21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

21　 　 　 　 参考答案·广西数学 分层作业本 九年级上册 第二十一章　一元二次方程 21. 1　 一元二次方程 1. C　 2. B 【变式】解:(1)4x2 -81 = 0. 　 4,0,-81. (2)3x2 -7x+1 = 0. 　 3,-7,1. 3. B　 4. A　 5. 2 031. 6.解:(1)∵ 矩形的长为 x,长比宽多 2,∴ 矩形的宽为(x-2) . 依题意,得 x(x-2)= 100,即 x2 -2x-100 = 0. (2)∵ 较长的直角边长为 x,两条直角边长相差 2,∴ 较短的 直角边长为(x-2) . 依题意,得 x2 +(x-2) 2 = 102 ,即 x2 -2x- 48 = 0. 7. B　 8. B 21. 2　 解一元二次方程 21. 2. 1　 配方法 第 1 课时　 直接开平方法 1. D　 2. 4(答案不唯一,只要 a≥3 即可) 3. (1)y1 = 5 2 ,y2 = -5 2 . 　 (2)方程无实数解. (3)x1 = 10,x2 = -10. 4. C　 5. x+6 = -4 6. (1)x1 = - 8 3 ,x2 = 4 3 . 　 (2)x1 = 1. 1,x2 = -0. 5. 7. ± 1 2 8. (1)x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 . 　 (2)x1 = -7,x2 = - 5 7 . 9.解:∵ 方程 x2 +(m-1)x+m-10 = 0 的一个根是 3,∴ 9+3(m- 1)+m-10 = 0,即 4m-4 = 0,解得 m = 1,∴ 方程为 x2 -9 = 0, 解得 x= ±3,∴ 另一个根为-3. 10.解:∵ (x-3) 2 = 1,∴ x-3 = ±1,解得 x1 = 4,x2 = 2. ∵ 一元二 次方程(x-3) 2 = 1 的两个根恰好分别是等腰三角形 ABC 的底边长和腰长,∴ 当底边长和腰长分别为 4 和 2 时,4 = 2+2,此时不能构成三角形;当底边长和腰长分别是 2 和 4 时,能构成三角形,∴ △ABC 的周长为 2+4+4 = 10. 11.解:∵ a※b=a2 -b2 ,∴ (x+2)※5 = (x+2) 2 -25. ∵ (x+2) ※ 5 = 0,∴ (x+2) 2 -25 = 0,即(x+2) 2 = 25,∴ x+2 = 5 或 x+2 = -5,∴ x1 = 3,x2 = -7. 12.解:(1)5　 3　 2　 -12 (2)原方程可变形为[(x+2)-4][(x+2)+4] = 4,(x+2) 2 - 42 = 4,(x+2) 2 = 4+42 ,解得 x1 = -2+2 5 ,x2 = -2-2 5 . 第 2 课时　 配方法 1. C　 2. (1) 1 4 　 1 2 　 (2) 9 4 　 3 2 　 (3)1　 1　 (4) 1 25 　 1 5 3. 1　 4. B　 5. D 6. (1)x1 = 2+ 10 3 ,x2 = 2- 10 3 . 　 (2)x1 = 1+ 7 6 ,x2 = 1- 7 6 . (3)x1 = 2,x2 = -1. 　 (4)原方程无实数根. 7. B　 8. 1 或-3 9. (1)降次　 完全平方公式　 (2)等式的基本性质　 (3)三 (4)x1 = 7 -2,x2 = - 7 -2. 10.解:(1)3 (2)x2 +10x+32 = x2 + 10x+ 52 - 52 + 32 = ( x+ 5) 2 + 7. ∵ ( x+ 5) 2 ≥0,∴ (x+ 5) 2 + 7≥7,∴ 当(x+ 5) 2 = 0 时,(x+ 5) 2 + 7 的值最小,最小值为 7,∴ x2 +10x+32 的最小值为 7. (3)- 1 3 x2 +2x+5 = - 1 3 (x2 -6x+9)+8 = - 1 3 (x-3) 2 +8. ∵ - 1 3 (x-3) 2 ≤0,∴ - 1 3 (x-3) 2 +8≤8,∴ 代数式- 1 3 x2 + 2x+5 有最大值,最大值为 8. 21. 2. 2　 公式法 第 1 课时　 一元二次方程根的判别式 1. C　 2. D　 3. B　 4. A　 5. 64 6. (1)此方程无实数根. (2)方程有两个相等的实数根. (3)方程有两个不相等的实数根. (4)此方程无实数根. 7. C　 8. C　 9. D　 10. k<-1　 11. 3　 【变式】1　 12. A　 13. C 14.证明:当 m = 0 时,方程为- 2x+ 2 = 0,此时方程有解,解为 x= 1;当 m≠0 时,Δ = ( - 2) 2 - 4m( 2 -m) = 4 - 8m+ 4m2 = 4(m2 -2m+1)= 4(m-1) 2 ≥0,此时方程有实数根. 综上所 述,不论 m 为何值时,方程总有实数根. 15. (1)①③ (2)证明:∵ 一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)为“和谐方 程”,∴ b=a+c,∴ b2 -4ac= (a+c) 2 -4ac= (a-c) 2 ≥0,∴ “和 谐方程”总有实数根. (3)解:∵ 一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0) 为“和谐方 程”,∴ b=a+c. ∵ “和谐方程”ax2 +bx+c= 0(a≠0)有两个相 等的实数根,∴ b2 -4ac=(a+c) 2 -4ac=(a-c) 2 = 0,∴ a=c. 第 2 课时　 公式法 1. A　 2. C　 3. C　 4. 5 -1 2 　 5. 1　 -4　 3 6. (1)x1 = 2+ 6 2 ,x2 = 2- 6 2 . 　 (2)x1 = 7+ 53 2 ,x2 = 7- 53 2 . (3)方程无实数根. 7. C　 8. 1 或 2　 9. 12 10. 1 - 17 2 　 【解析】根据题意,得 x2 +x-(2x-1)= 5,整理,得 x2 -x-4 = 0,∵ a= 1,b= -1,c= -4,∴ Δ = (-1) 2 -4×1×( -4) = 17>0,则 x= -b± b2 -4ac 2a = 1± 17 2 ,∴ x1 = 1+ 17 2 ,x2 = 1- 17 2 ,∵ 点 A 在数轴的负半轴,∴ 2x - 1 < 0,即 x< 1 2 , ∴ x= 1 - 17 2 . 11.解:根据题意,得 x2 -13x+12+4x2 -18 = 0,整理,得 5x2 -13x -6 = 0. ∵ b2 - 4ac = ( - 13) 2 - 4 × 5 × ( - 6) = 289 > 0,∴ x = 13± 289 2×5 = 13±17 10 ,解得 x1 = 3,x2 = - 2 5 . 12.解:(1)当 m= 0 时,方程为 x2 +x-1 = 0. ∵ Δ = 12 -4×1×( - 1)= 5>0,∴ x= -1± 5 2×1 ,∴ x1 = -1+ 5 2 ,x2 = -1- 5 2 . (2)∵ 方程有两个不相等的实数根,∴ Δ> 0,即 12 - 4× 1× (m-1)= 1-4m+4 = 5-4m>0,∴ m< 5 4 . 13.解:(1)∵ ∠ACB= 90°,BC= a 2 ,AC= b,∴ AB= b2 + a2 4 , ∴ AD= b2 + a2 4 - a 2 = 4b 2 +a2 -a 2 . (2)用求根公式解得 x1 = - 4b2 +a2 -a 2 ,x2 = 4b2 +a2 -a 2 . 正确性:AD 的长就是方程的正根. 遗憾之处:图解法不能表示方程的负根. 21. 2. 3　 因式分解法 1. A　 2. D　 【变式】x1 = 0,x2 = 2　 3. A　 4. A 5. (1)x1 = 1 4 ,x2 = - 7 5 . 　 (2)x1 = -2,x2 = 3. (3)x1 = - 3 2 ,x2 = 1 2 . (4)2(x-3) 2 = (x+3)(x-3),即(x-3)(x-9)= 0, ∴ x-3 = 0 或 x-9 = 0,∴ x1 = 3,x2 = 9. 6. D　 【变式】直接开平方法　 配方法　 公式法　 因式分解法 7. (1)x1 = 6,x2 = -8. 　 (2)x1 = -3+ 17 4 ,x2 = -3- 17 4 . (3)x1 = 4,x2 = -2. 　 (4)x1 = -1,x2 = 1. 8. A 9. 17　 【解析】(x-7)(x- 3) = 0,x- 3 = 0 或 x- 7 = 0,∴ x1 = 3, x2 = 7,∴ 当等腰三角形的腰为 3,底边为 7 时,3+3 = 6<7,不 符合题意;当等腰三角形的腰为 7,底边为 3 时,3 + 7 > 7, ∴ 等腰三角形的周长为 7+7+3 = 17. 10. x1 = 1,x2 = -1. 11.解:∵ x2 -2x= 0,∴ x(x-2)= 0. 又∵ x1 <x2 ,∴ x1 = 0,x2 = 2, ∴ x21 -2x 2 2 = 0 2 -2×22 = -8. 12. 小花坛的边长为(5+5 2 )m. 13. (1)-6　 1　 (2)原方程组的解为 x1 = -1, y1 = -4, { x2 = 4, y2 = 1. { ※21. 2. 4　 一元二次方程的根与系数的关系 1. C　 2. C　 3. D 4.解:(1)3x2 -x-1 = 0. x1 +x2 = 1 3 ,x1x2 = - 1 3 . (2)2x2 +6x-2 = 0. x1 +x2 = -3,x1x2 = -1. 5. B 6.解:设方程的另一个根为 x2 . ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 + bx= -9 的一个根是-1,∴ (-1) 2 -b+9 = 0,解得 b= 10. 又∵ -1×x2 = 9,∴ x2 = -9,即方程的另一个根是-9. 7. A　 8. D　 9. D 10. B　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+1-2m = 0 的 两个实数根之积为负数,∴ Δ= 22 -4×1×(1-2m)>0, 1-2m<0,{ 解得 m> 1 2 ,∴ 实数 m 的取值范围是 m> 1 2 . 11. D　 【解析】由条件可知 a2 + 2 026a- 4 = 0,a+b = -2 026, ∴ a2 +2 026a= 4,∴ a2 +2 025a-b = a2 +2 026a-(a+b) = 4- (-2 026)= 4+2 026 = 2 030. 12. B　 【解析】设一元二次方程为 x2 +bx+c = 0,∵ 甲同学看错 了常数项,得到方程的两根是 8 和 2,∴ 甲同学的两根满 足一次项系数,∴ b = -(8+2)= -10;∵ 乙同学写错了一次 项系数,得到方程的两根为-9 和-1,∴ 乙同学的两根满足 常数项,∴ c= (-1)×(-9)= 9,∴ 该方程为 x2 -10x+9 = 0. 13. 4 14. (1)证明:∵ x2 -ax+a- 2 = 0,∴ Δ = (-a) 2 - 4(a- 2) = a2 - 4a+8 = (a-2) 2 +4>0,∴ 无论 a 为何值,该方程总有两个不 相等的实数根. (2)解:不存在. 理由如下:∵ (x1 -1) (x2 -1) = a 2 ,∴ x1x2 - x1 -x2 +1 =a 2 ,即 x1x2 -(x1 +x2 )+1 =a 2 . ∵ x1 +x2 =a,x1x2 = a- 2,∴ a-2-a+1 = a2 ,即 a2 = -1,∴ 不存在实数 a,使得(x1 - 1)(x2 -1)= a 2 . 15. (1)3　 1　 -5　 6 (2)解:∵ a,b 满足 a2 -5a+ 3 = 0,b2 - 5b+ 3 = 0,∴ a,b 是方 程 x2 -5x+3 = 0 的解. 当 a≠b 时,a+b= 5,ab= 3,∴ a b + b a = a2 +b2 ab = (a+b) 2 -2ab ab = 5 2 -2×3 3 = 19 3 ;当 a= b 时,原式 = 2. 综 上所述, a b + b a 的值为 19 3 或 2. 小专题培优 1　 配方法的应用 1. x1 = 1+ 6 ,x2 = 1- 6 . 　 2. 25　 【变式】±20　 3. C 4. D　 【解析】x2 +y2 -10x+8y+41 = x2 -10x+25+y2 +8y+16 = (x- 5) 2 +(y+4) 2 . ∵ (x-5) 2 ≥0,(y+4) 2 ≥0,∴ (x-5) 2 +(y+4) 2 ≥0. 5. A　 【解析】根据题意,得 M= 2a2 -5a+1,N=a2 -6,故 M-N = 2a2 -5a+1-a2 +6 =a2 -5a+7 = (a- 5 2 ) 2 + 3 4 . ∵ (a- 5 2 ) 2 ≥0, ∴ (a- 5 2 ) 2 + 3 4 >0,∴ M>N. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案 12　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) ※ 21. 2. 4　一元二次方程的根与系数的关系 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　利用根与系数的关系求两根之和与 两根之积 1. 已知 x1,x2 是方程 x2 - 9x+ 11 = 0 的两个实数 根,则代数式 x1x2 的值是 ( C ) A. 9　 　 　 B. -9　 　 　 C. 11　 　 　 D. -11 2. 方程 x2 +x= 5x+6 的两个实数根的和与积分别 是 ( C ) A. -5,6 B. -4,6 C. 4,-6 D. -1,6 3. 如果关于 x 的一元二次方程 x2 +px+q = 0 的两 根分别为 x1 = 3,x2 = 1,那么这个一元二次方程 是 ( D ) A. x2 +3x+4 = 0 B. x2 +4x-3 = 0 C. x2 +3x-4 = 0 D. x2 -4x+3 = 0 4. (教材 P17 习题 T7 改编)利用根与系数的关 系,求下列方程的两根之和、两根之积: (1)x(3x-1) -1 = 0; (2)(2x+5)(x+1)= x+7. 解:(1)3x2-x-1=0. x1+x2 = 1 3 ,x1x2 =- 1 3 . (2)2x2+6x-2=0. x1+x2 =-3,x1x2 =-1. 知识点 2　已知一根求另一根及待定字母的 取值 5. 若 x= -1 是方程 x2 +x+m= 0 的一个根,则此方 程的另一个根是 ( B ) A. -1　 　 　 B. 0　 　 　 C. 1　 　 　 D. 2 6. 已知 x=-1 是关于 x 的一元二次方程 x2 +bx = -9 的一个根,求常数 b 的值及该方程的另一个根. 解:设方程的另一个根为 x2 . ∵关于 x 的一元二次方程 x2 +bx = -9 的一个 根是-1, ∴ (-1) 2-b+9=0,解得 b=10. 又∵-1×x2 =9,∴ x2 =-9, 即方程的另一个根是-9. 知识点 3　利用根与系数的关系求代数式的值 7. 若一元二次方程 x2 -2x-3 = 0 的两个根分别为 x1,x2,则 x21x2 +x1x22 的值为 ( A ) A. -6 B. 6 C. -5 D. 5 8. 若 x1,x2 是一元二次方程 x2 +4x-5 = 0 的两个 根,则 x21 +x22 +x1x2 的值是 ( D ) A. -11 B. -21 C. 11 D. 21 9. 一元二次方程 x2 - 3x+ 2 = 0 的两个根分别为 x1,x2,则下列结论错误的是 ( D ) A. x1 +x2 = 3 B. x1x2 = 2 C. (x1 -x2) 2 = 1 D. x21 +x22 = 6 二阶 能力提升强化练 10. 若关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+1-2m= 0 的 两个实数根之积为负数,则实数 m 的取值范 围是 ( B ) A. m>0 B. m> 1 2 C. m< 1 2 D. m<0 11. 已知 a 和 b 是方程 x2 + 2 026x- 4 = 0 的两个 解,则 a2 +2 025a-b 的值为 ( D ) A. 2 024 B. 2 026 C. 2 028 D. 2 030 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 九上·第二十一章 13　 12. 甲、乙两名同学在解一道二次项系数是 1 的 一元二次方程时,甲同学看错了常数项,得到 方程的两根是 8 和 2,乙同学写错了一次项系 数,得到方程的两根为-9 和-1,则原来的方 程是 ( B ) A. x2 +10x+9 = 0 B. x2 -10x+9 = 0 C. x2 +10x+16 = 0 D. x2 -10x+16 = 0 13. 已知 x1 ,x2 是关于 x 的一元二次方程 2x2 - 6x+m= 0 的两个实数根,若 x2 = 2x1 ,则 m 的 值为　 4　 . 14. 已知关于 x 的一元二次方程 x2-ax+a-2=0. (1)求证:无论 a 为何值,该方程总有两个不 相等的实数根; (2)若方程的两个实数根分别为 x1 和 x2,是 否存在实数 a,使得(x1 -1)(x2 -1)= a2? 若存 在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. (1)证明:∵ x2-ax+a-2=0, ∴Δ=(-a) 2-4(a-2) =a2-4a+8 =(a-2) 2+4>0, ∴无论 a 为何值,该方程总有两个不相等的 实数根. (2)解:不存在. 理由如下: ∵ (x1-1)(x2-1)= a2,∴ x1x2-x1-x2+1=a2, 即 x1x2-(x1+x2)+1=a2 . ∵ x1+x2 =a,x1x2 =a-2, ∴ a-2-a+1=a2,即 a2 =-1, ∴不存在实数 a,使得(x1-1)(x2-1)= a2. 三阶 素养创新综合练 15. 易错 我们在探究一元二次方程根与系数 的关系中发现:如果关于 x 的方程 x2 +px+q = 0 的两个根是 x1,x2,那么由求根公式可推出 x1 +x2 = -p,x1x2 = q,请根据这一结论,解决下 列问题: (1)若 α,β 是方程 x2-3x+1= 0 的两根,则 α+β= 　 3　 ,α β=　 1　 ;若 2,3 是方程 x2+mx+n=0 的 两根,则m=　 -5　 ,n=　 6　 ; (2)已知 a,b 满足 a2 -5a+3 = 0,b2 -5b+3 = 0, 求 a b + b a 的值. 解:∵ a,b 满足 a2-5a+3=0,b2-5b+3=0, ∴ a,b 是方程 x2-5x+3=0 的解. 当 a≠b 时,a+b=5,ab=3, ∴ a b + b a =a 2+b2 ab =(a+b) 2-2ab ab =5 2-2×3 3 =19 3 ; 当 a=b 时,原式=2. 综上所述, a b + b a 的值为 19 3 或 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋