21.3 第1课时 传播、循环、数学问题-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

16　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 21. 3　 实际问题与一元二次方程 第 1 课时　 传播、循环、数字问题 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　传播问题 1. 某病毒传染性极强,如果有 1 人患病,经过两轮 传染后有 361 人患病,设每轮传染中平均一个人 传染了 x 个人,下列方程正确的是 ( A ) A. (1+x) 2 = 361　 　 　 　 B. x2 = 361 C. 1+x+x2 = 361 D. x(1+x)= 361 2. 鸡瘟是一种传播速度很强的传染病,一轮传染 为一天时间,某养鸡场某日发现一例,两天后发 现共有 169 只鸡患有这种病. 若每只病鸡传染健 康鸡的只数均相同,设每只病鸡传染健康鸡的只 数为 x,则可列方程为　 1+x+x(1+x)= 169　 . 知识点 2　循环问题 3. 一个班级里共有 x 人,每人都分别给班里的其 他同学发一条信息,共发信息 1 980 条,则可列 方程为 ( B ) A. 1 2 x(x-1)= 1 980 B. x(x-1)= 1 980 C. 1 2 x(x+1)= 1 980 D. x(x+1)= 1 980 4. 为响应“足球进校园”的号召,某校组织足球比 赛,赛制为单循环形式(每两个队之间都要比 赛一场),计划安排 28 场比赛,则参赛的足球 队个数为 ( C ) A. 6　 　 　 　 B. 7　 　 　 　 C. 8　 　 　 　 D. 9 5. 一次足球联赛,赛制为双循环形式(每两队之 间都赛两场),共要比赛 90 场,共有多少个队 参加比赛? 解:设共有 x 个队参加比赛. 由题意,得 x(x-1)= 90,即(x-10)(x+9)= 0, 解得 x1 =10,x2 =-9(不符合题意,舍去) . 答:共有 10 个队参加比赛. 知识点 3　数字问题 6. 一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大 3,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数 大 18.设个位数字为 x,则可列方程为 ( B ) A. x2 +(x-3) 2 = 10(x-3) +x-18 B. x2 +(x-3) 2 = 10(x-3) +x+18 C. x2 +(x-3) 2 = 10x+x-3-18 D. x2 +(x+3) 2 = 10(x+3) +x+18 7. (教材 P21 习题 T2 改编)若两个连续负偶数的 积为 528,则这两个负偶数的和为 ( B ) A. -50　 　 B. -46　 　 C. -48　 　 D. -44 8. 有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一 少,其和等于 20,积等于 96,多的一笔被许诺 赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱? 解:设赛义德得到的钱数为 x,则少的一笔的钱 数为 20-x. 根据题意,得 x(20-x)= 96. 解得 x1 =12,x2 =8(舍去) . 答:赛义德得到的钱数为 12. 二阶 能力提升强化练 9. (教材 P22 习题 T4 改编)某种植物的主干长出 若干个数目的支干,每个支干又长出同样数目 的小分支,主干、支干和小分支的总数是 111, 则每个支干长出　 10　 个小分支. 【变式】张小武同学建立了一个名为“正能量”的 微信群. 这个微信群里有若干个好友,每个好 友都分别给群里其他好友发送了一条充满正 能量的消息,这样共有 870 条消息. 这个微信 群里共有　 30　 个好友. 10. 新定义 流行病学中有一个叫做基本传染 数 R0 的数字,简单来说,就是一个人在一个 周期内会感染几个人. 有一个人感染了某病 毒,经过两个周期的传染后共有 36 人感染, 则该病毒的基本传染数 R0 为　 15　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 九上·第二十一章 17　 11. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签 订一份合同,所有公司共签订了 45 份合同, 共有多少家公司参加商品交易会? 解:设共有 x 家公司参加商品交易会,由题意, 得 x(x-1) 2 =45,解得 x1 =10,x2 =-9(舍去). 答:共有 10 家公司参加商品交易会. 12. 有一个人患了流感,经过两轮传染后有若干 人被传染上流感. 假设在每轮的传染中平均 一个人传染了 x 个人. (1)第二轮被传染上流感的人数是　 x(x+1) 　 (用含 x 的代数式表示); (2)在进入第二轮传染之前,如果有 4 名患者 被及时隔离(未治愈),经过两轮传染后是否 会有 81 人患病的情况发生,并说明理由. 解:经过两轮传染后会有 81 人患病的情况发 生,理由如下: 依题意,得 1+x+x(x+1-4)= 81, 整理,得 x2-2x-80=0, 解得 x1 =10,x2 =-8(不符合题意,舍去) . ∵ x1 =10 为正整数, ∴经过两轮传染后会有 81人患病的情况发生. 13. 已知整数 a 与 b 的平方之和可以表示为 a2 + b2,现有两个连续的正整数: (1)若这两个连续的正整数中,较小的数是 3,求它们的平方之和是多少? (2)若这两个连续正整数的平方之和是 41, 求这两个正整数分别是多少? 解:(1)∵较小的数是 3,∴较大的数是 4, ∴它们的平方之和是 32+42 =25. 答:它们的平方之和是 25. (2)设较小的正整数是 x,则较大的正整数是 x+1, 根据题意,得 x2+(x+1) 2 =41, 整理,得 x2+x-20=0, 解得 x1 =4,x2 =-5(不符合题意,舍去), ∴ x+1=4+1=5. 答:这两个正整数分别是 4 和 5. 三阶 素养创新综合练 14. 我们都知道连接多边形任意不相邻的两点的 线段成为多边形的对角线,也都知道四边形 的对角线有 2 条,五边形的对角线有 5 条. (1)六边形的对角线有　 9　 条,七边形的对 角线有　 14　 条; (2)多边形的对角线可以共有 20 条吗? 如果 可以,求出多边形的边数,如果不可以,请说 明理由. 解:设此多边形的边数为 n,由题意,得 n(n-3) 2 =20, 整理,得 n2-3n-40=0. 解得 n1 =8,n2 =-5(不符合题意,舍去) . 答:八边形的对角线可以共有 20 条. 15. (教材 P23 数学活动改编)如图是一个三角点 阵,从上往下数有无数多行,其中第一行有 1 个点,第二行有 2 个点……第 n 行有 n 个点. (1)前 8 行的点数和为　 36　 ,用含 n 的式子 表示前 n 行的点数和为　 　 　 　 　 　 ; (2) 根据( 1) 的结论,前 n 行的点数和能是 100 吗? 如果能,请求出 n 的值;如果不能,请 说明理由. 解:前 n 行的点数和不能是 100. 理由如下: 假设前 n 行的点数和是 100,则n(n +1) 2 =100, 即 n2+n-200=0, 解得 n= -1± 12-4×(-200) 2 =-1±3 89 2 . ∵n 为整数,∴前 n 行的点数和不能是 100. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22　 6. (1)2　 1　 > (2)解:M<N. 理由如下:∵ M= 2 9 a-1,N=a2 - 7 9 a,∴ N-M = a2 - 7 9 a-( 2 9 a-1)= a2 -a+1 = a2 -a+ 1 4 - 1 4 + 1 = (a- 1 2 ) 2 + 3 4 . ∵ (a- 1 2 ) 2 ≥0,∴ (a- 1 2 ) 2 + 3 4 >0,即 N-M>0,∴ M<N. 7. (1)-1　 -5　 (2)1　 -5 (3)解:-x2 -4x-8 = -(x2 +4x+4-4+8)= -(x+2) 2 -4. ∵ (x+ 2) 2 ≥0,∴ 当 x= -2 时,-x2 -4x-8 有最大值,最大值为-4. 小专题培优 2　 方程的拓展解法—阅读材料型 1.解:(1)设 1 x =a,则 a2 -5a+6 = 0,解得 a1 = 2,a2 = 3,∴ 1 x = 2 或 1 x = 3,解得 x1 = 1 2 ,x2 = 1 3 ,经检验,x1 = 1 2 ,x2 = 1 3 是原 分式方程的解. (2)设 x2 = y,则原方程化为 y2 -2y-3 = 0,解得 y1 = -1,y2 = 3. 当 y= -1 时,x2 = -1,此时方程无实数根;当 y = 3 时,x2 = 3,解得 x1 = 3 ,x2 = - 3 . ∴ 原方程的解是 x1 = 3 ,x2 = - 3 . 2.解:(1)x2 +3x+2 = 0,(x+1)(x+2)= 0,所以 x1 = -1,x2 = -2. (2)x2 -5x+6 = 0,(x-2)(x-3)= 0,所以 x1 = 2,x2 = 3. (3)x2 -5x-6 = 0,(x-6)(x+1)= 0,所以 x1 = 6,x2 = -1. (4)原方程可化为 x2 -7x-18 = 0,(x+2)(x-9)= 0,所以 x1 = -2,x2 = 9. 21. 3　 实际问题与一元二次方程 第 1 课时　 传播、循环、数字问题 1. A　 2. 1+x+x(1+x)= 169　 3. B　 4. C 5. 共有 10 个队参加比赛. 　 6. B　 7. B 8. 赛义德得到的钱数为 12. 　 9. 10　 【变式】30　 10. 5 11. 共有 10 家公司参加商品交易会. 12. (1)x(x+1) (2)解:经过两轮传染后会有 81 人患病的情况发生,理由 如下:依题意,得 1+x+x( x+ 1- 4) = 81,整理,得 x2 - 2x- 80 = 0,解得 x1 = 10,x2 = - 8(不符合题意,舍去) . ∵ x1 = 10 为正整数,∴ 经过两轮传染后会有 81 人患病的情况发生. 13. (1)它们的平方之和是 25. (2)这两个正整数分别是 4 和 5. 14. (1)9　 14 (2)解:设此多边形的边数为 n,由题意,得n(n -3) 2 = 20,整 理,得 n2 -3n-40 = 0. 解得 n1 = 8,n2 = - 5(不符合题意,舍 去) . 答:八边形的对角线可以共有 20 条. 15. (1)36　 n(n +1) 2 (2)解:前 n 行的点数和不能是 100. 理由如下:假设前 n 行的点数和是 100,则n(n +1) 2 = 100, 即 n2 + n - 200 = 0, 解 得 n = -1± 12 -4×(-200) 2 = -1±3 89 2 . ∵ n 为整数,∴ 前 n 行的点数和不能是 100. 第 2 课时　 平均变化率、销售利润问题 1. B　 2. B　 3. 平均每年的增产率为 10%. 4. C　 5. 每顶头盔的售价是 70 元. 6.解:(1)当每台彩电降价 x 元时,每天彩电的销量为 8+ 6× x 75 = (8+ 2 25 x)台. (2)根据题意,得(3 900-x-3 500) (8+ 2 25 x) = 5 000,整理, 得 x2 -300x+22 500 = 0,解得 x1 = x2 = 150. 答:每台彩电应降 价 150 元. 7. D 8.解:设当每个粽子的售价为 x 元时,超市每天的销售利润为 800 元. 根据题意,得(x-3) (500-10×x -4 0. 1 )= 800,解得 x1 = 7,x2 = 5. ∵ 售价不能超过进价的 200%,∴ 3<x≤3× 200%, 即 3<x≤6,∴ x= 5. 答:当每个粽子的售价为 5 元时,超市每 天的销售利润为 800 元. 9. (1)y= 10x+100 (2)解:根据题意,得(60-x- 40) (10x+ 100) = 1 760,整理, 得 x2 -10x-24 = 0,解得 x1 = 12,x2 = -2(不符合题意,舍去), ∴ 60- x = 60 - 12 = 48. 答:这种排球每个的实际售价是 48 元. 10. (1)30　 50 (2)解:设每箱“沃柑”的售价降低了 m 元,根据题意,得 (50-m)×(1-60%)(100+4× m 2 ) +30×60%×(100+4× m 2 )= 4 080,整理,得 m2 -45m+350 = 0,即(m-10) (m- 35) = 0, 解得 m1 = 10,m2 = 35. 又∵ 50-m≥30,∴ m≤20,∴ m = 10. 答:每箱“沃柑”的售价降低了 10 元. 第 3 课时　 面积问题 1. C　 2. 8 3.解:由题意,得 2(x2 -4)= x2 +2x,整理,得 x2 -2x-8 = 0,解得 x1 = 4,x2 = -2(不符合题意,舍去),∴ x 2 -4 = 12,x2 +2x = 24, 则铁丝的总长为 12×6+24×6 = 216(cm) . 4. B　 【变式】C 5. 这块台布的长约为 7. 7 尺,宽约为 4. 7 尺. 6. C　 【解析】∵ 垂直于墙的一边长为 x 米,∴ 平行于墙的一 边长为 ( 40 - 2x) 米, 则 x ( 40 - 2x) = 198, 故 A 错误; ∵ x>0, 0<40-2x≤20,{ 解得 10 ≤ x < 20,故 B 错误;对于方程 x(40-2x) = 198,化简,得 x2 - 20x+ 99 = 0,解得 x1 = 9,x2 = 11,∵ 10≤x< 20,∴ x = 11,故只有一种围法,故 C 正确、D 错误. 7.解:设 AB= x m,则 BC= (22-3x+2)m,由题意,得 x(22-3x+ 2)= 45,整理,得 x2 - 8x+ 15 = 0,解得 x1 = 3,x2 = 5. 当 x = 3 时,22- 3x+ 2 = 15> 14,不符合题意,舍去;当 x = 5 时,22- 3x+2 = 9,符合题意. 答:若花圃的面积刚好为 45 m2 ,则此时 花圃的 AB 段长为 5 m. 8.解:(1)设 BC = x m,则 AB = (33- 3x) m,依题意,得 x(33- 3x)= 90,解得 x1 = 6,x2 = 5. 当 x = 6 时,33- 3x = 15,符合题 意;当 x= 5 时,33-3x= 18,18>15,不符合题意,舍去. 答:鸡 场的长(AB)为 15 m,宽(BC)为 6 m. (2)不能,理由如下:设 BC = y m,则 AB = (33- 3y) m,依题 意,得 y(33- 3y) = 100,整理,得 3y2 - 33y+ 100 = 0. ∵ Δ = (-33) 2 -4×3×100 = -111<0,∴ 该方程无实数根,即该扶贫 单位不能建成一个 100 m2 的矩形养鸡场. 9. (1)30 (2)解:设小道的宽度为 y m,则栽种鲜花的区域可合成长 (30-y) m,宽(30-1-y) m 的矩形,依题意,得(30-y) (30- 1-y)= 812,整理,得 y2 -59y+ 58 = 0,解得 y1 = 1,y2 = 58(不 符合题意,舍去) . 答:小道的宽度为 1 m. 10. ( 5 -1 2 ) 3 11.解:设竹竿的长为 x 米,则城门的高为(x-2)米,宽为(x- 4)米,由题意,得(x-4) 2 +(x- 2) 2 = x2 ,解得 x1 = 10,x2 = 2 (不符合题意,舍去) . 答:竹竿的长是 10 米. 12.解:(1)当运动时间为 t s 时,CP= 2t cm,CQ = (16-4t) cm, 根据题意,得 1 2 ×2t(16- 4t) = 1 4 × 1 2 × 8× 16,整理,得 t2 - 4t+4 = 0,解得 t1 = t2 = 2. ∴ t 的值为 2. (2)△PCQ 的面积不能与四边形 ABPQ 的面积相等. 理由 如下:当运动时间为 t s 时,CP = 2 t cm,CQ = (16- 4 t)cm, 根据题意,得 1 2 ×2t(16- 4t) = 1 2 × 1 2 × 8× 16,整理,得 t2 - 4t+8 = 0. ∵ Δ= (-4) 2 -4×1×8 = -16<0,∴ 该方程没有实数 根,∴ △PCQ 的面积不能与四边形 ABPQ 的面积相等. 第二十一章　 整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 ①二元一次方程　 ②分母　 ③a= 0 或 b= 0　 ④0 1. (1)x= 4. 　 (2)x= - 1 3 . 2. (1)原方程组的解为 x= 5, y= 2.{ 　 (2)原方程组的解为 x= 3, y= -1.{ 3. (1)x= -1 是原分式方程的解. 　 (2)原分式方程无解. 4. (1)x1 = 2,x2 = -2. 　 (2)x1 = 3+ 5 2 ,x2 = 3- 5 2 . (3)x1 = -3- 10 ,x2 = -3+ 10 . 　 (4)x1 = 1,x2 = 6. 5. (1)当 m= 1 时,此方程是一元一次方程. (2)当 m≠1 时,此方程是一元二次方程. 二阶　 广西中考抢先练 1. C　 2. C　 3. B　 4. B　 5. C　 6. x1 = 3,x2 = -3 7. x1 = 0,x2 = 1 2 　 8. A　 9. D　 10. A　 11. 2 12. (1)证明略. 　 (2)k= -3. 　 13. B　 14. 48 15. (1)2t　 (5-t)　 (2)当 t= 0 或 2 时,PQ 的长度等于 5 cm. (3)存在. 当 t= 1 时,五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2 . 第二十二章　二次函数 22. 1　 二次函数的图象和性质 22. 1. 1　 二次函数 1. C　 2. B　 3. 3 4.解:(1)y= 3-2x2 是二次函数,其中 a= -2,b= 0,c= 3. (2)y=x(x-1)+1=x2-x+1 是二次函数,其中 a=1,b=-1,c=1. (3)y= 2x(1-x)+2x2 不是二次函数. 5. A　 6. y= x(x -1) 2 7. S= 4π x2 +20π x+25π　 【变式】y= 16π-πx2 　 0<x<4 8. y 与 x 之间的关系式为 y= x2 +7x. 9. B　 10. D　 11. C 12. (1)当 m= ±2 2时,此函数是正比例函数. (2)当 m= 3 时,此函数是二次函数. 13.解:(1)圆柱的表面积 S 与圆柱的底面直径 x 之间的关系 式为 S= 1 2 π x2 +10π x,是二次函数. (2)圆柱的表面积增加了 102π cm2 . 14. 乙的说法正确. 理由略. 22. 1. 2　 二次函数 y=ax2 的图象和性质 1. A　 2. A　 3. B　 4. B　 5. k>-1　 6. -1 7. (1)画图略. (2)①抛物线　 y 轴　 (0,0)　 ② ①②　 ③④　 越小 越大　 ③y= -4x2 　 x 轴　 ④高　 x<0　 x>0 8. (1)a= 3. 　 (2)把 x= 3 代入 y= 3x2 ,得 y= 3×32 = 27. (3)抛物线的开口向上;抛物线的顶点是坐标原点;当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大. (答案不唯一,也可以是:抛物线 有最低点;当 x= 0 时,y 有最小值,最小值是 0 等) 9. D　 10. a>b>d>c　 11. 2π　 12. 2 13. (1)k= -3. 　 (2)n 的取值范围是-4≤n≤0. 14. (1)A( 3 ,1),C(- 3 ,1) . (2)菱形 OABC 的面积为 2 3 . 22. 1. 3　 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +k 的图象和性质 1. C　 2. B　 3. C　 4. B　 5. D　 6. y 轴 7. (1)(1,0)或(-1,0)　 (2)(0,-3)　 (3)增大　 减小 (4)小　 小　 -3 8. y3 <y2 <y1 　 9. B　 10. y= 1 2 x2 -1 11.解:(1)平移后的图象的解析式为 y= -x2 +2, 其顶点坐标为(0,2),对称轴为 y 轴. (2)当 x= 0 时,平移后的图象所对应的函数有最大值,最 大值为 2. 12. 能. 理由略. 　 13. A　 14. D　 15. -7 16.解:(1)∵ 把抛物线 y=ax2 +c 向下平移 3 个单位长度后得 到抛物线 y= -2x2 -1,∴ a= -2,c-3 = -1,∴ c = 2,∴ 平移前 的抛物线的解析式为 y= -2x2 +2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案