22.1.4 第2课时 用特定系数法求二次函数的解析式-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

38　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 第 2 课时　 用待定系数法求二次函数的解析式 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　利用“一般式”求二次函数的 解析式 1. 经过 A( -1,-1),B(0,-2),C(1,1) 三点的抛 物线的解析式是　 y=2x2+x-2　 . 【变式】若二次函数 y = x2 +mx+n 的图象经过点 (1,1), ( - 1, 5), 则该二次函数的解析式 为　 y=x2-2x+2　 . 2. 数据观念 已知二次函数 y = ax2 +bx+c 中,函 数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表: x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … 则该二次函数的解析式为　 y=x2-4x+5　 . 知识点 2　利用“顶点式”求二次函数的 解析式 3. 若抛物线 y=ax2 +bx+c 的顶点是 A(2,1),且经过 点 B(1,0),则该抛物线的解析式为 ( B ) A. y= x2 +4x-3 B. y= -x2 +4x-3 C. y= -x2 -4x-3 D. y= -x2 +4x+3 4. 已知二次函数的图象经过点(0,3),且当 x = -2 时,y 有最小值-1.求该二次函数的解析式. 解:∵当 x=-2 时,y 有最小值-1, ∴二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-1), 设该二次函数的解析式为 y=a(x+2)2-1(a≠0), 将(0,3)代入,得 a(0+2) 2-1=3,解得 a=1, ∴该 二 次 函 数 的 解 析 式 为 y = ( x + 2) 2 - 1=x2+4x+3. 知识点 3　利用“交点式”求二次函数的解析式 5. 已知抛物线 y=ax2 +bx+c 过(1,0),(2,0),(3, 4)三点,则该抛物线的解析式为 ( B ) A. y= x2 -3x+2 B. y= 2x2 -6x+4 C. y= 2x2 +6x-4 D. y= x2 -3x-2 6. 如图所示,抛物线的函数解析式是 ( D ) A. y= 1 2 x2 -x+4 B. y= - 1 2 x2 -x+4 C. y= 1 2 x2 +x+4 D. y= - 1 2 x2 +x+4 二阶 能力提升强化练 7. 开放性试题 已知抛物线 y=ax2 +bx+c 的顶点 位于第三象限内,且其开口向上,请写出一个 满足上述特征的抛物线的解析式: 　 y = 2(x+1) 2-2　 . 8. 根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象的顶点为( -2,2),且过点( -1,3) . 解:由顶点(-2,2),可设二次函数的解析式为 y=a(x+2) 2+2, 将(-1,3)代入,得(-1+2) 2a+2=3,解得 a=1, ∴ 二次函数的解析式为 y = ( x + 2) 2 + 2 = x2+4x+6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 九上·第二十二章 39　 (2)图象的对称轴是直线 x = 1,与 x 轴的一个 交点为( -2,0),与 y 轴交于点(0,12); 解:∵抛物线的对称轴是直线 x = 1,与 x 轴的 一个交点为(-2,0), ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为(4,0), 设 y=a(x+2)(x-4)(a≠0), 把(0,12)代入,解得 a=- 3 2 , ∴二次函数的解析式为 y =- 3 2 (x+2)(x-4)= - 3 2 x2+3x+12. (3)图象与 x 轴的交点坐标是( - 1,0),( - 3, 0),且函数有最小值-5; 解:设 y=a(x+1)(x+3)(a≠0), 根据题意可得,对称轴为直线 x=-2. 又∵函数有最小值-5, ∴顶点坐标为(-2,-5),代入解析式,得 a=5, ∴二次函数的解析式为 y=5(x+1)(x+3)= 5x2+ 20x+15. (4)当 x = 2 时,函数取得最大值 1,且图象与 x 轴两个交点之间的距离为 2. 解:∵当 x=2 时,函数取得最大值 1,即顶点坐 标为(2,1), ∴抛物线的对称轴为直线 x=2, 又∵图象与 x 轴两个交点之间的距离为 2, ∴交点坐标分别为(1,0),(3,0), 设 y=a(x-1)(x-3)(a≠0), 把(2,1)代入,解得 a=-1, ∴二次函数的解析式为 y=-(x-1)(x-3)= -x2+ 4x-3. 三阶 素养创新综合练 9. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y = ax2 + 2ax-4 的图象与 x 轴交于 A,B 两点(点 B 在点 A 左侧),且有 OB= 2OA,顶点为点 C. (1)求点 A,B 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)将抛物线进行平移,使点 A 恰好落在顶点 C 的位置,请求出平移后抛物线的解析式. 解:(1)∵ y=ax2+2ax-4, ∴ 抛物线的对称轴为 x = -2a 2a =-1, 设点 A 的坐标为( t,0), ∵OB=2OA, ∴点 B 的坐标为(-2t,0), ∴ t-(-1)= -1-(-2t), 解得 t=2, ∴点 A 的坐标为 (2,0),点 B 的坐标为(-4, 0) . (2)将 (2,0)代入 y=ax2+2ax-4, 得 0=4a+4a-4, 解得 a= 1 2 , ∴抛物线的解析式为 y= 1 2 x2+x-4. (3)抛物线 y= 1 2 x2+x-4= 1 2 (x+1) 2- 9 2 的顶点 C 的坐标为(-1,- 9 2 ), ∵将点 A(2,0)向左平移 3 个单位长度,再向 下平移 9 2 个单位长度后得到点 C(-1,- 9 2 ), ∴平移后的抛物线解析式为 y = 1 2 (x+1+3) 2- 9 2 - 9 2 = 1 2 (x+4) 2-9. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23　 　 (2)∵ a= - 2< 0,∴ 当 x = 0 时,函数 y = - 2x2 + 2 取得最大 值,最大值为 2. (3)∵ 抛物线 y= -2x2 +2 的对称轴为 y 轴,且 a= -2<0, ∴ 当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小. 17. B 第 2 课时　 二次函数 y= a(x-h) 2 的图象和性质 1. B　 2. A　 3. C　 4. D　 5. B　 6. > 7. (1)x= -1　 (2)-4　 -1　 0　 -1　 -4　 (3)略 (4)x<-1　 x>-1 8. C　 9. D　 10. 左　 2　 11. C　 12. B　 13. B　 14. B 15.解:(1)∵ 抛物线 y= (x-a) 2 的对称轴为 x=a= 1,∴ a= 1. (2)由(1)可知,a= 1,∴ y= (x-1) 2 ,∴ 当 x>1 时,y 随 x 的 增大而增大,当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小,∵ -1<x1 <0, 1<x2 <2,∴ 1<1-x1 <2,0<x2 -1<1,∵ 当抛物线开口向上时, 抛物线上的点距离对称轴越远,函数值越大,∴ y1 >y2 . 16.解:(1)∵ h= 3,∴ 二次函数的解析式为 y= -(x-3) 2 . ∵ 2≤x≤5,∴ 当 x= 3 时,函数有最大值 0. (2)∵ 二次函数 y= -(x-h) 2(h 是常数),当自变量 x 满足 2≤x≤5 时,其对应函数 y 的最大值为-1,∴ 若 h>5,则当 x= 5 时,y 最大,即-(5-h) 2 = - 1,解得 h1 = 4(舍去),h2 = 6;若 h<2,则当 x= 2 时,y 最大,即-(2-h) 2 = -1,解得 h3 = 1,h4 = 3(舍去);若 2<h<5,则最大值为 0,与题意不符. 综 上所述,h 的值是 6 或 1. 第 3 课时　 二次函数 y= a(x-h) 2 +k 的图象和性质 1. A　 2. C　 3. B　 【变式】D　 4. A　 5. (-1,-7)　 6. (3,6) 7. 该抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,10) . 8. D　 9. 26　 10. B　 11. -2≤y<6 12.解:由题意,设抛物线的解析式为 y = a(x-2) 2 +k(a≠0), 将( 0, 1 ), ( 1, 1. 6 ) 分 别 代 入, 得 4a+k= 1, a+k= 1. 6,{ 解 得 a= -0. 2, k= 1. 8,{ ∴ 抛物线的解析式为 y = - 0. 2(x- 2) 2 + 1. 8. 令 y= 1. 75,得-0. 2(x-2) 2 +1. 8 = 1. 75,解得 x = 2. 5 或 x = 1. 5,∴ 1. 5<m<2. 5. 13.解:(1)∵ 8-6 = 2,∴ 抛物线的顶点坐标为(2,3),设抛物 线的解析式为 y=a(x-2)2 +3, 把 A(8,0)代入,得 36a+3= 0, 解得 a=- 1 12 ,∴ 抛物线的函数表达式为 y= - 1 12 (x-2) 2 +3. (2)当 x= 0 时,y = - 1 12 × 4 + 3 = 8 3 > 2. 44,∴ 球不能射进 球门. (3)球员带球向正后方移动 n 米,则移动后的抛物线的解 析式为 y= - 1 12 (x-2-n) 2 + 3,把(0,2. 25)代入,得 2. 25 = - 1 12 (0-2-n) 2 +3,解得 n = - 5(舍去)或 n = 1,把(0,0)代 入,得 0 = - 1 12 (0-2-n) 2 +3,解得 n= -8(舍去)或 n = 4,即 1≤n≤4. 22. 1. 4　 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象和性质 1. B　 2. A 3.解:(1)∵ y= 2x2 -4x-1 = 2(x-1) 2 -3,∴ 二次函数的图象开 口向上,对称轴为 x= 1,顶点坐标为(1,-3) . (2)∵ y=(x+1)(x-2)= x2 -x-2 = (x- 1 2 ) 2 - 9 4 ,∴ 二次函数 的图象开口向上,对称轴为 x= 1 2 ,顶点坐标为( 1 2 ,- 9 4 ) . 4. C　 5. A 6.解:(1)y= 2x2 -4x-6 = 2(x2 -2x)-6 = 2(x-1) 2 -8. (2)当 y= 0 时,0 = 2(x-1) 2 -8, 解得 x1 = -1,x2 = 3, 故图象与 x 轴的交点坐标为( - 1, 0),(3,0) . 当 x= 0 时,y= -6, 故图象与 y 轴的交点坐标为(0,-6). 其图象如解图所示. (3) 当 x < 1 时, y 随 x 的增大而 减小. (4)当 x= -1 或 3 时,y= 0;当 x<-1 或 x>3 时,y>0;当-1<x<3 时,y<0. (5)当 x= 1 时,y= -8;当 x= 4 时,y= 10, 故当 0<x<4 时,y 的取值范围是-8≤y<10. (6)如解图所示. 以函数图象与两坐标轴的交点为顶点的 三角形的面积为 1 2 ×4×6 = 12. 7. C　 8. C　 9. B　 10. y2 <y1 <y3 　 11. -4　 12. 2 13.解:(1)把 A(-1,0)代入 y= ax2 -2ax-3,得 a+2a-3 = 0,解 得 a= 1,∴ 抛物线的解析式为 y = x2 - 2x- 3. ∵ y = x2 - 2x- 3 = (x-1) 2 -4,∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-4) . (2)∵ 点 P( x,y) 到 y 轴的距离不大于 2,∴ - 2≤x≤2, ∵ x= -2 时,y= x2 -2x-3 = 5;x= 2 时,y= x2 -2x-3 = -3;x = 1 时,y 有最小值-4,∴ 当-2≤x≤2 时,-4≤y≤5,即 n= -4, m= 5,∴ m-n= 5-(-4)= 9. 14.解:(1)∵ y2 = x 2 -x+1 = (x- 1 2 ) 2 + 3 4 ,∴ y2的图象的顶点坐 标为( 1 2 , 3 4 ),∴ y1 的顶点坐标为( - 1,- 3 2 ),∴ y1 = ( x+ 1) 2 - 3 2 (答案不唯一) . (2)y1 = x 2 +nx= (x+ n 2 ) 2 - n 2 4 ,y2 = 2x 2 -nx+1 = 2(x- n 4 ) 2 + 8-n2 8 ,由题意,得- n 2 4 = (-2)×8 -n2 8 ,解得 n= ±2. 第 2 课时　 用待定系数法求二次函数的解析式 1. y= 2x2 +x-2　 【变式】y= x2 -2x+2　 2. y= x2 -4x+5　 3. B 4. 该二次函数的解析式为 y= x2 +4x+3. 5. B　 6. D　 7. y= 2(x+1) 2 -2(答案不唯一) 8. (1)二次函数的解析式为 y= x2 +4x+6. (2)二次函数的解析式为 y= = - 3 2 x2 +3x+12. (3)二次函数的解析式为 y= 5x2 +20x+15. (4)二次函数的解析式为 y= -x2 +4x-3. 9. (1)点 A 的坐标为 (2,0),点 B 的坐标为(-4,0) . (2)抛物线的解析式为 y= 1 2 x2 +x-4. (3)平移后的抛物线解析式为 y= 1 2 (x+4) 2 -9. 小专题培优 3　 二次函数最值或函数值的 取值范围 1. C　 2. 5　 3. 当 x 为 1 3 时,该函数有最大值,最大值是 1 3 . 4. C　 5. C　 6. C　 7. C 8.解:晨晨同学的解答过程不正确. 理由如下:∵ y = x2 - 2x- 3 = (x-1) 2 -4,∴ 该二次函数的图象开口向上,顶点坐标是 (1,-4),∴ 当 x= 1 时,函数有最小值-4. ∵ 当 x = -2 时,y = 5;当 x = 5 时,y = 12,∴ 当- 2≤x≤5 时,y 的取值范围为 -4≤y≤12. 9. A　 10. C　 11. D 12.解:∵ y= -4x2 +4nx-4n-n2 = -4(x- n 2 ) 2 -4n,∴ 该二次函 数的图象开口向下,对称轴为直线 x= n 2 ,当 n 2 < 1 2 ,即 n< 1 时,在 x= 1 时 y 取最小值(如解图 1),∴ -4+4n-4n-n2 = -5,解得 n1 = - 1,n2 = 1(不合题意,舍去);当 n 2 ≥ 1 2 ,即 n≥1 时,在 x= 0 时 y 取最小值(如解图 2,解图 3),∴ -4n -n2 = -5,解得 n3 = 1,n4 = -5(不合题意,舍去) . 综上所述, n 的值为-1 或 1. 解图 1 　 　 解图 2 　 　 解图 3 小专题培优 4　 二次函数解析式的求法 1. 抛物线的解析式为 y= -x2 +4x+5. 2. 抛物线的解析式为 y= 2x2 +3x-4. 3. 该抛物线的解析式为 y= 1 2 (x+1) 2 -3. 4. y= (x+2) 2 +1　 5. y= 2(x-2) 2 +1 6. y= -x2 +4x-3　 7. 1 2 　 -1 8. (1)y= - 1 2 x2 -x+ 3 2 (2)将该二次函数图象向右平移 3 个单位长度,可使平移 后所得图象经过坐标原点,平移后所得图象与 x 轴的另一 个交点的坐标为(4,0) . 小专题培优 5　 二次函数与线段问题 1.解:(1)∵ 抛物线的解析式为 y= -x2 +4x+5, ∴ C(0,5),B(5,0),∴ BC= 52 +52 = 5 2 . (2)如解图,连接 PB. ∵ 点 A 与点 B 关于直线 l 对称, ∴ PA+PC=PB+PC, 当点 C,P,B 共线时,PB+PC =BC 为 最小值,即为 PA+PC 的最小值. 由(1)可知,C(0,5),B(5,0), 易得直线 BC 的解析式为 y= -x+5, ∵ 对称轴 l 为直线 x= 2,且当 x= 2 时,y= -2+5 = 3, ∴ 当 PA+PC 的值最小时,点 P 的坐标为(2,3) . 2.解:(1)由题意,得 c= -3, 9+3b+c= 0,{ 解得 b= -2, c= -3,{ ∴ 抛物线的解析式为 y= x2 -2x-3. (2)设直线 AB 的解析式为 y = kx+n(k≠0),将 B(0,- 3), A(3,0)代入,得 n= -3, 3k+n= 0,{ 解得 n= -3, k= 1,{ ∴ 直线 AB 的解析 式为 y= x-3,设 P(m,m2 -2m- 3),则 D(m,m- 3),∵ D 为 CP 的 三 等 分 点, ∴ CD = 1 3 CP 或 CD = 2 3 CP, 即 -(m-3) -(m2 -2m-3) = 1 3 或 -(m-3) -(m2 -2m-3) = 2 3 ,解得 m = 2 或 m = 1 2 ,当 m= 2 时,m2 - 2m- 3 = - 3,当 m = 1 2 时,m2 - 2m- 3 = -15 4 ,∴ 点 P 的坐标为(2,-3)或( 1 2 ,-15 4 ) . 小专题培优 6　 二次函数与面积问题 1. 4 2.解:设 Q(m,-m2 +3m+4),△QAB 的面积 为 S,如解图,连接 OQ,则 S=S△OBQ +S△OAQ - S△OAB = 1 2 OB·m+ 1 2 OA·(-m2 +3m+4) - 1 2 OA · OB, 又 ∵ OA = OB = 4, ∴ S = -2m2 +8m= -2(m-2) 2 +8,∴ 当 m= 2 时,S最大 = 8,此时-m 2 + 3m+4 = 6,∴ Q(2,6) . 3.解:(1)抛物线的解析式为 y= (x-1) 2 -4. (2)令 y= 0,得(x-1) 2 -4 = 0,解得 x1 = -1,x2 = 3,∴ A( -1, 0),B(3,0) . (3)存在. 由(2)知,AB= 4,∴ S△MAB = 1 2 ×4×4 = 8,则 S△PAB = 5 4 S△MAB = 10,∴ 1 2 ×4 | yP | = 10,则 | yP | = 5. ∵ 点 P 在抛物线 y= (x-1) 2 -4 上,∴ yP≥-4,∴ yP = 5,由(x-1) 2 -4 = 5,解得 x1 = -2,x2 = 4,∴ 存在满足条件的点 P,其坐标为( -2,5)或 (4,5) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案