解图,设正方形 ABCD 的中心为 P,连接 PA,PB,过点 P 作 PO⊥AB 于点 O,则 S半圆O = π×12 2 = π 2 ,S△ABP = 1 2 AB· OP= 1 2 ×2×1=1.由题意,得图中阴影部分的面积= 4(S半圆O - S△ABP)= 4( π 2 -1)= 2π-4. 小专题培优 18　 辅助圆问题的三大常见模型 1. C　 2. 2 10 -2　 3. 88°　 4. 30°　 5. 2 10 　 6. 3+ 13 7. 32　 8. 4 3 9.证明:如解图,连接 AM,ED 交于 点 O, ∵ ∠BAC = ∠DME = 90°, ∴ 四边形 AEMD 是☉O 的内接四 边形. 设☉O 交 BC 于点 N,连接 EN,DN. 则∠DNE = ∠EAD = ∠DME = 90°. ∵ M 为 BC 的中 点,∴ MA = MB = MC,∴ ∠B = ∠BAM = ∠BNE,∴ EB = EN, ∵ ∠BAC= ∠DNE = 90°,∴ ∠B+∠C = 90°,∠DNC+∠BNE = 90°,∴ ∠C = ∠DNC,∴ DC = DN,∴ BE2 +CD2 = EN2 +DN2 = DE2 =AE2 +AD2 . 即 BE2 +CD2 =AE2 +AD2 . 第二十四章　 整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 ①平分　 ②平分　 ③直径 　 ④垂直 　 ⑤平分 　 ⑥同圆或等 圆　 ⑦弦　 ⑧同圆或等圆　 ⑨相等　 ⑩弦　 􀃊􀁉􀁓同圆或等圆 􀃊􀁉􀁔圆心角　 􀃊􀁉􀁕相等　 􀃊􀁉􀁖一半 　 􀃊􀁉􀁗相等 　 􀃊􀁉􀁘直角 　 􀃊􀁉􀁙直径 　 􀃊􀁉􀁚外端　 􀃊􀁉􀁛垂直　 􀃊􀁊􀁒半径　 􀃊􀁊􀁓一个　 􀃊􀁊􀁔垂直　 􀃊􀁊􀁕切点 􀃊􀁊􀁖半径　 􀃊􀁊􀁗一个 二阶　 对接中考抢分练 1. D　 2. B　 3. A　 4. D　 5. B　 6. C　 7. C　 8. C　 9. B　 10. C 11. (4,3- 5 ) 12. (1)证明:如解图,连接 OD. ∵ △ABC 是 等边三角形,∴ ∠DAO=∠C= 60°. ∵ OD = OA,∴ △DOA 是等边三角形,∴ ∠ODA = ∠C = 60°, ∴ OD∥BC. 又 ∵ DF ⊥ BC, ∴ OD⊥ DF. 又 ∵ OD 是 ☉O 的半径, ∴ DF 是☉O 的切线. (2)解:由(1)可知 AD = r,则 CD = a-r,BE = a-2r. ∵ DF⊥ BC,∴ ∠DFC= 90°. 在 Rt△CFD 中,∠C = 60°,∴ ∠CDF = 30°,∴ CF= 1 2 CD= 1 2 (a-r) . ∴ BF = a- 1 2 (a-r),∵ EF 是 ☉O 的切线,∴ EF⊥AB,∴ △FEB 是直角三角形,且∠B = 60°,∠EFB= 30°,∴ BF = 2BE,∴ a- 1 2 (a-r) = 2(a- 2r), 解得 r= 1 3 a,∴ ☉O 的半径 r 与等边三角形 ABC 的边长 a 之间的数量关系为 r= 1 3 a. 13. 10　 14. △ABD,△ACD,△BCD　 15. C　 16. 12 3 　 17. B 18. A　 19. 20π　 20. π -2 4 　 21. (π- 1 2 )　 22. C 第二十五章　概率初步 25. 1　 随机事件与概率 25. 1. 1　 随机事件 1. D　 2. B　 3. A　 4. A　 5. 随机事件　 6. D 7.解:(2)<(1)<(4)<(3) . 　 8. D　 9. B　 10. 2 11. (1)4　 2 或 3 (2)解:依题意,得 4 = 8-n,解得 n= 4,∴ n 的值为 4. 12. (1)B　 (2)略. 25. 1. 2　 概率 1. B　 2. A　 3. C　 4. D　 5. A　 6. D　 7. 2 55 　 8. 3 8 　 9. C　 10. C　 11. A　 12. A　 13. A　 14. C　 【变式】π -2 4 　 15. 2 3 16. (1)选乙袋摸出红球的概率大. 理由略. (2)说法不正确. 17. 3 5 25. 2　 用列举法求概率 第 1 课时　 用列表法求概率 1. C　 2. B　 3. 1 2 　 4. A　 5. C　 6. 1 3 7. 小辰和小安选择同一种型号的免洗洗手液的概率为 1 3 . 8. C　 9. A　 10. 1 4 11. (1)共有 9 种等可能的结果,具体的结果略. (2)至少有一辆车向左转的概率为 5 9 . 12. (1)落回到圈 A 的概率 P1 = 1 6 . (2)P2 = 1 4 . ∵ P1 = 1 6 ,∴ 可能性不一样. 13. D　 14. 1 2 第 2 课时　 用画树状图法求概率 1. B　 2. 1 3 3. (1) 1 4 (2)李叔叔恰好两次进入同一闸口的概率为 1 4 . 4. A　 5. A 6. (1)共有(红,红),(红,黄),(红,绿),(黄,红),(黄,黄), (黄,绿),(绿,红),(绿,黄),(绿,绿) 9 种等可能的结果. (2)游戏不公平. 7. D　 8. C　 9. B　 10. 1 6 11. (1) 1 2 (2)小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率为 1 6 . 12. P(落入③号槽)= 3 8 . 小专题培优 19　 概率的放回与不放回问题 1. C　 2. C　 3. A 4. (1)共有 9 种等可能的结果,具体的结果略. (2)P(两次抽到卡片上的数字之积为奇数)= 4 9 . 5. A　 6. A　 7. C　 8. D 9. (1) 1 4 (2)抽取的书签恰好 1 张为“春”,1 张为“秋”的概率为 1 6 . 25. 3　 用频率估计概率 1. D　 2. B　 3. A　 4. B　 5. C　 6. 1 5 　 A 7. (1)136　 0. 70　 (2)0. 70 (3)10 000 粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6 300 棵. 8. (1)0. 25　 (2)盒子里有 1 个白球. 9. (1)0. 4 (2)①估算袋中两种颜色的球共有 7 个. ②摸出黑球的概率约是a +3 a+7 . 10. 1 3 第二十五章　 整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 1. (1)红　 黑　 白　 (2) 1 4 　 (3)①4　 ②3　 ③不放回 (4)x 的值为 4. (5)P(摸出的两个球颜色相同)= 3 8 . (6)P(摸出的两个球颜色相同)= 1 6 . (7)这个游戏规则公平. 理由略. 二阶　 广西中考抢先练 1. B　 2. A　 3. D　 4. 2 5 　 5. 3 5 　 6. 1 3 　 7. 1 3 8. (1) 1 3 (2)这两个班抽到不同卡片的概率为 2 3 . 9. (1)全等　 三边分别相等的两个三角形全等(或“边边边” 或“SSS”) (2)△ABD≌△ACD 的概率为 2 3 . 10. (1)子一代圣女果是红色果皮的概率为 1 2 . (2)估计圣女果是红色果皮的有 2 500 株. 11. C　 12. 95% 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案