24.1.3 弧、弦、圆心角-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

九上·第二十四章 89　 24. 1. 3　弧、弦、圆心角 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　认识圆心角 1. 如图,O 为圆心,那么 AB ( 所 对的圆心角是　 ∠AOB　 , BD ( 所 对 的 圆 心 角 是 　 ∠BOD　 . 2. 在☉O 中,AB 是弦,∠OAB = 50°,则弦 AB 所对 的圆心角的度数是　 80　 °. 3. 已知☉O 的直径为 10,AB 是☉O 的弦,AB = 5, 那么在 ☉O 中弦 AB 所对的圆心角的度数 为　 60°　 . 知识点 2　圆心角及其所对的弧、弦之间的 关系 4. 在同圆或等圆中,若 AB ( 的长度等于 CD ( 的长 度,则下列说法正确的有 ( D ) ①AB ( 和 CD ( 是等弧;②AB ( 所对的圆心角等于 CD ( 所对的圆心角;③AB ( 所对的弦的长度等于 CD ( 所对的弦的长度. A. 0 个　 　 B. 1 个　 　 C. 2 个　 　 D. 3 个 5. 如图,在三个等圆上各有一条劣弧:AB ( ,CD ( , EF ( ,如果 AB ( +CD ( =EF ( ,那么 AB+CD 与 EF 的大 小关系是 ( C ) A. AB+CD=EF B. AB+CD<EF C. AB+CD>EF D. 大小关系不确定 6. 如图, AB, AC, BC 都是 ☉O 的弦, ∠CAB = ∠CBA,则∠COB 与∠COA 相等吗? 为什么? 解:∠COB=∠COA, 理由如下:∵∠CAB=∠CBA,∴AC=BC, ∴AC ( =BC ( ,∴∠COB=∠COA. 7. (教材 P85 练习 T2 改编)如图,在☉O 中,AB 是直径,∠AOE = 60°,C,D 是 BE ( 的三等分点, 求∠COE 的度数. 解:∵∠AOE=60°, ∴∠BOE=180°-60°=120°. ∵C,D 是 BE ( 的三等分点,∴DE ( =CD ( =BC ( , ∴∠EOD=∠DOC=∠COB= 1 3 ×120°=40°, ∴∠COE=∠EOD+∠DOC=80°. 8. 如图,点 A,B,C,D 在☉O 上,AB = CD. 求证: ∠AOC= ∠BOD. 证明:∵AB=CD,∴AB ( =CD ( , ∴∠AOB=∠COD, ∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC, 即∠AOC=∠BOD. 9. 如图,AB,CD 是☉O 的两条直径,BE,BD 为 ☉O 的两条弦,且 BE=BD. 求证:AC ( =BE ( . 证明:∵ AB,CD 是☉O 的两条 直径, ∴∠AOC=∠BOD,∴AC ( =BD ( . ∵ BE = BD,∴ BE ( = BD ( ,∴ AC ( =BE ( . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 90　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 二阶 能力提升强化练 10. 如图,点 A,B,C 是☉O 上的点,∠AOC = 120°, AB= BC. 若☉O 的半径为 2,则四边形 ABCO 的面积为 ( A ) A. 2 3 　 　 　 B. 2 2 　 　 　 C. 3 　 　 　 D. 2 第 10 题图 　 　 第 11 题图 11. 如图,已知 AB 是☉O 的直径,半径 OC⊥AB, D 是 CO 的中点,若过点 D 的弦 EF 平行于 AB,则下列结论正确的是 ( B ) A. EC ( =AE ( B. EC ( = 2AE ( C. EF ( = 3AE ( D. ABF ( = 4AE ( 12. 如图,正方形 ABCD 的顶点均在☉O 上,M 为 AD ( 的中点,连接 BM,CM,求证:BM=CM. 证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=CD,∴AB ( =CD ( . ∵M 为 AD ( 的中点,∴AM ( =DM ( , ∴AB ( +AM ( =CD ( +DM ( ,即 BM ( =CM ( , 13. 现实情境 如图所示的齿轮有 20 个齿,每两 齿之间的间隔相等. 相邻两齿与圆心连线的 夹角 α 为多少度? 如果让这样的齿轮旋转 1 周,那么在旋转过程中有多少次和原图形 重合? 解:此图形可以看成正二十 边形, ∴相邻两齿与圆心连线的夹 角 α=360° 20 =18°. 如果让这样的齿轮旋转 1 周,那么在旋转过 程中有 20 次和原图形重合. 14. 如图,AB 为☉O 的弦,半径 OC,OD 分别交 AB 于点 E,F,且 AC ( =DB ( . 求证:OE=OF. 证明:如解图,连接 OA,OB, ∵OA=OB, ∴∠A=∠B. ∵AC ( =DB ( , ∴∠AOE=∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中, ∠A=∠B, OA=OB, ∠AOE=∠BOF, ì î í ï ï ï ï ∴△AOE≌△BOF(ASA), ∴OE=OF. 三阶 素养创新综合练 15. 跨学科 计算机处理任务时,经常会以圆形进 度条的形式显示任务完成的百分比. 下面是同 一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图: 当任务完成的百分比为 x 时,线段MN 的长度 记为 d(x) . 下列描述正确的是 ( C ) A. 当 x1 >x2 时,d(x1) >d(x2) B. 当 d(x1) >d(x2)时,x1 >x2 C. 当 x1 +x2 = 1 时,d(x1)= d(x2) D. 当 x1 = 2x2 时,d(x1)= 2d(x2) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27　 　 第二十三章　 整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 ①不变　 ②不变　 ③全等　 ④相等　 ⑤直线　 ⑥直线 ⑦点　 ⑧平行　 ⑨相等　 ⑩垂直平分　 􀃊􀁉􀁓相等　 􀃊􀁉􀁔旋转角 1. D　 2. 10°　 3. 8　 4. 11　 5. 30°　 6. 60° 二阶　 广西中考抢先练 1. A　 2. A　 3. B　 4. D　 5. 14 6. (1)△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°得到△DEC (2)解:如解图,延长 BE 交 AD 于点 F. ∵ △ABC≌△DEC, ∴ BC=CE,AC=CD. 在 Rt△BCE 中,∠BEC= ∠EBC= 45°, 在 Rt△ACD 中,∠CAD= ∠ADC= 45°, ∴ ∠EBC+∠ADC= 90°,∴ ∠BFD= 90°,∴ AD⊥BE. 7. A　 8. B　 9. A　 10. (4,3) 11. (1)画图略,点 A1 的坐标为(4,-5) . (2)画图略,点 A2 的坐标为(-2,1) . 12.解:(1)BD=CF,BD⊥CF (2)BD=CF,BD⊥CF 还成立, 证明:∵ 四边形 ADEF 是正方形, ∴ AD=AF,∠DAF= 90°, ∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠FAC+ ∠FAB = ∠DAB+ ∠FAB = 90°, ∴ ∠DAB= ∠FAC,∵ AB = AC,∴ △ADB≌ △AFC( SAS) . ∴ BD=CF. 如解图,延长 DB 交 AF 于点 O,交 FC 于点 G, 则∠FOG= ∠AOD. ∵ △ADB≌△AFC,∴ ∠ADB = ∠AFC, ∴ ∠FGO= ∠FAD= 90°,∴ BD⊥CF. (3)FH 的长为 5 5 . 13. (1)证明:如解图 1,过点 C 作 CE⊥AM 于点 E,CF⊥AN 于 点 F,∵ AC 平分∠MAN,∴ CE = CF. ∵ ∠MAN+ ∠DCB = 180°,四边形 ABCD 的内角和等于 360°,∴ ∠ADC+∠ABC = 180°. 又 ∵ ∠ABC + ∠CBF = 180°, ∴ ∠ADC = ∠CBF. 又 ∵ ∠CED= ∠CFB= 90°,∴ △CED≌△CFB(AAS),∴ CD = CB,∴ 无论点 C 怎样移动,总有 CD=CB. 解图 1 　 　 　 解图 2 (2)①证明:如解图 2,过点 C 作 CE⊥AM 于点 E,CF⊥AN 于点 F,∵ AC 平分∠MAN,∴ CE =CF. ∵ ∠MAN+∠DCB = 180°,∠MAN+∠ECF = 180°,∴ ∠ECF = ∠DCB,∴ ∠ECD = ∠FCB.又∵ ∠CED=∠CFB= 90°,∴ △CED≌△CFB(ASA), ∴ CD=CB. 又∵ ∠BCD= 60°,∴ △BCD 是等边三角形. ②解:AB-AD=AC. 证明:∵ ∠MAN= 120°,AC 平分∠MAN, ∴ ∠EAC = ∠FAC = 60°, ∴ AC = 2AF = 2AE. ∵ △CED≌ △CFB,∴ ED=FB,∴ AB-AD = AF+FB-AD = AF+ED-AD = AF+AE+AD-AD= 2AF=AC. 第二十四章　圆 24. 1　 圆的有关性质 24. 1. 1　 圆 1. C　 2. A　 3. 略. 　 4. B　 5. B　 6. D　 7. B　 8. 10　 9. 略. 　 10. 略. 　 【变式】OE=OF. 证明略. 　 11. A　 12. a= b= c 13. ∠A= 26°. 　 14. 54° 24. 1. 2　 垂直于弦的直径 1. D　 2. C　 3. B　 4. B　 5. 5 6. (1)OD= 4. 　 (2)AB= 6. 　 【变式】☉O 的半径为 5 2 . 7. D　 8. 26　 9. C　 10. A　 11. C　 12. A　 13. 3 14. ☉O 的半径为 7. 15.解:任务 1:如解图 1,设圆心为点 O,延长 CD,则 CD 经过 点 O,连接 AO. ∵ 桥拱的半径为 10 m,∴ OD= (10-CD)m. ∵ OC⊥AB,∴ AD = 1 2 AB = 8(m). ∵ OD2 +AD2 =OA2,∴ (10- CD) 2 +82 = 102 ,∴ CD= 4 m(负值已舍去) . 任务 2:根据图 3 状态,货船不能通过圆形拱桥,至少要增 加 10 t 的货物才能通过. 理由如下:当 EH 是☉O 的弦时, 设 EH 与 OC 的交点为 M,连接 OE,OH,如解图 2,∵ 四边 形 EFGH 为矩形, ∴ EH∥FG. ∵ OC⊥ AB, ∴ OM⊥EH. ∴ EM= 1 2 EH = 6( m),∴ OM = OE2 -EM2 = 102 -62 = 8(m),∵ OD=OC-CD= 10-4 = 6(m),∴ DM = 8-6 = 2(m), ∵ 2<3,∴ 根据图 3 状态,货船不能通过圆形桥拱,∴ 船在 水面部分可以下降的高度 y = 3 - 2 = 1 ( m) . ∵ y = x 2 100 , ∴ x2 = 100×1 = 100,∴ x = 10(负值已舍),∴ 至少要增加 10 t 货物才能通过. 解图 1 　 　 解图 2 24. 1. 3　 弧、弦、圆心角 1. ∠AOB　 ∠BOD　 2. 80　 3. 60°　 4. D　 5. C 6. ∠COB= ∠COA,理由略. 　 7. ∠COE= 80°. 8. 略. 　 9. 略. 　 10. A　 11. B 12.证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = CD,∴ AB ( = CD ( . ∵ M 为 AD ( 的中点,∴ AM ( = DM ( ,∴ AB ( +AM ( = CD ( +DM ( ,即 BM ( =CM ( ,∴ BM=CM. 13.解:此图形可以看成正二十边形,∴ 相邻两齿与圆心连线 的夹角 α = 360° 20 = 18°. 如果让这样的齿轮旋转 1 周,那么 在旋转过程中有 20 次和原图形重合. 14.证明:如解图,连接 OA,OB, ∵ OA=OB,∴ ∠A= ∠B. ∵ AC ( =DB ( ,∴ ∠AOE= ∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中, ∠A= ∠B, OA=OB, ∠AOE= ∠BOF, { ∴ △AOE≌△BOF(ASA),∴ OE=OF. 15. C 24. 1. 4　 圆周角 第 1 课时　 圆周角定理及其推论 1. A　 2. C　 3. A　 4. A　 5. C　 6. C　 7. 140°　 70°　 8. 150° 9. D　 10. B　 11. 37°　 12. 略. 　 13. D　 14. B 15. 60°　 【变式 1】6　 【变式 2】4　 16. 50°或 130° 17.解:方法一: 如解图 1, 连接 OA, OB, ∵ ∠ACB = 30°, ∴ ∠AOB= 2∠ACB= 60°. ∵ OA=OB,∴ △AOB 为等边三角 形,∴ OA=OB=AB= 1. 8 cm,∴ ☉O 的半径为 1. 8 cm. 解图 1 　 　 解图 2 方法二:如解图 2,连接 AO 并延长,交☉O 于点 D,连接 BD. ∵ AD 是☉O 的直径,∴ ∠ABD = 90°. ∵ ∠D = ∠C = 30°,∴ AD = 2AB = 3. 6 ( cm) . ∴ OA = 1 2 AD = 1. 8 ( cm), ∴ ☉O 的半径为 1. 8 cm. 18. B 第 2 课时　 圆内接四边形 1. B　 2. D　 3. B　 【变式 1】B　 【变式 2】D　 4. 60°　 5. 130° 6.证明:∵ 四边形 ABCD 内接于☉O,∴ ∠DAB = ∠DCE. ∵ DA = DB, ∴ ∠DAB = ∠DBA, ∴ ∠DBA = ∠DCE. ∵ ∠DBA = ∠DCA,∴ ∠DCA= ∠DCE,即 CD 平分∠ACE. 7. B　 8. C 9.解:连接 EF,如解图, ∵ 四边形 ABCD 为圆内接四边形, ∴ ∠ECD= ∠A. ∵ ∠ECD= ∠1+∠2,∴ ∠A= ∠1+∠2. ∵ ∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD= 180°, ∴ 2∠A+40°+60° = 180°,∴ ∠A= 40°. 小专题培优 15　 与圆的性质有关的证明与计算 1. D　 2. C　 3. B　 4. C　 5. C　 6. 4 5 7.解:△FAG 是等腰三角形,理由如下:∵ BC 是☉O 的直径, ∴ ∠BAC= 90°,∴ ∠ABE+∠AGB = 90°,∵ AD⊥BC,∴ ∠C+ ∠DAC= 90°,∵ AE ( = AB ( ,∴ ∠ABE = ∠C,∴ ∠FAG = ∠AGF, ∴ △FAG 是等腰三角形. 8. (1)证明:∵ ∠P= ∠C,∠1 = ∠C,∴ ∠1 = ∠P,∴ CB∥PD. (2)解:连接 OC,如解图, ∵ ∠BCD= 30°,∴ ∠P= 30°. ∵ CD⊥AB,∴ BC ( =BD ( , ∵ OB=OC,∴ ∠BOC= 2∠P= 60°, ∴ △BOC 为等边三角形, ∴ OB=BC= 3,∴ AB= 2OB= 6, ∴ ☉O 的直径为 6. 9.解:(1)如解图 1,设 CD 交☉O 于点 M,连接 ME,∵ AB 是 ☉O 的直径,弦 DE⊥AB,∴ DE ( = 2BD ( ,∴ ∠DME = 2∠BAD. ∵ ∠CDE= ∠BAD,∴ ∠DME = 2∠CDE. ∵ DM 是☉O 的直 径,∴ ∠DEM = 90°, ∴ ∠DME + ∠CDE = 90°, ∴ ∠CDE = 30°,∴ ∠BAD = ∠CDE = 30°. ∵ OA =OD,∴ ∠BAD = ∠ODA = 30°,∴ ∠ADE= ∠ODA+∠CDE= 60°. ∵ CA⊥AB,∴ ∠CAB = 90°,∴ ∠CAD= ∠CAB+∠BAD= 120°. 解图 1 　 　 　 解图 2 (2)如解图 2,过点 A 作 AN⊥CD 于点 N,∵ ∠CAD+∠C+ ∠ADC= 180°, ∠CAD = 120°, ∠ADC = 30°, ∴ ∠C = 30° = ∠ADC,∴ AC = AD. ∵ AN⊥CD, ∴ CD = 2DN. 在 Rt △ADN 中,AD = 2 3 , ∠ADN = 30°, ∴ AN = 1 2 AD = 3 , ∴ DN = AD2 -AN2 = 3,∴ CD= 2DN= 6. 24. 2　 点和圆、直线和圆的位置关系 24. 2. 1　 点和圆的位置关系 1. A　 2. A　 3. 0<r<5　 4. 内　 外　 上　 5. B　 6. C　 7. B 8. D　 9. D　 10. 2 　 11. △ABC 的外接圆的半径为 13 cm. 12. AC≤AB　 13. ③④①②　 14. C　 15. D　 16. A 17. (1)(-2,0)　 (2)2 5 　 (3)内　 (4)2 5 -2　 18. C 24. 2. 2　 直线和圆的位置关系 第 1 课时　 直线和圆的位置关系 1. A　 2. A　 3. A 4.解:如解图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,∵ ∠ACB = 90°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,∴ AB= 10 cm,∴ CD=BC·AC AB = 4. 8(cm), (1)直线 AB 与☉C 相离,则 r 的取值范围是 0<r<4. 8 cm. (2)直线 AB 与☉C 相切,则 r 的值是 r=CD= 4. 8 cm. (3)直线 AB 与☉C 相交,则 r 的取值范围是 r>4. 8 cm. 5.解:由题意,得 BO⊥AC,BO = 1 2 BD = 1 2 × BC2 +CD2 = 2 , 即点 B 到直线 AC 的距离为 2 ,与☉B 的半径相等,∴ 直线 AC 与☉B 相切. ∵ EF∥AB, ∠ABC = 90°, ∴ BE⊥EF,且 BE= 1 2 BC= 1 2 ×2 = 1< 2 ,∴ 直线 EF 与☉B 相交. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案